1 задачи к индивидуальному домашнему заданию 2 график в конце файла
 Скачать 107.91 Kb.
|
|
1 ЗАДАЧИ К ИНДИВИДУАЛЬНОМУ ДОМАШНЕМУ ЗАДАНИЮ №2 график в конце файла) 1. Радиус-вектор, определяющий положение движущейся частицы меняется по закону r = 3t 2 i + 2t j + k, где i, j, k орты осей x, y, z. Найти модуль скорости v в момент времени t = 1 с. Материальная точка движется в плоскости так, что зависимость координат от времени дается уравнениями x = At, y = Bt + Ct 2 , где A = 2 мс, B = 2 мс, C = 1 м/с 2 Определите скорость частицы через 10 с после начала движения. Материальная точка движется согласно уравнению r(t) = A(i cosωt + j sinωt), где A = 0.5 мс. Изобразите на рисунке траекторию движения. Определите модуль скорости ¦v¦ и модуль нормального ускорения а n ¦. Координата x движущейся частицы меняется по закону x = A cos(2πt/T), А = 8 см. Найти выражения для проекций на ось x скорости v и ускорения a частицы, составляющую v x средней скорости частицы на интервале времени от t 1 = 0 до t 2 = T/8. Материальная точка движется в плоскости x0y по закону x = At, y = At (1 − Bt), где A и B положительные константы. Найдите уравнение кривой, описывающей траекторию частицы, и изобразите ее график. Определите зависимости от времени абсолютных величин скорости и ускорения частицы. Закон движения двух материальных точек выражается уравнениями x 1 = A 1 + B 1 t + C 1 t 2 ; B 1 = 4 мс, C 1 = − 4 мс, x 2 = A 2 + B 2 t + C 2 t 2 ; B 2 = 1 мс, C 2 = 0.5 мс. Определите момент времени t e , когда скорости точек будут одинаковы. Найдите значения скорости и ускорений точек в этот момент. В момент времени t = 0 частица начала двигаться изначала координат в положительном направлении оси x. Ее скорость меняется по закону v = v 0 (1 − t/T), где v 0 - вектор начальной скорости, модуль которого v 0 = 0.1 мс T = 5.0 с. Найдите координату частицы в момент времени t 1 = 8 си постройте график зависимости пути от времени. Зависимость координаты частицы от времени дается уравнением x = A + Bt + Ct 2 + Dt 3 , где A = 0.1 м, B = 0.1 мс, C = 0.14 мс, D = 0.01 мс. Найдите среднее ускорение и среднюю скорость за первые 10 сдвижения. В течение интервала времени T = 4 с скорость тела меняется по закону v = At 2 + Bt , где A = 2 мс, B =4 мс, (0 ≤ t ≤ T). Найдите среднюю скорость, и среднее ускорение за этот промежуток времени. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через t = 4 с камень упал на землю на расстоянии L = 40 мот основания вышки. Определите начальную v 0 и конечную v f скорости камня. 2 Материальная точка движется в плоскости x0y по закону x = Asinωt, y = A(1 − cosωt), где A и ω положительные константы. Найдите уравнение кривой, описывающей траекторию частицы, изобразите ее вид и направление движения частицы. Камень брошен со скоростью v 0 = 30 мс под углом 60 0 к горизонту. Определите радиус кривизны траектории в верхней ее точке. Компоненты скорости частицы меняются по закону v x = Aω cosωt; v y = Aω sinωt; v z = 0, где A = 15 см и ω = 3 с . Изобразите на рисунке траекторию частицы и направление ее движения. Два бруска лежат на гладком столе один на другом. Масса верхнего бруска m 1 = 2 кг, нижнего m 2 = 4 кг. Коэффициент трения между брусками k = 0.3. Какую максимальную силу можно приложить к верхнему бруску в горизонтальном направлении, чтобы он не проскальзывал На гладкую горизонтальную плоскость помещены три тела массами т, т и т, связанные нитями между собой и с телом массой М, привязанное к нити, перекинутой через блок (рис. Найти ускорение а системы. Найти натяжения всех нитей. Трением в блоке, массами блоков и нитей пренебречь. На верхнем краю гладкой наклонной плоскости укреплен блок, через который перекинута нить (рис. На одном се конце привязан груз массы m 1; лежащий на наклонной плоскости. На другом конце висит груз массы т . С каким ускорением a движутся грузы и каково натяжение T нити Наклонная плоскость образует с горизонтом угол α. Движущаяся частица претерпевает упругое соударение с покоящейся частицей такой же массы. Доказать, что после столкновения, если оно не было центральным, частицы разлетятся под прямым углом друг к другу. Как будут двигаться частицы после центрального соударения Частица, имея начальную скорость 4 мс, движется прямолинейно с отрицательным ускорением, модуль которого зависит от ее скорости по закону а = 5√ v (мс. Найдите время движения частицы до остановки. Колесо вращается так, что его угловая координата задана уравнением φ = А + В + С , где В = 2 рад/с; С = 1 рад/с 2 Найдите угловое ускорение точек на ободе колеса через 2 с после начала движения. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что его координата определяется уравнением φ = 0,5t 2 рад. Найдите касательное ускорение его точек, отстоящих от оси вращения на 80 см. Диск радиусом 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая координата определяется уравнением φ = А + В + С + Dt 3 , где В = 1 рад/с, С = 1 3 рад / с , D = 1 рад/с 3 . Вычислите касательное ускорение точек на ободе колеса к концу первой секунды. 22. Частица движется по окружности радиусом 2 см, при этом зависимость ее пути от времени задана уравнением s = 0,1 t 3 (см. Найдите касательное ускорение частицы в тот момент времени, когда ее линейная скорость стала 0,3 мс. Частица движется по окружности так, что ее угловая координата задана уравнением φ = А + В + С + Dt 3 , где В = 1 рад/с, С = 1 рад / с , D = 1 рад/с 3 . Вычислите радиус окружности, если к концу первой секунды движения ее нормальное ускорение равно 1,8 мс Нормальное ускорение частицы, движущейся по окружности радиусом 4 м, задается уравнением а n = 1 + 6t + 9t 2 (мс. Вычислите касательное ускорение частицы через 1 с после начала движения. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что его угловая координата определяется уравнением φ = 0,5 t 2 (рад. Вычислите полное ускорение точек, отстоящих от оси вращения на 80 см к концу второй секунды движения. Колесо радиусом 10 см вращается так, что линейная скорость точек на его ободе задана уравнением v = 3t + t 2 (см/с) Найдите угол между вектором полного ускорения и радиусом колеса спустя 1 с после начала движения. Частица движется по окружности, причем зависимость ее пути от времени задана уравнением s = А – В + Ct 2 , где В = 2 мс, С = 1 мс. В момент времени 2 с ее нормальное ускорение равно 0,5 мс. Найдите полное ускорение частицы через 3 с после начала движения. Модуль импульса частицы массой 2 кг изменяется по закону р = 10 Cos πt (кгм/с). В начальный момент времени радиус-вектор частицы равен нулю. Найдите модуль радиус-вектора частицы через 1/3 секунды. Если путь частицы массой 2 кг изменяется по закону s = 5 Sin πt (см. Найдите ближайший момент времени от начала ее движения, когда модуль импульса частицы становится максимальным. Частица массой 1 кг движется прямолинейно по закону х = А – В + Ct 2 – Dt 3 , где См мс Найдите модуль силы, действующей на частицу в конце первой секунды ее движения. Частица массой 1 кг в начальный момент времени имеет радиус-вектор r 0 = 2 i + 3 j, где i, j орты осей x, y. На нее действует сила F = 1,5y 2 i + 3x 2 j – 0,2(x 2 +y 2 ) k. Найдие модуль этой силы в начальный момент времени. Десять шариков массами 100 г, 200 г, …,1000 г укреплены в указанном порядке на невесомом стержне длиной 90 см. На каком расстоянии от центра самого легкого шарика будет находиться центр масс системы, если расстояние между соседними шариками 10 см 4 В двух вершинах равностороннего треугольника помещены шарики с массами m каждый, а в третьей вершине – с массой 2m. Где будет находиться центр масс данной системы. Автобус массой 5 т начинает двигаться от остановки так, что его скорость в зависимости от пройденного пути изменяется по закону v = √ s (мс. Найдите суммарную работу всех сил, действующих на автобус за первые 15 сот начала движения. Воздушный поток (ρ = 1,29 кг/м 3 ) сечением 0,55 м имеет скорость 20 мс. Чему будет равна мощность этого потока Зависимость потенциальной энергии частицы в поле центральных сил от расстояния r до центра поля задана функцией W p (r) = r -3 Дж. Найдите модуль силы, действующей на частицу в точке с координатами (0,4; 0,5; 0,6). Шар массой 2 кг движется со скоростью 8 мс и догоняет шар массой 3 кг, который движется со скоростью 4 мс. Найдите работу деформации шаров при их центральном неупругом ударе. 38. В боковой поверхности сосуда с жидкостью, стоящего на горизонтальной плоскости, имеется малое отверстие. Высота неизменного уровня жидкости над этим отверстием составляет 36 см, а расстояние от отверстия до дна сосуда 144 см. Найдите дальность горизонтального полета струи жидкости из этого отверстия. Колесо радиусом R = 3 см вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением ϕ = A + Bt + Ct 2 + Dt 3 , где D = 1 с. Найдите для точек обода изменение модуля тангенциального ускорения ∆a τ запятую секунду движения. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением ε = 2 с. Через t = 0.5 с после начала движения полное ускорение точек на ободе колеса стало равным a = 15 см/с 2 Найти радиус колеса. Через t = 10 с после начала вращения с постоянным угловым ускорением полное ускорение точек на ободе диска радиусом R = 5 см равно a = 15 см/с 2 . Определите угловое ускорение диска, а также нормальное и тангенциальное ускорения точек обода через t = 5 с после начала вращения. По дуге окружности радиусом R = 15 м движется материальная точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение частицы a n = 4.9 мс, а вектор полного ускорения образует с радиусом вращения угол 60 0 . Найдите скорость v и тангенциальное ускорение a τ этой частицы в этот момент времени. Материальная точка движется по окружности радиуса R = 5 см так, что зависимость пути от времени дается уравнением S = A+Bt+Ct 2 , где B = − 2 мс, C = 1 мс. Найдите линейную скорость частицы, ее нормальное и полное ускорение через t = 3 с после начала движения. 5 Движение частицы по кривой задано уравнениями x = A 1 t 3 и y = A 2 t где A 1 = 2 мс, A 2 = 2 мс. Определите скорость и полное ускорение частицы через 0.8 с после начала движения. Материальная точка движется в плоскости x0y по закону x = Asinωt, y = Bcosωt, где A, B и ω положительные константы, A = B = 5 м. Найдите уравнение кривой, описывающей траекторию частицы, изобразите ее вид и направление движения частицы. Материальная точка движется по дуге окружности радиуса R по закону L = A sinωt, где L смещение изначального положения, отсчитываемое вдоль дуги, A и ω положительные константы. Найдите полное ускорение частицы в точке L = 0. Частица движется по окружности радиусом R = 5 м согласно уравнению L = At 3 , где A = 2 мс, L путь, пройденный частицей. В какой момент времени тангенциальное ускорение частицы будет равно нормальному Вычислите полное ускорение частицы в этот момент времени. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением ε = − 3 с. Определите число N оборотов, которое сделает колесо при изменении частоты вращения от n 1 = 240 мин -1 до n 2 = 90 мина также интервал времени ∆t, в течение которого это произойдет. Материальная точка движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением a τ = 0.5 мс. Определите полное ускорение частицы на участке, где радиус кривизны составляет R = 4 м, если частица движется в этот момент со скоростью v = 2 мс. Частица движется по окружности радиуса R = 10 см со скоростью v = At, где A = 0.5 мс. Найдите ее полное ускорение в момент времени, когда она пройдет расстояние L, равное 0.1 длины окружности после начала движения. Компоненты скорости материальной точки меняются по закону v x = Aω cosωt; v y = Aω sinωt; v z = 0, где A = 10 см и ω = 3 с . Изобразите на рисунке траекторию частицы и направление ее движения. Колесо радиусам вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением ϕ = A + Bt + Ct 3 , где B = 2 с, C = 1 с. Найти линейную скорость и тангенциальное ускорение для точек обода через ∆t = 3 с после начала движения. На барабан радиусам намотана нить, барабан вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его ось симметрии, под действием груза, подвешенного к нити. Груз движется с постоянным ускорением a = 5 мс . Найти угловое ускорение вращения барабана и полное ускорение точек на его поверхности через 1 t c ∆ = после начала вращения барабана. Материальная точка движется по окружности радиусам с постоянным угловым ускорением. Через t = 20 с после начала движения угловая скорость частицы ω = с Определите число N оборотов, которое совершила за это время частица, и нормальное ускорение к концу десятой секунды. 6 Частица движется по окружности радиуса R = 15 см с постоянным тангенциальным ускорением a τ . Найдите это ускорение, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения скорость частицы стала равной v = 79.2 см/с. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса колеса от времени дается уравнением ϕ = A + Bt + Ct 2 + Dt 3 , где B = 1 с, C = 2 с, D = 1 с. Найти радиус колеса, если известно, что к концу второй секунды движения нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса, a n = 3.46 10 2 мс Найти работу, которую нужно совершить, чтобы увеличить скорость движения тела от v 1 = 2 мс до v 2 = 6 мс на пути s = 15 м. На всем пути действует постоянная сила трения F тр = 2 Н. Масса тела m = 1 кг. Находясь под действием постоянной силы с компонентами (3, 10, 8) Н частица переместилась из точки 1 с координатами (1, 2, 3) м в точку 2 с координатами (3, 2, 1) м. Какая совершилась при этом работа Как изменилась кинетическая энергия частицы Автомобиль Жигули на скорости v = 50 км/ч способен двигаться вверх по дороге с уклоном α = 15 0 . При движении по ровной дороге с таким же покрытием и на той же скорости мощность, расходуемая двигателем, составляет N = 20 л.с. (1 л.с. = 736 Вт. Найти максимальную мощность двигателя, если масса автомобиля 1200 кг. Лодка длиной L 0 наезжает, двигаясь по инерции, на отмель и останавливается из-за трения, когда половина ее длины оказывается на суше. Какова была начальная скорость лодки v? Коэффициент трения равен µ. Лодка массы Мс находящимся в ней человеком массы т неподвижно стоит на спокойной воде. Человек начинает идти вдоль по лодке со скоростью u относительно лодки. С какой скоростью w будет двигаться человек относительно воды С какой скоростью v будет при этом двигаться лодка относительно воды Сопротивление воды движению лодки не учитывать. Человек прошел вдоль по лодке, описанной в предыдущей задаче, путь l. Каковы при этом будут смещения лодки S 1 и человека S 2 относительно воды Две пружины жесткостью 3⋅10 2 Нм и 6⋅10 2 Нм соединены последовательно. Определить работу по растяжению обеих пружин, если вторая пружина растянута на 3 см. Определить также коэффициент жесткости системы двух пружин. 64. Математический маятник (груз малых размеров на легком подвесе длиной l) находится в положении равновесия. Определить какую минимальную скорость u надо сообщить грузу, чтобы он мог совершить полный оборот, для двух случаев а) груз подвешен на жестком стержне б) на нити. Два идеально упругих шарика массами m 1 и m 2 вдоль одной и той же прямой со скоростями v 1 и v 2 . Вовремя столкновения шарики начинают деформироваться, и часть кинетической энергии переходит в потенциальную энергию деформации. Затем деформация уменьшается, и запасенная потенциальная энергия вновь переходит в 7 кинетическую. Найти значение потенциальной энергии деформации в момент, когда она максимальна. Шар, летящий со скоростью V, ударяется о покоящийся шар, масса которого в 4 раза больше массы налетающего шара. Найти скорости шаров после удара, если в момент столкновения угол между линией, соединяющей центры шаров, и скоростью налетающего шара до удара равен 60 0 . Удар абсолютно упругий. Трения нет. Два шарика падают в воздухе. Шарики сплошные, сделаны из одного материала, но диаметр одного из шариков вдвое больше другого. В каком соотношении будут находиться скорости шариков при установившемся (равномерном) движении Считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна площади поперечного сечения движущегося тела и квадрату его скорости. Стальной шарик радиуса 0,03 мм падает в широкий сосуд, наполненный глицерином. Найти скорость v установившегося (равномерного) движения шарика. Коэффициент внутреннего трения в глицерине равен η = 14 дин-с/см 2 , плотность глицерина d x = 1,26 г/см 3 , плотность стали d 2 = 7,8 г/см 3 . (1 дин = 10 -5 Н. Указание. Для решения задачи воспользоваться гидродинамической формулой Стокса, выражающей силу сопротивления, испытываемую шариком, движущимся в вязкой жидкости f=6πrvη. Дождевая капля диаметром 0,6 мм падает в воздухе (ρ = 1,3 кг/м 3 , ŋ = 10 – 5 Пас. Найдите наибольшую скорость, которой может достичь капля. Железный шарик (ρ = 7900 кг/м 3 ) диаметром 5 мм падает в касторовом масле ( ρ = 900 кг/м 3 ŋ = 1 Пас. Вычислите число Рейнольдса при установившемся движении шарика. 8 № варианта Задачи к лабораторной работе ИДЗ № 2 1 1 51 32 60 67 2 2 52 33 61 68 3 3 53 34 62 69 4 4 15 35 54 70 5 5 19 36 55 64 6 6 16 37 47 56 7 7 18 38 43 65 8 8 19 39 57 66 9 9 20 31 40 64 10 10 1 21 41 70 11 11 22 57 2 69 12 12 23 3 58 32 13 13 24 59 65 33 14 14 25 60 4 30 15 15 26 61 42 6 16 16 27 62 7 57 17 17 48 63 8 69 18 28 1 64 16 51 19 29 2 65 52 59 20 30 3 66 53 14 21 31 4 67 15 54 22 42 5 68 25 16 23 43 6 69 18 58 24 44 7 70 60 21 25 45 8 14 63 22 26 46 9 15 64 32 27 1 7 70 43 65 28 2 20 64 16 15 29 3 30 53 14 28 30 4 31 34 62 18 |