Пояснительная записка Курсовой РТЦиС. 1 Задание 2 2 Расчёт полосового lсфильтра 5
![]()
|
Изм. Лист № докум. Подпись Дата Лист 2 Разраб. Провер. Реценз. Н. Контр. Утверд. Расчет электрических фильтров Лит. Листов 29 Содержание1 Задание 2 2 Расчёт полосового LС-фильтра 5 2.1 Расчёт амплитудного спектра радиоимпульсов 5 2.2 Формирование требований к полосовому фильтру 11 2.4 Реализация LC-прототипа 19 2.5 Реализация пассивного полосового фильтра 23 3 Расчёт активного полосового фильтра 27 3.1 Расчёт полюсов ARC-фильтра 27 3.2 Формирование передаточной функции 29 3.3 Расчёт элементов схемы фильтра 31 4 Проверка результатов расчёта 37 5 Литература 52 1 ЗаданиеНа входе полосового фильтра действуют периодические радиоимпульсы (рисунок 1.1) с параметрами: период следования импульсов ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 1.1 – Последовательность радиоимпульсов и их параметры ![]() Рисунок 1.2 – Общая схема проектируемых фильтров В ходе выполнения курсовой работы необходимо: 1) Рассчитать и построить график амплитудного спектра радиоимпульсов; 2) Определить частоты ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 3) Рассчитать минимально допустимое ослабление фильтра в полосе задерживания ![]() 4) Рассчитать порядок ![]() 5) Получить выражение для передаточной функции НЧ-прототипа при аппроксимации его характеристики полиномом Чебышева; 6) Осуществить реализацию двухсторонне нагруженного полосового LC-фильтра. 7) Осуществить реализацию полосового ARC-фильтра; 8) Привести ожидаемую характеристику ослабления полосового фильтра в зависимости от частоты – ![]() 9) Рассчитать ослабление ARC-фильтра на границах полосы пропускания и полосы непропускания (задерживания); 10) Привести схему ARC-полосового фильтра. 2 Расчёт полосового LС-фильтра2.1 Расчёт амплитудного спектра радиоимпульсовПрежде чем приступить непосредственно к расчёту фильтра, необходимо определить частотный состав сигнала, поступающего на вход фильтра, т. е. рассчитать и построить график амплитудного спектра периодических радиоимпульсов, взяв за основу рисунок 2.1. ![]() Рисунок 2.1 – Общий вид амплитудного спектра радиоимпульсов Для этого сначала находим несущую частоту: ![]() ![]() Затем рассчитываем частоты нулей огибающей спектра. Они зависят от длительности импульса: ![]() ![]() ![]() ![]() Максимальное значение огибающей в виде напряжения, соответствующее частоте ![]() ![]() Зная максимальное значение и расположение нулей по оси частот, построим огибающую дискретного спектра периодических радиоимпульсов в виде пунктирной кривой в масштабе по оси частот (аналогично рисунку 2.1). Внутри огибающей должны находиться спектральные составляющие или гармоники спектра с частотами ![]() ![]() ![]() Учитывая, что: ![]() рассчитываем частоты гармоник, лежащих справа от ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() и частоты гармоник, лежащих слева от ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Амплитуды напряжения ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() Из анализа рисунка 2.1 видим, что главный «лепесток спектра» занимает диапазон частот от ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() По формуле (2.1) рассчитываем остальные амплитуды, учитывая при этом ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Далее на графике зависимости ![]() ![]() Рисунок 2.2 – Амплитудный спектр заданной последовательности импульсов 2.2 Формирование требований к полосовому фильтруУчитывая, что амплитуды спектральных составляющих на частотах ![]() ![]() ![]() ![]() Следовательно, эти величины будут определять частоты границы полосы пропускания фильтра ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 2.3 – Требования к ФНЧ и полосовому фильтру Используя ![]() ![]() тогда граничная частота ![]() ![]() Минимально-допустимое ослабление фильтра в ПН зависит от разницы амплитуд гармоник ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() Исходя из этого, находим по формуле (2.2) значение ![]() ![]() Таким образом, требования к полосовому фильтру сводятся к следующему: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2.3 Формирование передаточной функции НЧ-прототипа Сначала находим граничные частоты ПП и ПН НЧ-прототипа. ![]() ![]() Далее находим значения нормированных частот: ![]() ![]() Требования к НЧ-прототипу могут быть проиллюстрированы рисунком 2.4. ![]() Рисунок 2.4 – Требования к НЧ-прототипу Найдём коэффициент неравномерности ослабления фильтра в ПП ( ![]() ![]() где ![]() При ![]() ![]() ![]() ![]() Порядок фильтра Чебышева находится также из рассмотрения формулы (2.3), но при ![]() ![]() ![]() поэтому: ![]() Подставляя все значения в данную формулу, получаем: ![]() Далее округляем расчётное значение ![]() ![]() Таблица 2.1 – Полюсы передаточной функции НЧ-прототипа
![]() ![]() Из этих значений видно, что полюсы расположены в левой полуплоскости комплексной переменной ![]() Формируем нормированную передаточную функцию НЧ-прототипа в виде: ![]() где ![]() ![]() Производя вычисления, получим: ![]() Необходимо обратить внимание на то, что числитель передаточной функции приближенно равен свободному члену полинома знаменателя. 2.4 Реализация LC-прототипаДля получения схемы НЧ-прототипа воспользуемся методом Дарлингтона, когда для двусторонне нагруженного фильтра (рисунок 1.2) составляется выражение для входного сопротивления ![]() ![]() Полином ![]() ![]() ![]() Таким образом, выражение для входного сопротивления принимает вид: ![]() Формула (2.6) описывает входное сопротивление двухполюсника (согласно схеме, приведённой на рисунке 1.2, фильтр, нагруженный на сопротивление ![]() ![]() ![]() После этого производим ряд последовательных делений. Вначале числитель делим на знаменатель: ![]() Затем первый делитель делим на первый остаток: ![]() Второй делитель делим на второй остаток: ![]() Третий делитель делим на третий остаток: ![]() В результате, было получено четыре результата деления, которые отражают четыре нормированных по частоте и по сопротивлению элемента схемы в виде значений их проводимостей: ![]() ![]() ![]() ![]() По формуле (2.8) составляем схему (рисунок 2.5), на которой ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 2.5 – Принципиальная схема НЧ-прототипа Далее денормируем элементы схемы НЧ-прототипа, используя соотношения: ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() Используя соотношения (2.9) и значения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, элементы НЧ-прототипа имеют значения: ![]() ![]() ![]() ![]() 2.5 Реализация пассивного полосового фильтраИз теории фильтров известно, что между частотами НЧ-прототипа и частотами ![]() ![]() где ![]() На основании (2.10) индуктивное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением последовательного контура с элементами: ![]() ![]() а ёмкостное сопротивление НЧ-прототипа заменяется сопротивлением параллельного контура с элементами: ![]() ![]() Тогда, на основании схемы ФНЧ, изображенной на рисунке 2.5 может быть построена схема полосового фильтра так, как это показано на рисунке 2.6. Элементы этой схемы рассчитываются по формулам (2.11) и (2.12): ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рисунок 2.6 – Принципиальная схема полосового LC-фильтра Таким образом, элементы пассивного полосового фильтра имеют следующие значения: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() На этом расчёт полосового LC-фильтра окончен. 3 Расчёт активного полосового фильтра3.1 Расчёт полюсов ARC-фильтраТребования к полосовому ARC–фильтру остаются теми же, что и к полосовому LC-фильтру. Поэтому на этапе аппроксимации синтеза ARC-фильтра можно воспользоваться результатами расчета LС–фильтра, полученными в разделах 2.1 – 2.3. При этом, воспользуемся не самой нормированной передаточной функцией (2.5), а только ее полюсами (2.4). С помощью них рассчитаем полюсы денормированной передаточной функции ПФ по формуле: ![]() Вначале находим: ![]() ![]() ![]() Затем сами полосы: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Расчёт показывает, что вместо трех полюсов нормированной передаточной функции НЧ-прототипа получается шесть полюсов передаточной функции ARC полосового фильтра, причем денормированной. Их значения представляем в виде таблицы 3.1. Таблица 3.1 – Полюса передаточной функции ARC-фильтра
3.2 Формирование передаточной функцииУчитывая, что ARC-фильтры обычно строятся из каскадно-соединенных звеньев второго порядка, целесообразно передаточную функцию таких фильтров формировать из произведения сомножителей тоже второго порядка. Они имеют вид: ![]() Тогда вся передаточная функция рассчитываемого фильтра будет равна: ![]() Коэффициенты в числителе имеют одинаковую величину. Рассчитываем её по формуле: ![]() Коэффициенты знаменателя выражения (3.1) находим по формулам: ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Значения всех рассчитанных коэффициентов сводим в таблицу 3.2. Таблица 3.2 – Значения коэффициентов передаточной функции
Подставляя найденные коэффициенты в формулу (3.1) получаем передаточную функцию ARC-фильтра: ![]() 3.3 Расчёт элементов схемы фильтраВ качестве типовой выбираем простейшую схему ПФ на одном операционном усилителе (ОУ) (рисунок 3.1). Если составить эквивалентную схему, заменив ОУ ИНУНом, то, используя любой из методов анализа цепей, можно получить передаточную функцию, описывающую работу схемы на рисунке 3.1, в виде: ![]() ![]() Рисунок 3.1 – Принципиальная схема активного полосового фильтра на операционном усилителе Из формулы (3.3) видно, что рассмотренная схема является схемой второго порядка. Следовательно, для реализации функции (3.2) потребуется три подобных схемы или три звена, соединенных каскадно. Расчёт элементов этих схем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для первого звена ПФ берутся коэффициенты из первого сомножителя (3.2): ![]() В системе (3.4) пять неизвестных и только три уравнения. Система нерешаема. Поэтому необходимо задаться некоторыми значениями, например, ёмкостей конденсаторов ![]() ![]() Если принять ![]() ![]() Таким образом, для первого звена значения сопротивлений будут следующие: ![]() ![]() ![]() Составляя аналогичную систему для второго звена при тех же ![]() ![]() Итак, для второго звена: ![]() ![]() ![]() Аналогично для третьего звена: ![]() Таким образом, для третьего звена: ![]() ![]() ![]() Рассчитанные сопротивления не соответствуют стандартным номиналам резисторов. Поэтому для сопротивлений ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Окончательные значения резисторов ![]() ![]() ![]() ![]() 4 Проверка результатов расчётаПроверка расчетов может быть выполнена в двух вариантах. Первый вариант – проверяется только этап аппроксимации, когда определяется насколько точно созданная передаточная функция соответствует исходным требованиям к фильтру по ослаблению в ПП и в ПН. Второй вариант – проверяется точность уже всего расчета, когда по известной передаточной функции схемы фильтра (т. е. с учетом значений элементов схемы) рассчитывается и строится график ![]() ![]() При синтезе пассивного полосового фильтра получена передаточная функция только НЧ-прототипа (2.5) и в этом случае возможен только первый вариант проверки. При синтезе активного ПФ известна передаточная функция одного звена уже самой схемы фильтра (3.3). Очевидно, что ![]() ![]() где значения каждого сомножителя будут отличаться из-за разницы в значениях сопротивлений звеньев фильтра. Итак, формула (4.1) позволяет реализовать второй вариант проверки выполненных расчётов. С этой целью в (3.3) производим замену переменной вида ![]() ![]() Представляем модуль ![]() ![]() Зная ![]() ![]() где ![]() Выполняем последовательно расчёт первого, второго и третьего звеньев. Значения элементов берём из раздела 2.3. Для первого звена они равны: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() На частоте границы ПН ![]() ![]() ![]() На частоте границы ПП ![]() ![]() ![]() На частоте границы ПП ![]() ![]() ![]() На частоте границы ПН ![]() ![]() ![]() Для второго звена значения элементов равны: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() На частоте границы ПП ![]() ![]() ![]() На частоте границы ПП ![]() ![]() ![]() На частоте границы ПН ![]() ![]() ![]() Для третьего звена значения элементов равны: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() На частоте границы ПН ![]() ![]() ![]() На частоте границы ПП ![]() ![]() ![]() На частоте границы ПП ![]() ![]() ![]() На частоте границы ПН ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Далее по формуле (4.4) рассчитываем ослабления ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для второго звена получаем: ![]() ![]() ![]() ![]() И, наконец, для третьего звена: ![]() ![]() ![]() ![]() Теперь, находим ослабления всего фильтра на разных частотах: ![]() ![]() ![]() ![]() Все результаты сводим в таблицу 4.1. При анализе табличных данных обращаем внимание на разный характер зависимости ослабления от частоты у разных звеньев фильтра. Если сравнивать рассчитанное ослабление всей схемы фильтра на частотах границ ПП и ПН с заданным ослаблением на этих же частотах (раздел 2.2), то можно сделать вывод о довольно хорошем их соответствии. При практическом изготовлении фильтров всегда предусматривается операция по их настройке, в ходе которой добиваются ослабления с требуемой точностью. В ходе расчёта по формуле (4.2) обращаем внимание на то, что значение ![]() ![]() На рисунке 4.1 строим ожидаемую теоретическую кривую зависимости ослабления фильтра от частоты, а на рисунке 4.2 приводим принципиальную схему активного полосового фильтра. Таблица 4.1 – Значения функций ![]() ![]()
![]() Рисунок 4.1 – Зависимость ослабления фильтра от частоты ![]() Рисунок 4.2 – Принципиальная схема активного полосового фильтра 5 Литература1) Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей. Учебник – М.: Радио и связь, 2000. – 589 с. 2) Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей. Учебник – М: Радио и связь, 1998. – 444 с. 3) Шебес М.Р., Каблукова М.В. Задачник по теории линейных электрических цепей. Учеб. пособие для вузов. 4-е изд., перераб. и доп. – М.: «Высшая школа», 1990. – 544 с. 4) Воробиенко П.П. Теория линейных электрических цепей. Сб. задач и упражнений. — M.: Радио и связь, 1989. – 328 с. 5) Зааль Р. Справочник по расчету фильтров. – М.: Радио и связь, 1983. – 752 с. 6) Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. Учебник. – М.: Радио и связь, 1986. – 544 с. |