1 задание на практические работы задача 1 Расчет показателей надежности невосстанавливаемой системы с постоянными во времени интенсивностями отказов элементов Исходные данные

• Название: 1 задание на практические работы задача 1 Расчет показателей надежности невосстанавливаемой системы с постоянными во времени интенсивностями отказов элементов Исходные данные
• Дата: 07.11.2022
• Размер: 1.01 Mb.
• Имя файла: UMP_prakticheskie_raboty_po_ONNGO_2022_removed.pdf
• Тип: Задача; #775000

3
1 ЗАДАНИЕ НА ПРАКТИЧЕСКИЕ РАБОТЫ ЗАДАЧА №1 Расчет показателей надежности невосстанавливаемой системы с постоянными во времени интенсивностями отказов элементов Исходные данные
1. Структурная схема системы Шифр Номер рисунка Шифр Номер рисунка
0

N

12 Рис 52

N

64 Рис 13

N

25 Рис 65

N

76 Рис 26

N

38 Рис 77

N

88 Рис 39

N

51 Рис 89

N

99 Рис Здесь N - две последние цифры шифра.
1 2
3 4
5 6 Рисунок 1 1
2 5
4 3 Рисунок 2 1
2 5
4 3 Рисунок 3 1
2 5
4 3 Рисунок 4 1
2 5
4 3 Рисунок 5 1
2 5
4 3 Рисунок 6 1
2 5
6 3
4 Рисунок 7 1
2 3
4 Рисунок 8

4 2. Интенсивность отказа i - го элемента определяется по формуле
3 10 100 1
0











N
i
i
,
λ
, ч, (1) где i - порядковый номер элемента, две последние цифры шифра.
3. Время работы системы t:
t=90+N, ч, (2) где две последние цифры шифра. Определить Для выбранной структурной схемы системы, интенсивности отказов элементов λ которой известны, определить
1. Вероятность безотказной работы системы с) за заданное время t.
2. Плотность вероятности отказа системы св момент времени t.
3. Вероятность появления отказа с) за заданное время t. ЗАДАЧА №2 Расчет показателей надежности невосстанавливаемой системы с постоянными во времени интенсивностями отказов элементов Исходные данные
1. Структурная схема системы Шифр Номер рисунка Шифр Номер рисунка
0

N

24 Рис 50

N

74 Рис 25

N

49 Рис 75

N

99 Рис 2
1 3
4 7
6 Рисунок 9 2
1 3
4 6
5 Рисунок 10

5 2
1 3
4 6
5 Рисунок 11 2
1 3
4 6
5 Рисунок 12 2. Интенсивность отказа i - го элемента определяется по формуле
3 10 100 2
0











N
i
i
,
λ
, ч, (3) где i - порядковый номер элемента, две последние цифры шифра.
3. Время работы системы t:
t=90+N, ч, (4) где две последние цифры шифра. Определить
1. Вероятность безотказной работы системы с) за заданное время t.
2. Среднюю наработку до отказа Т 3. Частоту отказов f
c
(t)
4. Интенсивность отказа системы λ
с
ПРИМЕР РАСЧЕТА ТИПОВОГО ВАРИАНТА Задача №1 Расчет показателей надежности невосстанавливаемой системы с постоянными во времени интенсивностями отказов элементов Исходные данные
1. Структурная схема системы
1 2
3 4
5 6 Рисунок 13

6 Интенсивность отказов элементов системы за время t. Номер элемента
1 2
3 4
5 6
λ·10
-3
, ч 1,2 2,2 3,3 4,5 2,7 0,9
t= 120 ч. Определить
1. Вероятность безотказной работы системы с) за заданное время t.
2. Плотность вероятности отказа системы св момент времени t.
3. Вероятность появления отказа с) за заданное время t. Решение На начальном этапе расчетов примем P(t)=P. Так как элементы P
2
и P
3
соединены последовательно, то обобщенное выражение вероятности их безотказной работы имеет вид
P
23
=P
2
·P
3
(5) Элементы P
4
и P
5
также соединены последовательно, а значит, обобщенное выражение вероятности их безотказной работы имеет вид
P
45
=P
4
·P
5
(6) Обобщенное выражение вероятности безотказной работы для элементов
P
2
- P
5
принимает вид

 

45 23
o
P
1
P
1 1
P
1





=
23 45 23 45
P
P
P
P



(7) С учетом (5) и (6) выражение (7) принимает вид
5 4
3 2
5 4
3 2
o
P
P
P
P
P
P
P
P
P
1








. (8) В результате преобразований получим следующую обобщенную структурную схему системы (рис Рисунок 14 - Обобщенная структурная схема системы В результате вероятность безотказной работы системы сбудет) Так как P=
 
t
e
t




P
, то с) принимает следующий вид
 
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e
t










































6 5
4 3
2 1
6 5
4 1
6 3
2 1
c
P














=






t
t
t
e
e
e



















6 5
4 3
2 1
6 5
4 1
6 3
2 1














(10) Выражение плотности вероятности отказа с, с учетом того, что
 
 
t
e
dt
t
d
t
f








P
,
(11) имеет следующий вид
  











t
t
t
e
e
e
t
f



































6 5
4 3
2 1
6 5
4 1
6 3
2 1
6 5
4 3
2 1
6 5
4 1
6 3
2 1
c




























.(12)

7 Выражение определения вероятности появления отказа с) имеет следующий вид с- с.
(13) Подставив исходные данные в выражения (10), (12) и (13), получим
1. Вероятность безотказной работы системы с) за заданное время t: с.
2. Плотность вероятности отказа системы св момент времени t: сч. Вероятность появления отказа с) за заданное время t: с. Задача №2 Расчет показателей надежности невосстанавливаемой системы с постоянными во времени интенсивностями отказов элементов Исходные данные
1. Структурная схема системы
1 2
3 4
5 6 Рисунок 14 2. Интенсивность отказов элементов системы за время t. Номер элемента
1 2
3 4
5 6
λ·10
-3
, ч 1,2 2,3 3,0 2,8 2,8 0,3
t= 120 ч . Определить
1. Вероятность безотказной работы системы с) за заданное время t.
2. Среднюю наработку до отказа Т 3. Частоту отказов f
c
(t).
4. Интенсивность отказа системы λ
с
Решение:
1. Для нахождения вероятности безотказной работы системы используем метод разложения структуры относительно базового элемента. Метод основывается на теореме о сумме вероятностей несовместимых событий. В качестве базового элемента выберем й элемент. В соответствии с теоремой имеем два несовместимых события а) Базовый элемент находится в работоспособном состоянии, те Р, и его заменяем перемычкой. Тогда структурная схема системы принимает следующий вид (рис

8 1
2 4
5 6 Рисунок 15 - Структурная схема системы, когда базовый элемент находится в работоспособном состоянии Для данной системы вероятность безотказной работы сбудет) б) Базовый элемент находится в состоянии отказа, те Р и его заменяем разрывом. Тогда структурная схема системы принимает следующий вид (рис
1 2
4 5
6 Рисунок 16 - Структурная схема системы, когда базовый элемент находится в работоспособном состоянии Для данной системы вероятность безотказной работы сбудет) Вероятность безотказной работы исходной системы определится по формуле
 
1 1






бэ бэ
Q
c2
бэ
P
c1
бэ c
P
Q
P
P
P t
, (16) где бэ
P - вероятность безотказной работы базового элемента бэ
Q - вероятность отказа базового элемента
1

бэ
P
c1
P
- вероятность безотказной работы первой вспомогательной структуры
1

бэ
Q
c2
P
- вероятность безотказной работы второй вспомогательной структуры. Так как в качестве базового элемента принят й элемент и
 
 
t
t
P
-
1
Q

, имеем
 



 

















3
c2
c1 3
c
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
6 5
4 5
4 2
1 2
1 3
1
t

 

6 5
4 2
1 6
5 2
6 4
1 3
1
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P
P













(17) Подставив исходные данные, получим
 
118 Определим среднюю наработку до отказа, используя выражение
 



0
dt
t
c
0
P
T

9
 




















.
dt
e
dt
e
dt
e
dt
e
dt
e
dt
e
dt
e
dt
e
dt
e
dt
e
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t















































































0 6
λ
5
λ
4
λ
2
λ
1
λ
0 6
λ
5
λ
2
λ
0 6
λ
4
λ
1
λ
0 6
λ
3
λ
5
λ
4
λ
2
λ
1
λ
0 6
λ
3
λ
5
λ
2
λ
1
λ
0 6
λ
3
λ
4
λ
2
λ
1
λ
0 6
λ
5
λ
4
λ
3
λ
2
λ
0 6
λ
3
λ
4
λ
2
λ
0 6
λ
5
λ
4
λ
3
λ
1
λ
0 6
λ
3
λ
5
λ
1
λ
0 2
T
(18) Так как
 
t
e
t



λ
P
, то
λ
1
T

. В результате получим

 


 


 




 
 

λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
T
6 5
4 2
1 6
5 2
6 4
1 6
3 5
4 2
1 6
3 5
2 1
6 3
4 2
1 6
5 4
3 2
6 3
4 2
6 5
4 3
1 6
3 5
1 0
















































1 1
1 1
2 1
1 1
1 1
1
(19) Подставив исходные данные, получим Т = 683,334 ч.
3. Интенсивность отказов системы
0
c
T
λ
1

(20) Подставив исходные данные, получим
3 10 463 1



,
λ
c ч 4. Частота отказов системы
 
t
c
e
t
f




c
λ
c
λ
(21) Подставив исходные данные, получим
 
3 10 228 1



,
t
f
c
ч

Задача №3 Расчет показателей надежности восстанавливаемой системы
Нерезервированная восстанавливаемая система в произвольный момент времени находится водном из двух состояний работоспособном
 
G
0
или неработоспособном
 
G
1
. Процесс ее функционирования можно отразить графом состояний (рисунок 17): отказ восстановление
0
G
1
G
Рисунок 17 - Граф состояний нерезервированной системы Из состояния
G
0
в состояние
G
1
система переходит в результате отказов с интенсивностью

, а изв- в результате восстановления с интенсивностью

. В дальнейшем будем считать, что потоки отказов и восстановлений являются простейшими


const ,


const
. Это значит, что производительность труда ремонтника постоянна и не зависит от времени. Поэтому время восстановления имеет экспоненциальный закон распределения
 
F t
e
t
 

1

; в Основным показателем надежности нерезервированной восстанавливаемой системы является коэффициент готовности Кг. Сокращение времени восстановления ведет к увеличению коэффициента готовности и не влияет на безотказность системы. Рассмотрим работу системы на интервале времени


t t
t
,
 
. Обозначим через
 

0
t
,




0
t
t

и
 

1
t
,




1
t
t

- вероятности того, что в момент времени t и
t
t
 система находится в состоянии
0
G
и
1
G
. Тогда
 
 


0 1
1
t
t


и
 г. Обозначим также через

11
 
 
01
t
и
 
 
10
t
- условную вероятность того, что в момент времени t система находится или в состоянии
G
0
или в состоянии
G
1
, а в момент времени
t
t
 или в состоянии
G
1
или в состоянии
G
0
, теза интервал времени произошел отказ (восстановление) системы. Тогда
 
 
t
t
t
t
μΔ
Δ
Ρ
;
λΔ
Δ
Ρ
10 01


(Будем считать, что за время

t
может произойти только один отказ или только одно восстановление. Тогда на интервале

t
могут произойти четыре несовместимые события:


А G G
1 0
0
,
- в момент времени t система находилась в состоянии
G
0
, в момент времени
t
t
 
она осталась в том же состоянии, те. отказа не произошло G G
2 0
1
,
- отказ произошел А G G
3 1
0
,
- восстановление произошло;


А G G
4 1
1
,
- восстановление не произошло. Тогда

    
 

 


 
 




0 1
3 0
1 1
t
t
t
t
t
t








(24)

    
 
 









1 2
4 0
1 А (Или


 
 
 






0 0
0 1
t
t
t
t
t
t


 



(26)


 
 
 






1 1
0 1
t
t
t
t
t
t






. (27) Решение системы при начальных условиях
 

0 1
t

и
 

1 0
t

, те. в начальный момент времени система работоспособна, имеет вид

12
 
 


 г. (28) Если в начальный момент времени система неработоспособна, то
 

0 0
0

,
 

1 0
1

и решение системы имеет вид
 
 


 г. (29) При t
 
независимо от начального состояния системы (
0
G
или
1
G
) вероятности г,
 

1
t
стремятся к постоянным значениям г 
;

1



 
. (30) Это означает, что при экспоненциальных законах распределения времени наработки на отказ и времени восстановления, случайный процесс работы восстанавливаемой системы стабилизируется, и вероятность застать систему работоспособной в произвольный момент времени остается постоянной. Система с указанным свойством называется эргодической, асам процесс - Марковским случайным процессом. Случайный процесс называется Марковским, если для любого момента времени вероятности всех состояний системы в будущем зависят только от ее состояния в настоящем и не зависят оттого, когда и как система пришла в это состояние. Процесс функционирования резервированной восстанавливаемой системы является Марковским случайным процессом с дискретными состояниями. Случайный процесс называется дискретным, если его состояние можно пронумеровать и переход из состояния в состояние происходит скачком. Резервированная восстанавливаемая система описывается графом состояний

13 рисунок 18). Рисунок 18 – Граф состояний резервированной системы В отличие от нерезервированной системы резервированная система в общем случае имеет три состояния
G
0
- исправное,
G
1
- неисправное, но работоспособное,
G
2
- неработоспособное. Переход системы из состояния в состояние происходит под воздействием потоков отказов и восстановлений. Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими, то случайный процесс есть Марковский процесс и задается системой дифференциальных уравнений. Система составляется последующим правилам. Производная вероятности состояния равна сумме стольких слагаемых, сколько стрелок связано с этим состоянием. Каждое слагаемое равно произведению интенсивности потока событий, переводящего систему поданной стрелке, на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка. Слагаемое имеет знак минус, если стрелка исходит изданного состояния, а знак плюс – если стрелка направлена в данное состояние. Полученная система уравнений называется системой уравнений Колмогорова. Например, для графа состояний, показанного на рис получим следующую систему дифференциальных уравнений

01

12

02

20

10
G
1
G
0
G
2

14




















)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 20 1
12 0
02 2
2 12 1
10 0
01 1
2 20 1
10 0
02 0
01 0
t
P
t
P
t
P
dt
t
dP
t
P
t
P
t
P
dt
t
dP
t
P
t
P
t
P
t
P
dt
t
dP










(Система решается с помощью преобразований Лапласа или численными методами. При t
 
справедлива предельная теорема А.А. Маркова: если все интенсивности потоков событий постоянны, аграф состояний таков, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое за конечное число шагов, то предельные вероятности состояний существуют и не зависят от начального состояния системы. В соответствии с этой теоремой при производная и система дифференциальных уравнений превращается в однородную систему линейных алгебраических уравнений
















0
)
(
μ
)
(
λ
)
(
λ
0
)
(
λ
)
(
μ
)
(
λ
0
)
(
μ
)
(
μ
)
(
λ
)
(
λ
2 20 1
12 0
02 2
12 1
10 0
01 2
20 1
10 0
02 0
01
t
P
t
P
t
P
t
P
t
P
t
P
t
P
t
P
t
P
t
P
(Система дополняется нормировочным уравнением



0 1
2 1



. (33) В качестве примера рассмотрим граф состояний системы с общим резервированием замещением кратности m и неограниченным восстановлением рисунок 19).

15
λ
μ
0
G
. . Рисунок 19 – Граф состояния системы с общим резервированием замещением Состояния системы имеют следующий смысл
G
0
- основная и все резервные системы работоспособны
G
i
- основная и i-1 резервная система отказали, все остальные резервные системы работают
G
m

1
- основная и все резервные системы отказали. Каждой дуге ведущей из состояния
G
i
в состояние
G
i

1
приписано значение

, т.к. одновременно работает только одна резервная система. Дуге ведущей изв приписано значение
i


, т.к. при этом восстанавливается i резервных систем. Резервирование с восстановлением является эффективным средством повышения надежности, с помощью которого можно добиться сколь угодно высокой надежности систем. На практике часто встречается необходимость оценки надежности достаточно сложных резервированных и восстанавливаемых систем. В этом случае метод Марковских цепей приведет к сложным решениям из-за большого числа состояний системы, поэтому для расчета показателей надежности используют простой приближенный метод расчета. Метод основан наследующих допущениях Время восстановления намного меньше времени безотказной работы. Интенсивности отказов и интенсивности восстановлений – постоянные величины. Отказы и восстановления отдельных подсистем – независимые случайные события. Для последовательного включения подсистем имеются следующие приближенные зависимости

16
г
n
i
гi
г
n
i
i
K
K
-
1
K
n
-
1
;
1 1












(Для параллельного включения
).
1
(
);
K
-
(1
-
1
;
1 1
г
m
i
гi
m
i
i
K
Kг












(В формулах приняты следующие допущения

- интенсивность отказов последовательной (параллельной) группы из n(m) подсистем;
г
K
– коэффициент готовности последовательной (параллельной) группы из n(m) подсистем

- интенсивности восстановлений последовательной (параллельной) группы из n(m) подсистем. Далее расчет надежности системы сводится к составлению структурной схемы расчета надежности и ее постепенном упрощении при помощи формул дополучения показателей

,

и г для системы. Задача 3 Исходные данные
Нерезервированная система состоит из 6 элементов. Интенсивности их отказов равны λ1=0,0003 час λ2=0,0002 час λ3=0,0009 час λ4=0,0006 час λ5=0,0004 час λ6=0,0003 час. Интенсивности восстановления элементов одинаковы и равны μ=0,4 час. Требуется определить показатели надежности системы. Решение Вычислим интенсивность отказов системы

17 0027
,
0 0003
,
0 0004
,
0 0006
,
0 0009
,
0 0002
,
0 0003
,
0 Тогда наработка на отказ, среднее время восстановления и коэффициент готовности равны соответственно час 0027
,
0 1
1




,
час
T
в
5
,
2 4
,
0 1
1




,
9934
,
0 5
,
2 4
,
370 4
,
370





в
г
Т
Т
Т
К
Поскольку интенсивности восстановления элементов одинаковы, то систему можно рассматривать как один элемент с интенсивностью отказов си интенсивностью восстановления μ. Исходя из этого, функция готовности системы будет равна
 


t
t
c
c
c
г
e
e
t
К
c
4027
,
0 4027
,
0 0027
,
0 4027
,
0 4
,
0



















Табулируя функцию от 0 до 20 часов с шагом 2 часа, получим значения, приведенные в таблице t, час Кг)
0 1
2 0,9964 4
0,9947 6
0,9939 8
0,9936 10 0,9935 12 0,9934 14 0,993423 16 0,993411 18 0,993404 20 0,993402 Коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя связаны между собой зависимостью
Г
П
K
K


1

18 Следовательно КП=0,0066 Коэффициент оперативной готовности
t
Г
ОГ
e
K
K




Табулируя от 0 до 20 часов с шагом 2 часа, получим значения, приведенные в таблице t, час
КОГ
0 0,9934 2
0,9881 4
0,9827 6
0,9774 8
0,9721 10 0,9669 12 0,9617 14 0,9565 16 0,9514 18 0,9463 20 0,9412 Исходные данные вариант λ
1
, час
λ
2
, час, час, час, час, час, час 1
0,0005 0,0001 0,0002 0,0003 0,0008 0,0009 0,2 2
0,0001 0,0008 0,0005 0,0002 0,0007 0,0003 0,8 3
0,0009 0,0005 0,0006 0,0004 0,0001 0,0008 0,9 4
0,0002 0,0003 0,0008 0,0009 0,0006 0,0001 0,1 5
0,0004 0,0002 0,0004 0,0003 0,0005 0,0007 0,3 6
0,0002 0,0006 0,0001 0,0007 0,0002 0,0005 0,4 7
0,0006 0,0007 0,0003 0,0005 0,0009 0,0007 0,7 8
0,0003 0,0004 0,0007 0,0008 0,0003 0,0004 0,6 9
0,0008 0,0009 0,0004 0,0001 0,0004 0,0005 0,5 10 0,0007 0,0008 0,0009 0,0004 0,0005 0,0002 0,8