Высшая математика 1курс 2семестр(Вариант №4). 124. Найти производную данных функций
 Скачать 244.5 Kb.
|
|
124. Найти производную  данных функций:а)   б)   в)   г)  Прологарифмируем обе части уравнения  и преобразуем равенство  Прологарифмируем обе части равенства  д)  Дифференцируем обе части равенства, учитывая, что у есть функция от х, получим или    134. Найти  и  a)    б)   Получаем   Получаем  144. Из полосы жести шириной 11 см требуется сделать открытый сверху желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобедренной трапеции. Дно желоба должно иметь ширину 7 см. Какова должна быть ширина желоба наверху, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?  b a h x Т.к. в сечении желоб представляет собой равнобедренную трапецию, то для того чтобы желоб вмещал наибольшее количество воды необходимо, чтобы S трапеции была наибольшей. Sтрапеции=  По условию а=7 см, боковые стороны трапеции (11-7)/2=2 см. Высоту находим по теореме Пифагора  , b= 7+2х, тогда S(х)=  , х Найдем производную функции S´(х)=  Для нахождения точек экстремума решим уравнение S´(х)=0   х1=-4 х2=0,5, т.к. по условию х , то корнем является только х2=0,5  S(х)  + - 0,5   S(х) х=0,5 точка максимума функции, значит. наибольшую площадь трапеции получаем (и наибольшее количество воды в желобе при х=0,5, ширина желоба на верху b=7+2x=8 см Ответ: 8 см. 154. Провести полное исследование функции и построить ее график  1) Область определения D(y)=  2) Т.к. область определения не симметрична относительно начала координат, то функция не является ни четной, ни нечетной. 3) Точки пресечения с осями координат с Ох : у=0 х=0,5 т.(0,5; 0) с Оу: х=0 у= -1 т. (0;-1) 4) Асимптоты Т.к. точка разрыва 1, то находим пределы  прямая х=1 вертикальная асимптота  у=0 горизонтальная асимптотаПроверим, существует ли наклонная асимптота  , т.е. наклонной асимптоты нет.5)Промежутки возрастания, убывания, точки экстремума   у =0 х=0 критическая точка  - - +  0 1 у точка разрыва min Функция возрастает на промежутке (0;1) и убывает на промежутках (-∞;0) и (1;+ ∞), х=0 точка минимума у(0)= -1, х=1 точка разрыва функции 6) Выпуклость, вогнутость функции   =0 при х=-0,5, тy'' у + + -  1 -0,5 Функция вогнута на промежутках (-0,5;1) и (1; +∞) и выпукла на промежутке (-∞;-0,5) По результатам исследования функции строим график.   164. Дана функция  . Показать, что  Найдем      , что и требовалось показать. 174. Даны функции  и две точки А(1,3) и В(0,95;2,94). Требуется: 1) вычислить значение z1 функции в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функции в точке В, исходя из значений z0 функции в точке А, заменив приращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом, и оценить в процентах относительную погрешность, возникающую при замене приращения функции её дифференциалом; 3) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(х0,у0,z0).1)  2) Будем рассматривать z(B) как частное значение функции при x = 0.95 = x1, у = 2.94 = у1. За x0 принимаем число 1, за у0 –число 3.Тогда z(x0,y0) =  ;Переведём dx в радианы dx = x1 – x0 = 0,95-1=-0,05, dy = y1 –y0 = 2,94-3= -0,06  Тогда получим:  z(x0,y0) + (x0,y0)dx+ (x0,y0)dy=-4-10*0.05+4*0.06=-1.26Оценим погрешность:  %3) Составим уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(1,3,-1). Искомое уравнение имеет вид:  .  184. Найти неопределенные интегралы (в случаях «а» и «б» проверить дифференцированием) : а)  Проверим результат дифференцированием:  б)  Проверим результат дифференцированием:  в)  Разобьём дробь на множители:   г)  д)   194. Вычислить определённый интеграл:  204. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:  Интеграл расходится. 214. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой  .Сделаем чертёж   Контрольная работа По высшей математике Вариант 4 Студента ФЗО Специальность: “Проектирование и производство радиоэлектронных средств” Группа: 900201 ______________________ Обратный адрес: ____________________________ г. Минск 2009 |