Высшая математика 1курс 2семестр(Вариант №4). 124. Найти производную данных функций
![]()
|
124. Найти производную ![]() а) ![]() ![]() б) ![]() ![]() в) ![]() ![]() г) ![]() Прологарифмируем обе части уравнения ![]() ![]() ![]() ![]() д) ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 134. Найти ![]() ![]() a) ![]() ![]() ![]() б) ![]() ![]() Получаем ![]() ![]() Получаем ![]() 144. Из полосы жести шириной 11 см требуется сделать открытый сверху желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобедренной трапеции. Дно желоба должно иметь ширину 7 см. Какова должна быть ширина желоба наверху, чтобы он вмещал наибольшее количество воды? ![]() b a h x Т.к. в сечении желоб представляет собой равнобедренную трапецию, то для того чтобы желоб вмещал наибольшее количество воды необходимо, чтобы S трапеции была наибольшей. Sтрапеции= ![]() По условию а=7 см, боковые стороны трапеции (11-7)/2=2 см. Высоту находим по теореме Пифагора ![]() S(х)= ![]() ![]() Найдем производную функции S´(х)= ![]() Для нахождения точек экстремума решим уравнение S´(х)=0 ![]() ![]() х1=-4 х2=0,5, т.к. по условию х ![]() ![]() ![]() S(х) ![]() + - 0,5 ![]() ![]() S(х) х=0,5 точка максимума функции, значит. наибольшую площадь трапеции получаем (и наибольшее количество воды в желобе при х=0,5, ширина желоба на верху b=7+2x=8 см Ответ: 8 см. 154. Провести полное исследование функции и построить ее график ![]() 1) Область определения D(y)= ![]() 2) Т.к. область определения не симметрична относительно начала координат, то функция не является ни четной, ни нечетной. 3) Точки пресечения с осями координат с Ох : у=0 х=0,5 т.(0,5; 0) с Оу: х=0 у= -1 т. (0;-1) 4) Асимптоты Т.к. точка разрыва 1, то находим пределы ![]() прямая х=1 вертикальная асимптота ![]() Проверим, существует ли наклонная асимптота ![]() 5)Промежутки возрастания, убывания, точки экстремума ![]() ![]() у =0 х=0 критическая точка ![]() ![]() ![]() - - + ![]() 0 1 ![]() ![]() у ![]() точка разрыва min Функция возрастает на промежутке (0;1) и убывает на промежутках (-∞;0) и (1;+ ∞), х=0 точка минимума у(0)= -1, х=1 точка разрыва функции 6) Выпуклость, вогнутость функции ![]() ![]() y'' у ![]() ![]() ![]() + + - ![]() 1 -0,5 Функция вогнута на промежутках (-0,5;1) и (1; +∞) и выпукла на промежутке (-∞;-0,5) По результатам исследования функции строим график. ![]() ![]() 164. Дана функция ![]() ![]() Найдем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 174. Даны функции ![]() 1) ![]() 2) Будем рассматривать z(B) как частное значение функции ![]() Тогда z(x0,y0) = ![]() Переведём dx в радианы dx = x1 – x0 = 0,95-1=-0,05, dy = y1 –y0 = 2,94-3= -0,06 ![]() Тогда получим: ![]() ![]() ![]() Оценим погрешность: ![]() 3) Составим уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке С(1,3,-1). Искомое уравнение имеет вид: ![]() ![]() ![]() 184. Найти неопределенные интегралы (в случаях «а» и «б» проверить дифференцированием) : а) ![]() Проверим результат дифференцированием: ![]() б) ![]() Проверим результат дифференцированием: ![]() в) ![]() Разобьём дробь на множители: ![]() ![]() г) ![]() д) ![]() ![]() 194. Вычислить определённый интеграл: ![]() 204. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость: ![]() Интеграл расходится. 214. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой ![]() Сделаем чертёж ![]() ![]() Контрольная работа По высшей математике Вариант 4 Студента ФЗО Специальность: “Проектирование и производство радиоэлектронных средств” Группа: 900201 ______________________ Обратный адрес: ____________________________ г. Минск 2009 |