Сопротивление. 15. сложное сопротивление. Внецентренное растяжение (сжатие)
 Скачать 401.16 Kb.
|
|
Лекция № 15 Сложное сопротивление. Внецентренное растяжение-сжатие. Определение внутренних усилий, напряжений при внецентренном растяжении. Определение положения нейтральной оси при внецентренном растяжении. Ядро сечения. 15. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ. ВНЕЦЕНТРЕННОЕ РАСТЯЖЕНИЕ (СЖАТИЕ) 15.1. Общие понятия и определения Внецентренное растяжение (сжатие) – нагружение, при котором брус растя- гивается силами, параллельными его оси и не проходящими через центр тя- жести сечения бруса. Точку P приложения силы при внецентренном растяжении (сжатии) будем называть полюсом силы. При этом расстояние от полюса P до продольной оси стержня (Ox) именуется эксцентриситетом 15.2. Определение внутренних усилий и напряжений при внецентренном растяжении (сжатии) Рассмотрим стержень, который растягивается силой F, приложенной не в центре тяжести сечения стержня, а в некоторой точке P с координатами y p и z p . Для определения внутренних усилий воспользуемся методом мысленных сечений: ∑ ∑ ∑ ⋅ = ⇒ = ⋅ = ⇒ = = ⇒ = . y F M M ; z F M M ; F N F p z z p y y x 0 0 0 Как видим, из шести внутренних усилий в сечении стержня при внецентрен- ном растяжении действует три – осевое усилие и два изгибающих момента. Таким образом, внецентренное растяжение может рассматриваться как соче- тание простого растяжения и двух чистых изгибов во взаимно перпендику- лярных плоскостях (а потому и относится к сложному сопротивлению). 9 Для определения нормальных напряжений при внецентренном растяжении (в произвольной точке K(y, z) сечения) найдем напряжения для каждого из про- стых видов сопротивления, входящих в состав сложного, а затем воспользу- емся принципом суперпозиции и суммируем их: а) нормальные напряжения при простом (центральном) растяжении A F A N = = σ′ ; б) нормальные напряжения при изгибе . J z z ; J y y y p z p ⋅ ⋅ F J z M F J y M y y z z ⋅ = ⋅ = σ ′′′ ⋅ = ⋅ = σ ′′ Просуммировав, напряжения при внецен- тренном растяжении (сжатии) найдем следующим образом: 1 y z z y p p p p z y z y M z N M y A J J F y y F z z A y y A z z F F . A J J A J J ⋅ ⋅ ′ ′′ ′′′ σ = σ + σ + σ ⇒ σ = + + ⇒ ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ σ = + + ⇒ σ = + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Учитывая, что радиус инерции сечения A J i = , окончательно запишем ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + ⋅ + ⋅ = σ 2 2 1 y p z p i z z i y y A F (15.1) При использовании формулы (15.1) необходимо соблюдать традиционное правило знаков: растягивающая сила F берется со знаком «плюс», сжимаю- щая – «минус», координаты точек P (y p , z p ) и K (y, z) также подставляются со своими знаками «плюс» или «минус». 15.3. Определение положения нейтральной оси и величины максимальных напряжений при внецентренном растяжении (сжатии) Так как по определению нейтральная ось есть линия, на которой нормальные напряжения равны нулю ( σ=0), то ее уравнение можно получить следующим образом: ⇒ − = ⋅ + ⋅ ⇒ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + ⋅ + ⋅ = σ 1 0 1 2 2 2 2 y p z p y p z p i z z i y y i z z i y y A F 10 2 2 н н 1 1 y z p p y z y z y z i i y z + = ⇒ + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = (15.2) Полученное выражение (15.2) представляет собой уравнение нейтральной оси – уравнение прямой в отрезках y н и z н , где p z y i y 2 н − = , p y z i z 2 н − = . (15.3) Анализ полученных соотношений дает возможность заключить следующее: 1) положение нейтральной оси не зави- сит от величины силы F; 2) нейтральная ось лежит по другую сторону от полюса (относительно центра тяжести); 3) при перемещении полюса вдоль прямой ней- тральная ось поворачивается относи- тельно некоторой фиксированной точки (это легко доказать, если в уравнении (15.2) «зафиксировать» координаты y, z для рассматриваемой точки (y, z – const), тогда переменные координаты полюса y p и z p должны подчиняться все тому же уравнению прямой). Экстремальные нормальные напряжения будут возникать в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси уд. уд. 2 2 1 p p extr z y y y z z F A i i ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ σ = ⋅ + + ⎜⎜ ⎝ ⎠ ⎟⎟. (15.4) При этом нейтральная ось может делить сечение на две части – сжатую и растянутую, тогда величину максимальных сжимающих или растягивающих напряжений найдем по формуле (15.4), учитывая правила знаков. Так как в точках сечения возникает линейное напряженное состояние (дейст- вуют только нормальные напряжения), то условие прочности запишется в самом простом виде: [ ] 2 2 1 p max p max max z y y y z z F A i i ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ σ = ⋅ + + ≤ σ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ При внецентренном растяжении (сжатии) также имеем три задачи расчета на прочность (см. «Косой изгиб»). 11 15.4. Ядро сечения Из соотношений, полученных для определения положения нейтральной оси, следует, что нейтральная ось в зависимости от координат полюса может пе- ресекать рассматриваемое сечение или лежать вне его (например, если сила приложена в центр тяжести – имеем простое растяжение, а нейтральная ось удаляется в бесконечность). Представляет интерес найти такие положения полюса, когда нейтральная ось будет лишь касаться сечения, не пересекая его. В этом случае в сечении будут возникать напряжения одного знака, что особенно важно, если нагруженный материал плохо сопротивляется, напри- мер, растягивающим напряжениям (бетон, камень, чугун) и желательно что- бы вся конструкция работала лишь на сжатие. Ядро сечения – область вокруг центра тяжести сечения, при приложении си- лы внутрь которой, в сечении возникают напряжения одного знака. Чтобы построить очертания (контур) ядра сечения, необходимо: 1) задать несколько положений нейтральной оси так, чтобы она лишь касалась контура сечения, но не пересекала его ни в од- ной точке; 2) определить для каждого из этих положений координаты y н и z н точек пересечения нейтральной линии с осями Oy и Oz; 3) вычислить для ка- ждого положения нейтральной оси ко- ординаты точки приложения силы (y p и z p ) по формулам [которые получим из (15.3)] 2 н z p i y y = − , 2 н y p i z z = − 12 |