Топтыгин. топтыгин. 156. Проводящий шар радиуса R1 находится в однородном диэлектрике с проницаемостью 1
![]()
|
156. Проводящий шар радиуса R1 находится в однородном диэлектрике с проницаемостью ε1. Внутри шара имеется сферическая полость радиуса R2 заполненная однородным диэлектриком с проницаемостью ε2. В полости на расстоянии а от ее центра (a < R2) расположен точечный заряд q. Найти поле φ во всем пространстве. ![]() ![]() Вне шара потенциал поля совпадает с полем заряда q, помещенного в центр шара: ![]() Внутри шара в материале проводника: ![]() Найдем потенциал в полости шара: ![]() отсюда ![]() ![]() отсюда ![]() ![]() ![]() 217. Поверхность проводника образована двумя сферами с радиусами R1 и R2, пересекающимися по окружности радиуса a. Найти емкость С этого проводника, исходя из результата решения задачи 206 о проводящем клине в поле точечного заряда и применяя метод инверсии. УКАЗАНИЕ. Поверхность рассматриваемого проводника описывается в тороидальных координатах уравнениями ξ = ξ1 = const ξ = ξ2= const (sin ξ1 = ± a/R1 , sin ξ2 = ± a/R2) Найдем угол пересечения сферических поверхностей ![]() ![]() Из указаний, будем использовать метод инверсии. Для этого выберем центр инверсии O на линии пересечения сфер. Зададим радиус инверсии равным 2а. ![]() ![]() В результате инверсии, в точке О появился заряд ![]() ![]() Согласно рисунку ![]() ![]() ![]() ![]() Выразим расстояния r и r’ через координаты ρ, ξ точки наблюдения М. Координата ρсвязана с декартовыми: ![]() ξ связана с декартовыми координатами следующим образом: ![]() ![]() ![]() Из данных выражение и подобия треугольников ОО’M’ и OO’M получаем: ![]() ![]() Потенциал поля точечного заряда в клиновидной области можно найти по формуле: ![]() Потенциал V пропорционален находящемуся на проводнике заряду q: ![]() Откуда следует: ![]() Выразим q из ![]() ![]() ![]() При r →∞ получаем: ![]() Используя соотношение для ![]() ![]() После вычисления получим: ![]() или ![]() 320. Пусть в плазме, описанной в предыдущей задаче, существует постоянное электрическое поле E. Получить в линейном по H0 приближении связь между плотностью тока j и электрическим полем Е. Найти тензор электропроводности. УКАЗАНИЕ. Уравнение движения электрона решать методом последовательных приближений. Из условия задачи известно, что рассматривается плазма, описываемая уравнением движения электронов в постоянном электрическом поле: ![]() где m - масса электрона, ![]() ![]() Для решения задачи необходимо получить связь между плотностью тока j и электрическим полем Е в линейном по ![]() Решение задачи начинается с выражения плотности тока через скорость электронов: j = -eNv где N - концентрация электронов. Следующим шагом в решении является выражение скорости электронов через электрическое поле и магнитное поле, используя метод последовательных приближений: ![]() где ![]() Подставляя это выражение для скорости в формулу для плотности тока, получаем: ![]() Или ![]() где ![]() В этом выражении первое слагаемое соответствует дрейфовому току, вызванному электрическим полем, а второе слагаемое - току Холла, вызванному магнитным полем. Далее, с помощью линейной алгебры можно выразить электрическое поле через плотность тока, учитывая также вклад тока Холла. Результатом является следующее выражение: ![]() R - постоянная Холла, определяемая как: ![]() Представим Е как ![]() где ![]() - тензор сопротивления; ![]() ![]() Поскольку ![]() то для получения компонентов тензора проводимости необходимо найти матрицу, обратную (4). В результате получаем: ![]() И наконец, тензор электропроводности определяется как: ![]() где σ - электропроводность без учета магнитного поля, ![]() ![]() ![]() ![]() Тензор электропроводности связывает плотность тока и электрическое поле в плазме. Он имеет диагональные компоненты, которые соответствуют направлениям осей координат, и недиагональные компоненты, которые характеризуют взаимодействие между различными направлениями. Тензор электропроводности может быть использован для описания электропроводности в различных условиях и материалах, в том числе в плазме. 400. Рассмотреть в предыдущей задаче зависимость поляризации от сдвига фаз χ для случая a = b. ![]() Рассмотрим поляризацию при разных значениях ![]() а) ![]() ![]() ![]() б) ![]() ![]() ![]() в) ![]() г) ![]() д) ![]() ![]() е) ![]() 434. Решить предыдущую задачу для случая, когда оптическая ось кристалла параллельна его поверхности и составляет угол α с плоскостью падения. Обыкновенный луч подчиняется закону преломления, поэтому ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() Из (1) следует: ![]() Cледовательно, обыкновенный луч лежит в плоскости падения и составляет с нормалью к поверхности угол ![]() Рассмотрим необыкновенную волну. Волновой вектор ![]() ![]() ![]() Cледовательно, необыкновенный луч не лежит в плоскости падения. Необыкновенный луч расположен в плоскости с волновым вектором ![]() ![]() ![]() 463. Найти дифференциальное и полное сечения рассеяния плоской волны длиной 𝛌 на идеально проводящем цилиндре высотой 2h и радиуса a <<, h << 𝛌. Исследовать различные случаи поляризации падающей волны. Цилиндр аппроксимировать вытянутым эллипсоидом вращения с полуосями a и h. С ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В случае, если ![]() ![]() где ![]() Для неполяризованной волны сечение рассеяния будет ![]() |