ЕГЭ 16 номер. 18 Диагн. Миоо 21. 01. 15
 Скачать 239.49 Kb.
|
|
18 Диагн. МИОО 21.01.15. Хорды и CF окружности делят друг друга натри равные части. а) Докажите, что эти хорды равны. б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF , если точки последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен 21 Ответ б) 3 Решение а) Обозначим центр окружности О. Пусть хорда AD пересекает хорды ВЕ ив точках Р и Q соответственно, хорда ВЕ пересекает хорду CF в точке Т. Пусть Тогда и Если , b BP то В соответствии со свойством пересекающихся хорд окружности имеем PE BP PD AP , те. b a b a b b a a ; 2 2 ; 2 2 2 2 . Тогда b a 3 3 , те. Аналогично можно доказать, что CF AD В итоге получим, чтоб) Кроме того, треугольник TPQ окажется равносторонним со стороной а, треугольники равнобедренными с боковыми сторонами а. Углы между боковыми сторонами равнобедренных треугольников по свойству вертикальных углов будут равными одному из углов равностороннего треугольника TPQ , те. 60 А это значит, что все треугольники APB DQC FTE TPQ , , , – равные равносторонние треугольники со стороной а. Три равные хорды одной и той же окружности: BE AD, и CF одинаково удалены от центра этой окружности. Отсюда следует, что стороны равностороннего треугольника также равноудалены от точки О, что в свою очередь означает, что О – центр окружности, вписанной в этот треугольник. Поскольку у равностороннего треугольника центры вписанной и описанной окружностей совпадают, то ОН – одна треть медианы треугольника TPQ ). , ( QH PH PQ H То есть 3 2 2 3 3 1 a a OH Соединим отрезком точки Аи О. Поскольку ОН – часть серединного перпендикуляра к к отрезку PQ , треугольник ОАН – прямоугольный. Значит, 2 2 2 AO АН ОН a AH 2 3 84 4 9 12 2 2 a a ; 84 12 28 2 a ; 6 6 2 a ; 6 a 3 9 4 3 36 Через точку Р проведем прямую, параллельную С , которая пересечет Аи ВС в некотрых точках. В треугольнике ТВС часть этой прямой окажется средней линией. Аналогичные прямые проведем и через точки Q и Т параллельно хордам ВЕ и AD соответственно. Теперь рассмотрим треугольник ТВС. Выше было показано, что , 60 ВТС а ТС ВТ 2 , откуда треугольник ТВС – равносторонний. Он отрезками, соединяющими середины сторон, окажется разбитым на 4 равносторонних и равновеликих треугольника. Аналогично можно доказать, что треугольники и таким же образом будут разбиты на 4 таких же треугольника. В целом таких треугольников окажется 13, площадь каждого из которых составляет 3 Искомая площадь шестиугольника равна 3 117 3 9 13 _____________________________________________________________ Замечание В данном решении по умолчанию считалось у равностороннего треугольника со стороной а высота (медиана) равна , 2 3 a а площадь – 4 Эти формулы считаются известными ив практике применяются без ссылок и выводов. |