Экзамены мат.. 18) Функция многих переменных. Скалярные и векторные поля. Примеры. окрестность точки r0 Rn. Внутренние, внешние и граничные точки множества.

• Название: 18) Функция многих переменных. Скалярные и векторные поля. Примеры. окрестность точки r0 Rn. Внутренние, внешние и граничные точки множества.
• Дата: 25.12.2021
• Размер: 136.26 Kb.
• Имя файла: Экзамены мат..docx
• Тип: Закон; #318093

18) Функция многих переменных. Скалярные и векторные поля. Примеры. ε-окрестность точки r0 ∈ Rn. Внутренние, внешние и граничные точки множества. Компакт. Определение: Пусть задано множество упорядоченных пар чисел (x;y), принадлежащее плоской области D. Правило (закон), который ставит в соответствие каждой паре чисел единственное значение называется функцией двух переменных , действующей из D в R (DR). При этом x и y называются независимыми переменными, а z – зависимой переменной. Множество называетсяобластью определения функции; множество значений, принимаемых z в области определения называется областью значений функции, обозначается E или E(f). Естественной областью определения функции двух переменных является множество пар (x,y), при которых выражение, задающее функцию, имеет смысл. Определение: Графиком функции z=f(x, y) называется множество точек пространства с координатами (x,y,f(x,y)),таких, что (x,y)D(z)-область определения функции. Для функции двух переменных графиком является некоторая поверхность. Скалярное поле – правило, по которому каждой точке M ϵ R” однозначно ставится в соответствие число. f: Rn→R Векторное поле – правило, по которому каждой точке M ϵ R” однозначно ставится в соответствие вектор. f: Rn→ V” Вывод 1: Векторное поле можно рассматривать как набор из n скалярных полей Вывод 2: Замена аргумента (точки М) её координатами даёт функцию нескольких числовых аргументов Пример. Скалярные поля (поле температур, распределение давлений, плотности в объёме, показателя преломления внутри прозрачных тел), векторные поля(поле скоростей в потоке, электрическое поле(поле векторов E и D), магнитное поле (поле векторов Н и В). ε-окрестность точки r – внутренняя точка множества D, если r – внешняя точка множества D, если r – граничная точка множества D, если Внутренность (внешность) множества D – множество всех его внутренних (внешних) точек. Граница множества D – множество всех его граничных точек. Замкнутое множество – результат объединения внутренности множества D с его границей. Ограниченное множество – множество, целиком содержащееся внутри некоторого n-мерного шара с центром в точке О. Компакт – замкнутое ограниченное множество.

19) Предел и непрерывность функции 2-х переменных Для функции 2 (и большего числа переменных) вводится понятие предела и непрерывности, как и для функций одной переменной. Обозначим через  расстояние между точками M(x,y) и M(x0,y0),тогда . Рассмотрим неравенство < или . Это неравенство задает внутреннюю область круга с центром в точке M0 и радиусом , которую называют -окрестностью точки. Определение: Число А называется пределом функции при xx0, yy0 в точке , если для любого, сколь угодно малого положительного , найдется , зависящее от , положительное, такое, что из неравенства , будет следовать неравенство , при условии что . из неравенства и  . = Замечание: Все теоремы о пределах для функций с одной переменной справедливы и для функций многих переменных. Определение:Функция называетсянепрерывной в точке ,если ,то есть если предел в точке совпадает со значением функции в этой точке. Определение: Если функция непрерывна в каждой точке некоторой области, то она непрерывна на всей этой области.

20. Приращение скалярного поля на шаге h. Дифференцируемость скалярного поля. Вектор градиента. Полный дифференциал. Вектор h, соедтиняющий фиксированную точку М с точкой М0 М=М0+h наз. шагом из точки М0 в точку М. h=r-r0=dr. Приращение функции f (r) при переходе из точки М0 в точку М. Функция f(r) наз. дифференцированной целой в точке r0, такой что приращение этой функции на шаге h можно представить в виде Вектор ,удовлетворяющий (1) наз. градиентом функции f(r) в точке r Полный 1-й дифференциал функции f (r) в точке r для шага h – главная линейная часть приращения (1): Функция f(r) наз. дифференцируемой в области , если она дифференцируема в каждой точке этой области. Вывод: Скалярная функция дифф-мая в области D, порождает векторное поле градиента в этой области. Вектор градиента. Выражение для полного дифференциала.

23. Вывод формулы для производной сложной функции.

Пусть функция z=f(x,y) – функция двух переменных, x и y, каждая из которых является функцией независимой переменной t, В этом случае функция z=f(x(t),y(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t; переменные x и y – промежуточные переменные.

Теорема: Если z=f(x,y) – дифференцируемая в точке функция и и — дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции z=f(x(t),y(t)) вычисляется по формуле: Доказательство: Дадим независимой переменной tприращение . Тогда функции и получат приращения и соответственно. В результате получим приращение функции . Поскольку функция дифференцируема в точке , то ее полное приращение можно записать в виде: , где , при , . Разделим выражение на и перейдем к пределу при . Тогда и , в силу непрерывности функций и (по условию теоремы они – дифференцируемы, а следовательно - непрерывны).

,

то есть , или .

Частный случай: z=f(x,y), где y=y(x), то есть z=f(x,y(x)) – сложная функция одной независимой переменной x. Этот случай сводится к предыдущему, причем роль независимой переменной t выполняет x: - формула полной производной.

Общий случай: z=f(x,y), где x=x(u,v), y=y(u,v) то есть z=f(x(u,v),y(u,v)) – сложная функция независимых переменных u и v, частные производные которой находятся по формулам:

Таким образом, производная сложной функции z по каждой независимой переменной (u и v) равна сумме произведений частных производных этой функции по ее промежуточным переменным на их производные по соответствующей независимой переменной.
24. Производная функции, заданной неявно.
Определение:Функция называетсянеявной, если она задается уравнением неразрешимым относительно z.

Начнем рассмотрение с неявной функции одного переменного :F(x,y)=0.

Теорема:Пусть непрерывная функция y(x) задается неявно уравнением вида F(x,y)=0 и , , - непрерывные функции в области D, содержащей точку (x,y), удовлетворяющую уравнению F(x,y)=0. Кроме того, в этой точке , тогда функция y(x) имеет производную .

Доказательство:Пусть некоторому значению x соответствует значение y, причем выполняется F(x,y)=0. Возьмем для независимой переменной x приращение . Функция y, при этом, получит приращение . То есть значению аргумента будет соответствовать значение функции . А в силу уравнения F(x,y)=0 имеем: и, соответственно . Левую, часть, являющуюся полным приращением функции двух переменных можно представить в виде , где , , при и . Или иначе (поскольку правая часть равенства - ноль): Разделим последнее равенство на и вычислим .Устремим к нулю. Тогда учитывая, что , , при и в пределе получим . Таким образом, доказана теорема существования производной от функции, заданной неявно.

Рассмотрим теперь функцию вида . Найдем частные производные функции неявной функции z. Для этого подставив в уравнение вместо z, , получим тождество . Частные производные функциитождественно равной нулю также равны нулю.





Откуда: , .

Аналогично определяются производные неявно заданных функций произвольного числа переменных.
25) Гиперповерхность и поверхность уровня. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Рассмотрим точки области в которых функция принимает одинаковое значение . Множество таких точек образуют некоторую поверхность, называемую поверхностью уровня.

Гиперповерхность является обобщением понятия поверхности 3-мерного пространства для n-мерного пространства; это многообразие размерности n, которое вложено в евклидово пространство на единицу большей размерности n + 1.

Касательная плоскость к поверхности в её точке М₀ (точка касания) есть плоскость, проходящая через М₀ и содержащая в себе все касательные, проведённые в точке М₀ ко всевозможным кривым, проведённым на поверхности через точку М₀

Нормалью к поверхности в точке М₀ называется прямая, проходящая через точку М₀ и перпендикулярная к касательной плоскости, проведённой в этой точке.

Если уравнение поверхности имеет вид F(x, y, z)=0, то уравнение касательной плоскости в точке   имеет вид:



Уравнение нормали к этой поверхности в точке М₀ есть



В случае явного задания поверхности уравнением (8.1) и (8.2) примут вид


30. Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла

Свойства неопределенного интеграла.

1
2
3
4
5
6
7

31. Занесение под знак дифференциала и замена переменной в неопределенном интеграле.

Замена переменных в неопределенном интеграле.

Пусть ф. является диф-мой и обратимой , на множестве значений которой определена ф.  = .

Пример: = = = = =

= = .

32. Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Интегралы вида
Интегр. по частям применяют, когда сложный интеграл можно заменить интегрир. более простого.

1. Подынтегр. ф. представляет собой произв. многочле-на на показ. ф. или тригонометр.. За u берется многочлен, за dv – оставшуюся часть подынтегрального выражения.

2. Подынтгр. ф. представляет собой произв. многочлена на логариф. или обратную тригонометр. Ф.. За часть u нужно взять логарифм. или обратную тригонометр. ф..

3. Подынтегр. ф. представляет собой произведение три-гонометр. на показательную ф.. Не важно что брать за u.

4. Иногда метод интегрирования по частям приходится применять несколько раз.