Олимпиадная математика Принцип Дирихле. 2. Докажите, что он рано или поздно попадет в ямку
 Скачать 87.47 Kb.
|
|
1. В некоторой стране 25 футбольных команд (по 11 футболистов в каждой). Все команды соби- раются в другую страну на важный матч. Самолет сделал 10 рейсов, перевозя по 25 человек за один рейс. Еще один футболист прилетел на собственном вертолете. Докажите, что хотя бы одна команда в полном составе доставлена к месту матча. 2. В квадрате 8×8 закрашено 33 клетки. Докажите, что какие-то три закрашенные клетки образуют уголок из трех клеток. 3. Докажите, что в любой компании найдутся двое, имеющие поровну знакомых (знакомства счита- ются взаимными). 4. 21 человек ходили за грибами и нашли вместе 200 грибов. Докажите, что какие-то двое нашли поровну грибов. 5. Дано 32 различных целых числа. Докажите, что разность каких-то двух делится на 31. 6. Среди чисел от 1 до 1000 выбрали 501 число. Докажите, что одно из них делится на другое. 7. В каждую клетку таблицы 10×10 вписали одно из трех чисел: +1, 0 или −1. Вася посчитал суммы чисел во всех строках, столбцах и двух больших диагоналях. Докажите, среди его результатов есть два одинаковых. 8. Клетки прямоугольника 3 × 9 раскрашены в два цвета. Докажите, что есть прямоугольник, все углы которого — одного цвета. 9. Есть 20 различных натуральных чисел, каждое меньше 1000. Докажите, что из них можно вы- брать два набора с одинаковыми суммами. 10. В квадрате отмечены пять точек. Докажите, что расстояние между какими-то двумя точками не превосходит половины диагонали. 11. Докажите, что на доске 10 × 10 нельзя расставить два комплекта для игры в морской бой по правилам. 12. На прямой с центром в каждом натуральном числе вырыта ямка длины a. (То есть ямки — отрез- ки вида [n − a/2; n + a/2], a — по смыслу, маленькое положительное число). Из точки 0 в положительном направлении начинает прыгать кузнечик, каждый прыжок которого имеет длину √ 2. Докажите, что он рано или поздно попадет в ямку. 13. На плоскости расположен многоугольник площади S. Докажите, что его можно параллельно перенести на плоскости, чтобы он содержал [S] узлов целочисленной решетки. 14. Дан ряд из nm + 1 различных чисел. Докажите, что в нем можно либо подчеркнуть m + 1 число, образующее возрастающую последовательность, либо n + 1 число, образующее убывающую последова- тельность. 15. На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений: 1) некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку; 2) некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются. 16. Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырехугольника, площади которых от- носятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку. 17. Среди натуральных чисел от 1 до 1200 выбрали 372 различных числа так, что никакие два из них не различаются на 4, 5 или 9. Докажите, что число 600 является одним из выбранных. 18. Докажите, что первые цифры чисел вида 2 2 n образуют непериодическую последовательность. 19. В таблице 2 n × n были выписаны всевозможные строки длины n из чисел 1 и −1. Затем часть чисел заменили нулями. Докажите, что можно выбрать несколько строк, сумма которых есть строка из нулей. (Суммой строк называется строка, элементы которой являются суммами соответствующих элементов слагаемых.) 20. Отрезок длиной 1 покрыт несколькими лежащими на нем отрезками. Докажите, что среди них можно выбрать несколько попарно непересекающихся отрезков, сумма длин которых не меньше 0,5. |