|
0). Потенциал U уменьшается при обратимом диабатическом сжатии (dAºpdq<0), растет при расширении (dA>0). Для обратимых изотермических процессов dV=0 и dF=–pdq: работа по изменения объема – полный дифференциал свободной полезности F. В этом процессе dV=0, а изменение энтропии dS>0, если полезность увеличивается (dBºVdS>0), и dS<0, если уменьшается (dBº<0). В цикле Карно истема переводится из состояния (S1,V1) в состояние (S2,V2) изотермическим процессом: и , а в систему из окружающей среды передается полезность Bh=Vh(Sh–Sc)>0 при Vh=V1=V2, Sh=S2 и Sc=S1. Из (S2,V2) в (S3,V3) адиабатическим расширением: и . Из (S3,V3) в (S4,V4) изотермическим процессом: и . Система отдает во внешнюю среду полезность Bc=Vc(Sc–Sh)<0 при Vc=V3=V4, Sc=S4 и Sh=S3. Возврат в начальное состояние адиабатическим сжатием: и . Цикл замкнут при условии Bh/Vh+Bc/Vc=0 (уравнение Клаузиуса). Полезность, переданная системе из окружающей среды, не равна работе по изменению объема. Коэффициент полезного действия цикла Карно: Статистика частиц Основное тличие статистик частиц от статистики ансамблей состоит в том, что частицы малых размеров не являются различимыми. Этот факт следует из квантовой механики и сводится к утверждению: перестановка двух частиц в системе не приводит к наблюдаемым экономическим явлениям (может привести не более чем к перемене знака волновой функции системы). В случае систем, волновые функции которых антисимметричны при перестановке пары частиц (меняют знак), в любом состоянии может находиться не более одной частицы. В случае систем, волновые функции которых при перестановке пары частиц симметричны (не меняют знак), в любом состоянии может находиться любое число частиц. К системам первого типа применима статистика Ферми-Дирака, а к системам второго типа – статистика Бозе-Эйнштейна. Функция распределения большого канонического ансамбля N частиц , где – потенциал частицы, Q – большая статистическая сумма, а полезность системы в состоянии n . Здесь nk – число частиц, имеющих полезность uk. Полное число частиц . Состояние системы определяется целыми числами nk, так что сумму по всем n и N можно заменить суммой по всем значениям n1,n2,...,nN . Вероятность PnN принимает вид , где индекс n заменен эквивалентным ему сложным индексом n1,n2,... По существу нет необходимости указывать полное число частиц, так как оно определяется заданием всех nk. Вероятность нахождения nk частиц в состоянии k . Эта сумма почти совпадает с суммой для Q: нет одного экспоненциального множителя, содержащего nk. После сокращения общих множителей остается . Среднее число частиц в состоянии k можно получить, умножая f(nk) на nk и суммируя по всем значениям nk: . В случае статистики Ферми-Дирака состояние может быть либо пустым, либо занято одной частицей, так что nk может принимать лишь значения 0 или 1, и сумма вычисляется очень просто В случае статистики Бозе-Эйнштейна состояние может быть занято любым числом частиц, а nk может принимать любое положительное целое значение. С помощью формул легко получаем . Если уровню с полезностью uk отвечает gk состояний, то число частиц Укажем на связь ансамблей с частицами. Энтропия ансамбля , где W – число комплексов в ансамбле, X – число систем в ансамбле. Если каждая система ансамбля состоит из независимых частиц, можно легко вычислить число комплексов для каждой системы: величина W для ансамбля представляет собой произведение всех wj для каждой из систем, а для одной системы получаем Различия статистик связаны с определением величины w, числа способов, которыми можно распределить частицы системы так, чтобы nk частиц находились в состоянии k. Случай статистики Ферми-Дирака. Частицы неразличимые, в каждом состоянии может находиться не больше одной частицы. Число способов размещения частиц по всем уровням полезности и энтропия и , где fk=nk/gk. Случай статистики Бозе-Эйнштейна. Частицы неразличимые, нет ограничений на число частиц, находящихся на любом уровне полезности. Число способов размещения частиц по всем уровням полезности и энтропия и , где fk=nk/gk. Случай статистики Максвелла-Больцмана. Частицы различимы, и нет ограничений на число частиц, находящихся на любом уровне полезности. Число способов размещения частиц по всем уровням полезности и энтропия и , где fk=nk/gk. Если экспоненциальные члены в распределениях Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна велики, они сводятся в предельному виду (квазиклассика) . Это выражение отличает множитель N от распределения Максвелла-Больцмана Флуктуации Рассмотрим флуктуации факторов в системе A, которая находится во внешней среде B с постоянной конъюнктурой V0. Флуктуации происходят только в системе A, а внешняя среда B участвует в квазистатическом процессе перехода из равновесного состояния х=0 во флуктуационное состояние x 0. Если фактор х изменяется достаточно медленно, равновесие системы при флуктуации фактора не нарушается. Рассматривая систему вместе с внешней средой как закрытую, примем, что вероятность фактора х иметь значение в интервале x,x+dx есть где C – постоянная нормировки, S=SA+SB – полное изменение энтропии. Переход системы A из начального состояния в конечное состояние можно рассматривать как результат действия воображаемого внешнего источника. Пусть R(x) – работа этого источника по изменению фактора от 0 до x. Тогда где V0 и p0 – равновесная конъюнктура и уровень цен. Однако UA+UB=0 и YA+YB=0, так как A и B образуют замкнутую систему. Поэтому S=–R/V0 и . Определим работу, которую нужно совершить внешнему источнику для перевода системы A из начального состояния с конъюнктурой V0= V в конечное состояние с конъюнктурой в интервале V,V+dV при неизменном благосостоянии: Разлагая изменение внутренней полезности в ряд по степеням S, получаем так как ( U/ S)Y=V и V=V0. Для малых изменений S=( S/ V)Y V и . Вероятность того, что конъюнктура флуктуирует при постоянном уровне цен .Для квадратной флуктуации имеем . Для устойчивости требуется, чтобы вероятность флуктуации не возрастала, а для этого нужно иметь SV,Y>0. Определим работу, которую нужно совершить внешнему источнику для перевода системы A из начального благосостояния Y0= Y в конечное состояние с интервалом Y,Y+dY при неизменной конъюнктуре: Разлагая изменение свободной полезности в ряд по степеням Y, получаем так как ( F/ Y)V=–p и p=p0. Вероятность того, что благосостояние флуктуирует при постоянной конъюнктуре Для квадратной флуктуации имеем Для устойчивости требуется, чтобы вероятность флуктуации не возрастала, а для этого нужно иметь pY,V<0. Флуктуации других факторов можно получить из выражения: Выберем в качестве независимых факторов V и Y; тогда Подстановка дает Это выражение содержит сомножители, зависящие от Y и V, а флуктуации благосостояния и конъюнктуры статистически независимы Y V =0. Квадратичные флуктуации дохода и скорости обращения Для устойчивости требуется, чтобы флуктуация благосостояния не возрастала, а для этого нужно иметь pY,V<0. Выберем в качестве независимых факторов p и S; тогда Подстановка дает Это выражение содержит два сомножителя, зависящие только от S и p, так что флуктуации энтропии и уровня цен статистически независимы S p =0. Квадратичные флуктуации энтропии и уровня цен Для устойчивости требуется, чтобы флуктуации энтропии и уровня цен не возрастали, т.е. SV,p>0 и pY,S<0. Квадратичную флуктуацию числа частиц можно получить непосредственно из определения среднего Дифференцирование дает а поэтому Таким образом Квадратичные флуктуации интенсивных факторов изменяются как 1/Y, а экстенсивных факторов – как Y. Распределение Гаусса для фактора x Максимум P(x) тем острее, чем меньше величина дисперсии x2 . Рассмотрим флуктуации благосостояния в реальной экономике с уровнем цен p0. Вероятность флуктуации определяется свободной полезностью Гиббса Свободная полезность имеет минимум в состоянии равновесия при Y=Y0: При p>pK благосостояние Y0 определяется однозначно. Если флуктуации Y=Y–Y0 относительно невелики Y0. Идеальным является простой регион с SV,Y=N0>0. Для идеального региона:где и – постоянные интегрирования. Без потери общности можно принять =0 и Потенциалы полезности идеального региона: где N1=N0+N. Энтропия и уровень цен в идеальном регионе: S(V,Y)=N0lnV+N(1+lnY) и p(V,Y)=NV/Y. Основной недостаток идеального региона в том, что свободная полезность F неограниченно возрастает при Y 0. Этот коллапс не может допустить государство, которое устанавливает нижний предел благосостояния Y0. Невозможность беспредельного уменьшения благосостояния дает выбор свободной полезности так как при Y0 вызвано необходимостью обеспечения глобальной устойчивости в регионе. Энтропия и уровень цен получаются с помощью дифференцирования: S(V,Y)=N0lnV+N[1+ln(Y–Y0)] и Вычислим производные уровня цен по индексу благосостояния Состояние региона с ( p/ Y)V=0 и ( 2p/ Y2)V=0 называется критическим. Для устойчивости критического состояния необходимо иметь или . Переменные критического состояния закрытого региона: , и . Если V>V, то pY,V Y( p/ Y)V<0 и состояния региона не отличаются существенно от состояний идеального региона. Однако при Vp3 резиденты имеют меньший индекс благосостояния Y1, а при p0: уровень цен увеличивается с конъюнктурой. Резиденты закрытого региона при V>V слабо взаимодействуют друг с другом и представляют собой однородную массу. При VK: Резиденты страны в этом случае слабо взаимодействуют друг с другом и представляют собой однородную массу. При 0. Разлагая Y в ряд, получаем необходимые условия равновесия: конъюнктура и ставка затрат в малой части системы равны соответствующим величинам окружающей среды. Достаточные условия равновесия * >0 и *<0: энтропия равновесной системы при постоянных затратах увеличивается с конъюнктурой, а ставка затрат при постоянной конъюнктуре уменьшается с затратами. Для * >0 необходимо, чтобы средний квадрат дохода Y2 превышал квадрат совокупного дохода Y2, т.е. дисперсия дохода была положительной. Для *<0 необходимо, чтобы d /d было отрицательным и по модулю превышало отношение дисперсии ставки затрат к конъюнктуре. Эти соотношения выполняются в простой системе многих резидентов с минимальной «корзиной» затрат 0. Сильно «перегретые» -резиденты могут иметь отрицательную ставку налога, хотя и ограниченное время. Резидентами зоны являются те хозяйствующие субъекты, которые (а) извлекают в ней доход, (б) уплачивают положенные налоги и (в) участвуют во внешней экономической деятельности. В закрытой экономической зоне число резидентов неизменно - они не принимают участия во внешнеэкономической деятельности (=0), а распределение дохода Y на накопление S и потребление C зависит от процентной ставки и налогового климата в зоне. В открытой зоне (>0) число резидентов изменяется. Рассмотрим экономическую зону, состояние которой определяется числом ni резидентов с доходами yi. Нужно вычислить большую статистическую сумму где ni=N. При малом бизнесе разрешены значения ni=0,1,2,3,...(статистика Бозе-Эйнштейна), а большой потенциал При большом бизнесе разрешены значения ni=0,1 (статистика Ферми-Дирака), а большой потенциал Покажем, каким образом число резидентов N определяет величину и как экономические потенциалы зависят от . По определению, , и , . Если же считать и функциями и , то и .Аналогично, если то ставка налога Отметим, что Налоговая плотность резидентов в идеальной зоне равна /. Статистический оператор (матрица плотности) может быть записан в виде если система с вероятностью Pi находится в состоянии . С течением времени возможные состояния системы также меняются, так что Состояние можно разложить по собственным функциям гамильтониана H Пусть индекс n нумерует резидентов с полезностями un. Согласно основному принципу статистической экономики, если известна вероятность и статистическая сумма закрытой системы можно найти внутреннюю полезность U, национальное накопление W и свободную полезность F как функции скорости обращения полезности (конъюнктуры) V: , и . Задачей экономического развития общества является выбор нормы накопления w=W/U=VS/U между спартанским и сибаритским поведением. Энтропия системы И S, и V неотрицательны. Изменения Pn и Q с V описываются производными и , где U зависит от V. Производные энтропии по конъюнктуре и зависят от дисперсии и асимметрии полезности и Энтропия увеличивается с конъюнктурой, достигая насыщения при V=V3 3/32 для 3>0. Экстенсивная переменная S является вероятностной мерой национального накопления, а интенсивная переменная V – его оценкой. Полезность n-го резидента un зависит от индекса благосостояния общества Y, причем она уменьшается с ростом Y, а pn(Y)=–dun/dY>0 определяет уровень цен где вероятность Pn теперь зависит от Y, так как un зависит от Y. Национальное накопление зависит от внутренней полезности U, среднего числа резидентов N и большой статистической суммы : , и . Открытая система называется большим каноническим ансамблем [6]. Если принять , то , где f0 и – постоянные интегрирования. Теперь получаем Эластичность конъюнктуры при постоянной ставке налога уже не является константой, как это было в идеальной системе, а зависит от налога и ставки процента. При есть неустойчивая область равновесия для такой ставки процента и такого налога , при которых эластичность ставки налога при постоянной ставке процента положительна Используя экономическую постоянную , получаем конъюнктуру Доход в рассматриваемой системе Полагая опять , находим В результате для дохода получаем где . Критическому состоянию отвечает точка K на диаграмме . область неустойчивости ограничена значениями :Сейчас кажется тривиальным, что при нехватке некоторого блага его цена возрастает. Между этим интуитивным представлением и строгим математическим доказательством – дистанция огромного размера [1]. В начале пути часто лежит предположение о детерминированности ресурсов и процессов производства потребляемых благ. Это предположение попросту не учитывает неопределенность будущего, оставляя в стороне финансовую сторону экономической деятельности. Такие нежелательные для общества явления, как инфляция и спекуляция, нельзя описать в рамках детерминированного подхода [2]. Предметом исследования является экономическая система ячеек, находящихся в определенных состояниях полезности, зависящих от благосостояния общества. Каждый ячейка находится во внешней среде, формируемой какими-то другими ячейками. Совокупность ячеек и окружающей среды образует замкнутую экономическую систему. Скорость денежного обращения и энтропия.Первый шаг к учету распределения полезностей можно сделать с помощью статистической механики [3]. Пусть индекс m нумерует ячейки общим числом M с полезностями Um. Согласно основному принципу статистической механики, если известна вероятность и статистическая сумма и , (1.1) то можно найти макроскопические показатели закрытой системы в зависимости от модуля канонического распределения V. Для денежной системы этот модуль имеет смысл скорости денежного обращения. Свободная и внутреняя полезность системы определяются следующим образом: и , (1.2) Микроэнтропия m-ой ячейки , (1.3) а энтропия всей системы , (1.4) По пределению, V и неотрицательны. Функции I и F связаны балансом . (1.5) Изменения Pm и Z с V описываются производными и , (1.6) где U зависит от V. Производные энтропии по V и (1.7) зависят от дисперсии и асимметрии полезности и . (1.8) Поскольку 2>0, энтропия увеличивается с V, достигая насыщения при V3= 3/3 2 при 3>0, но при 3<0 энтропия системы оказывается ограниченной. Производные внутренней полезности U о V выражаются в виде , и , , и . (1.9) Два показателя увеличиваются с V (UV >0 и QV >0), а один уменьшается (FV<0), причем все три показателя оказываются ограниченными при больших V (UV <0, QV <0, FV <0). Переходя к переменной с помощью dV=(V3/ 2)d , находим производные показателей полезности по энтропии: , и , , и . (1.10) Два оказателя величиваются с (U >0 и Q >0), а один уменьшается (F<0), причем он не ограничен по энтропии (I >0). Это означает, что в отличие от V энтропия не является обычным фактором полезности. Из (1.9) и (1.10) следует, что V и сопряжены, причем U() – потенциал для V, а F(V) – потенциал для . Функция Q не является потенциалом для V или . Экстенсивная еременная – вероятностная мера внутренней полезности I, а интенсивная переменная V – ее оценка. 2. Потенциалы простой системы Статистическая сумма Z(V,Y) простой замкнутой денежной системы зависит от скорости денежного обращения V и благосостояния Y, которое определяет полезность Um(Y) каждой m-ой ячейки. Поскольку Um(Y) уменьшается , оценка pm(Y) –dUm(Y)/dY>0. Частные производные статистической суммы и , (2.1) где . (2.2) С учетом этого свободная полезность F(V,Y)=–VlnZ(V,Y) имеет дифференциал (2.3) Потенциал полезности G=F+pY является функцией V и p с дифференциалом (2.4) Потенциал полезности H=G+V является функцией и p с дифференциалом (2.5) Внутренняя олезность U=F+Y является функцией и Y с дифференциалом (2.6) Первые частные производные потенциалов – это уравнения состояния и ,(2.7) и , (2.8) и , (2.9) и . (2.10) При неизменных потенциалах F, G, H и U выполняются соотношения , (2.11) , (2.12) , (2.13) (2.14) Перемножая левые и правые части, получаем соотношение (2.15) а переходя к якобианам – эквивалентное соотношение . (2.16) Отдельные сомножители здесь определяются эластичностями и . (2.17) Аналитические свойства потенциалов определяются с учетом выражений: и . (2.15) Дифференцируя уравнения состояния (2.4), (2.6), (2.8) и (2.10), получаем , (2.16) , (2.17) , (2.18) , (2.19) Эти условия непрерывности потенциалов называются условиями Максвелла. Переменные и Y экстенсивные (координаты), V и p – интенсивные (силы). Если принять, что потенциалы F(V,Y), G(V,p), H(,p), U(,Y) аддитивны, а V и p сохраняются при переходе от одной ячейки к другой, то они должны быть однородными функциями первого порядка для экстенсивных переменных: , , (2.20) где M –число ячеек, а , , и – некоторые функции. Если рассматривать M как еще одну независимую переменную, то к дифференциалам (2.3), (2.5), (2.7) и (2.9) нужно добавить dM с денежным потенциалом . (2.21) Дифференцируя G по M, получаем = (V,p) и оценка денежной массы должна зависеть от V и p. Большой потенциал является функцией , и : , (2.22) , , . (2.23) Поскольку M=G, а G=F+pY, то =–pY. Если полезность m-ой ячейки в открытой системе с общим числом M равна UmM, то вероятность . (2.24) Для Q=V теперь получаем , (2.25) где U, средняя денежная масса и большая статистическая сумма определяются следующим образом: , и . (2.26) В статистической механике открытая система называется большим каноническим нсамблем. Интерес представляет выяснение следующих вопросов. Если двигаться по траектории неограниченное время, сможет ли она пересечь начальную область фазового пространства бесконечное число раз? Далеко ли расходятся траектории, которые в начальный момент времени заполняли малую область пространства? В процессе временной эволюции фазовая «капля» может сильно деформироваться, размазываясь по всему фазовому пространству (как тонкие мыльные пленки). При положительных ответах на эти вопросы система является эргодичной. В системе могут возникать метастабильные состояния, отличающиеся стабильностью по отношению к малым флуктуациям. Такие состояния при подходящих внешних условиях возникают в равновесных и неравновесных системах. Долгоживущие состояния могут иногда определяться не внешними условиями, а предысторией развития системы. Это свойство (память) имеет большое значение для эволюции экономических систем. Траектории изотермических процессов называют изотермами, а траектории адиабатических процессов – адиабатами. В физике минимуму потенциала соответствует устойчивое равновесие, а максимуму – неустойчивое равновесие. В экономике неустойчивого равновесия нет, а необходимым условием равновесия является равенство нулю вариации экономического потенциала. Это еще не гарантирует устойчивости равновесия. Необходимо, чтобы условия максимума или минимума были удовлетворены во втором и даже более высоких порядках. Пусть свободная полезность F(V,Y) имеет несколько минимумов при V и Y, которые относятся к различным значениям N. Стабильное равновесное состояние отвечает наименьшему F, а метастабильное равновесное состояние – самому мелкому минимуму с наибольшим значением F. Они в экономике встречаются также часто, как и стабильные состояния, однако распадаются спонтанно или по некоторому «спусковому» механизму, причем система перейдет в устойчивое состояние с наименьшей свободной полезностью. Стратегии основных и оборотных средств Финансовые отчеты предприятия можно использовать для изучения его стратегий использования основных и оборотных средств, Воспользуемся балансами предприятия «Распутин» [1] в начале и в конце отчетного периода и отчетом о его финансовых результатах: приращение оборотных средств CA=206$, приращение основных средств FA=317$, приращение текущих пасивов CL=219$, приращение собственного капитала NW=304$, выручка TR=3990$, себестоимость CS=2137$, налог TP=193$, амортизация CD=1018$, проценты IP=267$, дивиденд DP=225$, прибыль RP=150$. Операционный денежный поток OCF=TR–CS–TP=3990–2137–193=1660$, инвестиции IFA= CD+ FA=1018+317=1335$, изменение рабочего капитала AWC= A– CL= 206–219=–13$, денежный поток активов CFA=OCF–IFA–AWC=1660–1335+13 =338$, поток к кредиторам CFC =IP=267$, поток к акционерам CFS=DP+RP– NW=225+150–304=71$. Матрица финансовых потоков в отчетном периоде имеет вид A CL NW CA a11 a12 FA a21 a22 Изменение валюты баланса определяется выражением . Изменение активов и пассивов баланса , и , . При заданных CA, FA, CL и NW система 4 линейных уравнений имеет ранг r=3. Выбирая свободной переменной a22, получим решение , , .При a22=185$ имеем a11=87$, a12=119$ и a21=132$. Стратегиями предприятия (агент A) являются его активы, стратегиями кредиторов и акционеров (агент B) – пассивы. Стратегиям агента A отвечают строки платежной матрицы A, а стратегиям агента B – ее столбцы. Стратегия x1 – текущие активы CA, x2 – фиксированные активы FA, а стратегия y1 – текущие пассивы CL, y2 – собственный капитал NW. На пересечении строк и столбцов матрицы указаны выигрыши агента A (и проигрыши агента B) в антагонистической игре. Если агент А рименит стратегию хi, его выигрыш может составить . Наилучшей будет стратегия, которая максимизирует значения { i}. Выиграть меньше он не может. Величина – нижняя цена игры (максимин). При стратегии yj агент В может проиграть . Наилучшим будет стратегия, минимизирующая значения { j}. Проиграть больше агент В не может. Величину азывают верхней ценой игры (минимакс). При a11=87$, a12=119$, a21=132$ и a22=185$ агент A имеет доминирующую стратегию FA, а агент B – доминирующую стртегию CL. В игре имеется седловая точка ( FA, CL). Экономическое поведение агента A в конечной 2 2-игре с выигрышами aij описывает функция полезности u(aij). Средний по исходам выигрыш и его дисперсия и . Агент имеет возможность сравнивать игры по их полезности u(c). Игра при c=0 имеет для него нулевую полезность u(0)=0, а игра при cmax – полезность u(cmax)=1. Величину cmax зависит от личных предпочтений агента. Формула Эрроу-Пратта для выкупа . Чем больше величина –u (с)/u (с), тем больший выкуп агент готов заплатить за отказ от участия в игре. Примем, что полезность выигрыша – квадратичная функция среднего выигрыша: , где a=0 для нейтрального агента A, a<0 для противника риска B и a> |
Скачать 0.6 Mb.