Лекция 2 часть 1 Потенциал (полная версия). 2. Потенциал электростатического поля. Пионером

• Название: 2. Потенциал электростатического поля. Пионером
• Анкор: Лекция 2 часть 1 Потенциал (полная версия).doc
• Дата: 19.03.2019
• Размер: 0.95 Mb.
• Имя файла: Лекция 2 часть 1 Потенциал (полная версия).doc
• Тип: Анализ; #26090

2. Потенциал электростатического поля.

(«Пионером» в этой области считается Лагранж, который

в 1777 году впервые ввел понятие потенциала для гравитационного поля).

2.1. Работа сил электростатического поля по переносу точечного заряда.



Пробный (положительный и очень маленький по размеру – это определение пробного заряда) заряд q медленно (квазистатически – заряд находится почти в покое) перемещаем по пути Г («гамма-большое») из 1 в 2 в электростатическом поле точечного статического заряда Q. Найдем элементарную работу сил электростатического поля этого заряда по перемещению заряда q:

Как известно из курса механики

Элементарная работа силы : где – элементарное перемещение точки приложения силы .
Итак, работа сил электростатического поля по перемещению точечного заряда из положения 1 в положение 2 по контуру Г может быть вычислена по формуле:


(1)
2.2. Интегральный признак потенциальности электростатического поля.

Анализируя полученную формулу для работы сил электростатического поля по перемещению заряда q по некоторому контуру Г, можно сделать следующие выводы:

1. 
   работа не зависит от формы контура Г, а зависит только от начального и конечного положений;
   
2. 
   если точки 1 и 2 совпадают (контур Г – замкнутый), то =0, т.е.
   

Линейный интеграл, взятый по замкнутому контуру (замкнутой кривой) Г, называется циркуляцией вектора . Т.е. утверждается, что циркуляция электростатического поля равна нулю.(Теорема о циркуляции).

Последний результат справедлив и для электростатического поля, созданного любой системой покоящихся точечных зарядов, т.к. по принципу суперпозиции электростатических полей





Векторное поле называется потенциальным, если циркуляция этого вектора по любому замкнутому контуру равна нулю.

Однако этот критерий потенциальности является неудобным на практике, т.к. нужно будет исследовать всевозможные контуры (что само по себе невозможно), и установить, является ли интеграл по ним равным нулю.

2.3. Локальный (дифференциальный) признак потенциальности электростатического поля.
Найдем циркуляцию вектора по бесконечно малому плоскому прямоугольному контуру , расположенному в районе некоторой точки, в декартовой системе координат. Нас будет интересовать конфигурация (линейные размеры) этого контура, поэтому изобразим его достаточно большим. Выберем направление обхода по контуру – против часовой стрелки.

Т.к. величины dx и dyявляются очень маленькими, можно считать, что и поле на протяжении этих отрезков также одинаково; будем обозначать поле в каждой точке стороны 1 как , поле в каждой точке стороны 2 как, и так далее. Интеграл по замкнутому контуру в данном случае мы можем заменить на сумму четырех слагаемых:



Теперь заметим, что выражение по сути является приращением y-ковой составляющей поля при переходе из 1 в 3 вдоль оси x. Тогда наше выражение приблизительно равно:



Мы нашли циркуляцию вектора по элементарному контуру.

Аналогично для элементарных прямоугольных контуров в плоскостях yzи zx можно получить:



А так как циркуляция вектора по любому контуру равна нулю, то можно сделать вывод, что в потенциальном поле выполняются одновременно все 3 следующих равенства:

(*)

То, что выписано – необходимый, а в электростатике – и достаточный признак потенциальности электрического поля в декартовой системе координат.

Выполнение этих равенств проверить на практике гораздо проще, чем проверять интегральный признак потенциальности электростатического поля.

Итак, полеявляется потенциальным в области, если условия (*) выполняются в каждой точке этой области.

Условия (*) можно компактно записать в векторной форме, если ввести в рассмотрение вектор "ротор" напряженности электрического поля (см. Замечание).

Замечание

Ротор вектора определим следующим образом



Векторное произведение вектора оператора градиента и вектора напряженности электрического поля, или ротор можно записать через детерминант



Следовательно, для электростатического поля имеем



ПОТЕНЦИАЛ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ.

2.4 Определение потенциала. Интегральное соотношение между .

Потенциальное поле векторов можно описать на скалярном языке с помощью понятия потенциала, он описывает поле более простым способом. Определяется не сам потенциал, а его приращение, по определению это:

(2)- приращение потенциала
(3) - убыль потенциала.

Разность потенциалов между точками 2 и 1 электростатического поля численно равна взятой с обратным знаком работе, совершаемой силами поля, при квазистатическом перемещении единичного положительного заряда по любому пути из точки 1 в точку 2.
2.5. Нормировка потенциала или выбор уровня отсчета.

Перепишем формулу (3) иначе:

- определен с точностью до выбора некой постоянной , которая нам не известна.

Существуют два удобных способа выбора значения аддитивной постоянной.

1. Если система зарядов занимает ограниченную область пространства, то потенциал бесконечно удаленной точки обычно полагают равным нулю. Потенциал любой другой точки согласно однозначно определится выражением



2. В практике электрических измерений часто полагают равным нулю потенциал поверхности Земли. При этом исходят из того, что вследствие очень большой электрической емкости Земли ее потенциал практически неизменен и соединение какого-либо проводника с Землей (заземление) делает его потенциал практически фиксированным. В этом случае



Когда говорят о потенциале, то имеют ввиду разность потенциалов между рассматриваемой точкой и точкой, потенциал которой принят за 0.

Вообще, физический смысл имеет величина, которая может быть измерена. Поэтому говорят, что потенциал в данной точке физического смысла не имеет, так как нельзя измерить работу в данной точке. Физический же смысл имеет разность потенциалов.

Потенциал характеризуется аддитивностью и он подчиняется принципу суперпозиции, как и вектор напряженности электрического поля.



Если электрическое поле создано системой точечных зарядов, то потенциал в данной точке равен алгебраической сумме потенциалов , созданных в этой точке каждым из зарядов в отдельности.

С использованием разности потенциалов квазистатическая работа сил поля при перемещении заряда q₀ по произвольному пути из точки 1 в точку 2 представится на основании (3) как

(4)

т.е. квазистатическая работа сил поля равна убыли потенциала, умноженной на величину перемещаемого заряда.
Единицей измерения потенциала служит вольт (В). Если между двумя точками пространства для переноса заряда в один кулон требуется совершить работу в один джоуль, то разность потенциалов в этих точках равна одному вольту.


2.6. Локальное (дифференциальное) соотношение между и .

Рассмотрим 2 близкие точки 1 и 2 на координатной оси OX в электростатическом поле . В соответствии с определением приращения потенциала, поскольку точки очень близки, а значит и потенциалы близки:

.

Получается, что .

Если точки 1 и 2 лежат в произвольной точке пространства, то аналогичное соотношение можно получить для проекции напряженности на другие оси декартовой системы координат:



Таким образом, вектор может быть представлен в виде:



- это оператор Гамильтона (1805-1865).

(5)

(читается так: «Набла фи»).

2.7. Физический смысл градиента (подробно прочитать- литература 6, стр.80-82)

Рассмотрим приращение потенциала d вдоль произвольно ориентированного элемента перемещения . Величина dзависит, с одной стороны, от распределения поля (x, y, z) в пространстве, а с другой стороны, от выбора точек сравнения 2 и 1. Учитывая малость dr, можно записать

(6)

Здесь



Рассмотрим величину d при перемещении точки 2 по элементарной сфере радиусом dr (вектор меняется только по правлению) (рис.1.). Из формулы (6), записанной в виде

,



Рис.1. Элементарный вектор c закрепленным в точке 1 началом. При изменении положения в пространстве точка 2 движется по поверхности сферы

видно, что максимальная величина соответствует такому направлению , при котором (так как ), другими словами:

1) направление вектора градиента потенциала указывает направление наиболее быстрого возрастания поля в пространстве;

2) величина вектора определяет “скорость” пространственного изменения поля в направлении его наиболее быстрого возрастания (Возможно, следовало выразиться как-то осторожней, чтобы не связывать понятие скорости, имеющее смысл производной по времени, с величиной производной по координате, однако такое словоупотребление весьма распространено в литературе);

3) “скорость” пространственного изменения потенциала в произвольном направлении (задаваемом вектором ) равна проекции вектора градиента на это направление.

На основании изложенного выше и выражения (5) приходим к следующему утверждению.

Вектор поля в данной точке пространства направлен в сторону наиболее резкого уменьшения потенциала, а его величина равна скорости убыли потенциала в этом направлении.

Введем понятие эквипотенциальной поверхности - поверхности, во всех точках которой потенциал имеет одно и то же значение.

Выделим поверхность одинакового потенциала и построим в любой ее точке локальную систему координат ХYZ так, что оси ОХ и ОY будут касательны к эквипотенциальной поверхности, а ось OZ направим по нормали к поверхности в сторону возрастания потенциала (рис. 2).



Рис. 2. Взаимное расположение трех эквипотенциальных поверхностей (), вектора градиента потенциала и вектора напряженности электрического поля. Изображена также локальная декартова прямоугольная система координат XYZ, ось Z которой направлена вдоль нормали к элементу поверхности  

По построению в точке 0 и, следовательно,

,

т.е. вектор градиента поля, а значит, и вектор, нормален к эквипотенциальной поверхности в любой ее точке. Поскольку направление определяет направление силовых линий, то очевиден вывод о том, что линии поля нормальны к эквипотенциальным поверхностям.

Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью или поверхностью равного потенциала.

Силовые линии электростатического поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Эквипотенциальные поверхности кулоновского поля точечного заряда – концентрические сферы.

Для однородного поля эквипотенциальные поверхности параллельные линии.

На рис.  представлены картины силовых линий и эквипотенциальных поверхностей некоторых простых электростатических полей.

Рисунок Эквипотенциальные поверхности (синие линии) и силовые линии (красные линии) простых электрических полей: a – точечный заряд; b – электрический диполь; c – два равных положительных заряда

Вопрос из ОРОКСА

Две линии напряженности электрического поля не могут пересекаться в одной точке. Можно ли утверждать, что две эквипотенциальные поверхности также не могут пересекаться в одной точке?

Ответ: Две эквипотенциальные поверхности могут пересекаться в одной точке при условии, что напряженность поля в этой точке равна нулю. В самом деле, вектор напряженности определяет направление нормали к каждой эквипотенциальной поверхности. Так как поверхности пересекаются, в точке пересечения их нормали не совпадают, а значит, электрическое поле не может иметь определенного направления. Это возможно только при нулевом значении величины поля.
Модель 1.2.  Электрическое поле точечных зарядов

Компьютерная модель демонстрирует картину силовых линий и эквипотенциальных поверхностей точечного заряда и системы из двух точечных зарядов. Можно изменять величины зарядов и их знаки, а также расстояние между зарядами. При установке курсора в любой точке и нажатии левой клавиши мыши компьютер высвечивает на дисплее значения модуля вектора напряженности электрического поля и потенциала φ в данной точке. Следует обратить внимание, что в электрическом поле двух точечных зарядов возможны сферические эквипотенциальные поверхности.

2.7. Примеры вычисления потенциала

Рассмотрим вычисление потенциала поля, созданного некоторыми заряженными телами.



Рис.3. Расположение точки наблюдения А по отношению к точечному источнику поля q

1. Пример Точечный заряд. Используя соотношения (1) и (4) и совмещая точку 1 с точкой наблюдения А (рис.3), а точку 2 удаляя на бесконечность, получим

(7)

Замечание. До сих пор использовалось понятие векторного поля - поля векторов (каждой точке пространства ставится в соответствие вектор ). Представление о потенциале как функции точки пространства позволяет ввести понятие скалярного поля - поля чисел (каждой точке пространства ставится в соответствие, с точностью до произвольной аддитивной постоянной, число ). Поэтому в дальнейшем кроме понятий электростатическое поле и поле , будем использовать понятие поля.

2.Пример. Найдем потенциал бесконечной однородно заряженной с линейной плотностью нити.

Наша задача найти как функцию .

Как уже было показано для бесконечно длинной нити:.

Выберем где-нибудь точку из которой мы стартуем, к примеру в точке , то

.

Договоримся, что в точке старта потенциал равен нулю: , тогда

.

Это при такой нормировке. Если в такой задаче нормировать , то получим ,то есть все потенциалы во всех точках бесконечно большие. Кому нужна такая нормировка? Если Вас интересует какой-то конкретный пространственный диапазон, то нормировать надо где-то вблизи этой области, тогда все потенциалами будут конечными приятными числами. От бесконечной нити нельзя уйти на бесконечность, по этой же причине не следует ожидать хорошего результата от как суммы потенциалов точечных фрагментов нити, каждый из которых нормирован условием.
3.Пример. Потенциал поля точечного диполя (первый способ).

Итак, мы рассматриваем точечный диполь и точку наблюдения достаточно далеко от этой нашей гантельки.

Давайте искать потенциал этой точки наблюдения.

Во первых, принцип суперпозиции.



Во-вторых, как известно



.

Учтя, что есть проекция вектора на и то, что расстояние до диполя очень велико, то



Потенциал поля точечного диполя (второй способ).
Используем готовую формулу для напряженности поля:

. Вот такое выражение мы с вами в свое время вывели. Обопремся на него.



Давайте выберем такое направление, чтобы нам было удобно вычислять этот интеграл, так как поле потенциальное, то результат не будет зависеть от вида траектории. Ориентация диполя, направление движения и вектор показаны на рисунке. С учетом некоторых соотношений (5) примет вид:


Определение вектора точечного диполя из в полярной системе координат.

Оператор запишется в полярной системе координат так:



Орты координатных осей декартовой и полярной систем координат (см.рис.)
4.Пример

См. Иродов задача 3.38. (часть2)

Показать, что потенциал диполя с электрическим моментом может быть представлен как, где –радиус вектор. Найти с помощью этого выражения модуль напряженности электрического поля диполя как функцию и .
- это уже показали выше, отсюда, раскрывая скалярное произведение и продифференцировав формулу для потенциала, мы получим .



Сводка формул к лекции 2

ОПЫТЫ И КОМЬЮТЕРНЫЕ ДЕМОНСТРАЦИИ

Элементарная электростатика

  Электризация трением

  Электризация через влияние

  Взаимодействие точечных зарядов

  Электростатическая машина

  Генератор Ван-де-Граафа

  Электрический ветер