Квазилинейное уравнение первого порядка. Характеристические направления и характеристики квазилинейного уравнения.
![](7022_html_19639384.gif)
Уравнение (1) называется линейным, если F линейна относительно U, Ux, Ut.
![](7022_html_m3d26672a.gif)
Уравнение (1) называется линейным, если F линейна относительно Ux и Ut.
![](7022_html_m599ca67d.gif)
Рассмотрим оператор LU = aUx+bUt
![](7022_html_m4368449c.gif)
Опр. Направлениеlназывается характерестическим направлением оператора L в фиксированной точке (x,t) на данной ф-ии U(x,t)
Опр. Гладкая кривая Г, в каждой точке которой lявляется касательной называется характеристикой оператора L на данной ф-ии U(x,t)
Опр. Если U(x,t) является решением уравнения LU+f=0, то l и Г называются характеристическим направлением и характеристикой квазилинейного уравнения на заданном решении U(x,t)
Диф уравнение характеристик:![](7022_html_11852162.gif) ![](7022_html_m52f78f8b.gif) ![](7022_html_m55d70be3.gif)
Теорема: 1) Решение однородного квазилинейного уравнения LU=0 сохраняется на характеристике.
2)решение неоднородного квазилинейного уравнения LU+f=0 то l и Г называются характеристическим направлением и характеристикой квазилинейного уравнения на заданном решении U(x,t)
| 2. Метод характерсистик решения задачи Коши для линейного уравнения 1 порядка
![](7022_html_75a806d8.gif)
Строим решение методом характеристик
1)![](7022_html_39d5ffdc.gif)
2)Проводим характеристику через интересующую нас точку (x,t), x0(x,t) – точка пересечения характеристики с осью x.
3) ![](7022_html_m473aa930.gif)
| 3. Метод характеристик решения задачи Коши для квазилинейного уравнения 1 порядка. Понятие градиентной катастрофы
![](7022_html_m73967dcb.gif)
![](7022_html_19cfb1d1.gif)
![](7022_html_m651a54e4.gif)
![](7022_html_m4b39bf5a.gif)
![](7022_html_77f2294.gif)
Явление образования разрыва в решении краевых задач для квазилинейных уравнений, обусловленное пересечением характеристик называется градиентной катастрофой.
| 4.Приведение квазилинейных дифференциальных уравнений 2 порядка к каноническому виду. Характеристики гиперболических уравнений.
![](7022_html_1779516b.gif)
![](7022_html_m3cbb99f0.gif)
1)Δ=a122-a11a22>0 –уравнение гиперболического типа
Uξη+F(ξ,η,U,Uξ,Uη)=0
Δ<0 – уравнение эллиптического типа
Uξξ+Uηη+F(ξ,η,U,Uξ,Uη)=0
Δ=0 – уравнение парболического типа
Uξξ +F(ξ,η,U,Uξ,Uη)=0 или Uηη +F(ξ,η,U,Uξ,Uη)=0
Пусть Δ>0
![](7022_html_m728acb43.gif)
![](7022_html_3efdaf.gif) ![](7022_html_5da21ab.gif)
![](7022_html_m4843f762.gif)
![](7022_html_30f41905.gif)
![](7022_html_m2bf91298.gif)
![](7022_html_63c1db1a.gif)
![](7022_html_m7eee06cc.gif)
![](7022_html_1965314a.gif)
Потребуем, чтобы α11=α22=0
![](7022_html_m36fa5351.gif)
Решаем квадратное уравнение относительно φx ψx.
![](7022_html_6923374.gif)
|
5.Метод характеристик(распространяющихся волн) решения одномерного волнового уравнения
![](7022_html_5c2554d.gif)
![](7022_html_m63038a7b.gif)
![](7022_html_41283f29.gif)
![](7022_html_m79b050a0.gif)
![](7022_html_410bd1b3.gif)
![](7022_html_166e166.gif)
| 6.Решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения. Формула Даламбера.
![](7022_html_38841d05.gif)
![](7022_html_742ff0ad.gif)
![](7022_html_m5b30b56a.gif)
![](7022_html_m5034f56a.gif)
![](7022_html_m39ff4add.gif)
![](7022_html_7ed67842.gif)
![](7022_html_m64da4736.gif)
| 7.Решение 1 и 2 краевых задач для волнового уравнения на полупрямой. Лемма. Пусть U(x,t) –решение задачи Коши на прямой.
![](7022_html_m3ac1c0e5.gif)
И пусть F(x,t), Ф(x,t),Ψ(x,t) – нечётные(чётные), тогда U(0,t)=0 (Ux(0,t)=0)
Док. По формуле Даламбера:
![](7022_html_37df88bf.gif)
![](7022_html_m2d66f325.gif)
Если, (x,t), Ф(x,t),Ψ(x,t) – нечётные
![](7022_html_m1132fbaa.gif)
Следствие: Краевая задача на некотором промежутке с однородным граничным условием 1 и 2 рода можно свести к з. Коши на прямой, продолжив все неоднородности в уравнениях нечётно или чётно относительно концов промежутка.
| 8. Отражение волн на границе полупрямой.
![](7022_html_641d81fd.gif)
U(x,t)=F(x-at)+G(x+at) – общее решение однородного волнового уравнения
1). Подставим начальные условия
![](7022_html_m96b5fd1.gif)
![](7022_html_2c0c6f5b.gif)
![](7022_html_m35715a78.gif)
2).Из граничного условия
![](7022_html_314565ab.gif)
|
![](7022_html_5b4b1975.gif)
![](7022_html_745f8c19.gif)
![](7022_html_m6fc913e5.gif)
![](7022_html_17e2f03a.gif)
Характеристики – нелинейная сетка новых координат.
(4)
|
|
| Диф уравнение характеристик:![](7022_html_11852162.gif) ![](7022_html_m52f78f8b.gif) ![](7022_html_m55d70be3.gif)
Теорема: 1) Решение однородного квазилинейного уравнения LU=0 сохраняется на характеристике.
2)решение неоднородного квазилинейного уравнения LU+f=0 удовлетворяет на характеристике условию dU/-f = μdτ
Док. 1) ![](7022_html_m5b749883.gif)
![](7022_html_m21f052f7.gif)
2) ![](7022_html_m6dc1b643.gif)
(1)
|
|
|
|
|
9. Определение, непрерывность и аналитичность Г-функции. Аналитическое продолжение Г-функции с помощью соотношения Г(z+1)=zГ(z). График Г- функции. Г-функцией или Эйлеровским интегралом 2 рода называют след ф-цию:
![](7022_html_4c91f4cd.gif)
Св-во1: Г определена и аналитична в полуплоскости ReZ>0
Св-во2:Г(z+1)=zГ(z)
Доказывается через интегрирование по частям по частям.
Следствие1: Г(z)= ,n>N
Следствие2:Г(n+1)=n! Г(1)=n!
Св-во3:Г можно аналитически продолжить на с\(о,-1,-2,…).Точки 0,-1,-2..явл простыми полюсами и =res![](7022_html_m34cf9f01.gif)
=![](7022_html_m77c7adb.gif)
| 10. Определение В-функции. Связь Г и В-функций. В-функцией иил Эйлеровским интегралом 1 рода наз след ф-цию от двух переменных:
![](7022_html_m6cace704.gif)
Cв-во1: определена и аналитична на обл. Rex>0,Rey>0
Св-во2: Связь Г и В ф-ций: В(x,y)=B(y,x)=![](7022_html_m66e59442.gif)
11. Функциональные свойства В и Г-функций. 1)B(x,y)=B(y,x) = –формула связи
2)B(z,1-z)=Г(z)Г(1-z)=![](7022_html_6c7829fd.gif)
3)![](7022_html_528d7e18.gif)
Док-во (3): B(z,z)= симметрии =2 =2![](7022_html_m6c944a20.gif)
Следствие1: Г(n+1/2)=![](7022_html_m210d5fc8.gif)
Следствие2:![](7022_html_51c0f810.gif)
| 12. Уравнение гипергеометрического типа. Теорема о производных функций гипергеометрического типа. Общий вид УГТ:
![](7022_html_f852dfb.gif)
![](7022_html_547ce93.gif)
![](7022_html_m6078f8ce.gif)
![](7022_html_m7fbe67a9.gif)
Опр. Нетривиальное решение УГТ наз. Функция гиперболического типа ФГТ
Теорема.1)ФГТ имеет непрер. Производную всюду,за исключением может быть нулей полинома ![](7022_html_44f5c3ec.gif)
2)Производные сами являются ФГТ и удовл.уравнению ![](7022_html_52be10ce.gif)
, ![](7022_html_6204e9dc.gif)
| 13. Самосопряжённый вид уравнения гипергеометрического типа.
![](7022_html_m4117c60a.gif)
![](7022_html_27bd8eaa.gif)
Потребуем: ![](7022_html_20d11de1.gif)
![](7022_html_11852162.gif)
![](7022_html_m57051102.gif)
)-весовая функция
![](7022_html_m2e866988.gif)
![](7022_html_m19b571f3.gif)
![](7022_html_m344138cd.gif)
(σρn)'=τnρn
![](7022_html_m2082a339.gif)
|
14. Полиномиальные решения уравнения гипергеометрического типа. Формула Родрига. Теорема1.Для того чтобы частным решением УГТ был полином степени n, необходимо:
![](7022_html_1ffa8c6f.gif)
Док-во:Предположим , что
)
![](7022_html_4c6359c8.gif)
![](7022_html_6684cdfc.gif)
ч.т.д.
Теорема2.Пусть (![](7022_html_37af8400.gif)
Тогда частным решением УГТ является полином степени n.
![](7022_html_579f4a4.gif)
| 15. Достаточное условие ортогональности полиномов гипергеометрического типа. Классические ортогональные полиномы. Пусть ![](7022_html_63bcc3d5.gif)
![](7022_html_5e2c2adc.gif)
Лемма.(Дост. Усл. Ортог-ти ПГТ)
Пусть ![](7022_html_m6b4fb2.gif)
Тогда ![](7022_html_ea83e4b.gif)
| 16. Классификация классических ортогональных полиномов. Полиномы Якоби, Лежандра и Чебышева. Классификация Коп
=0
полиномы Эрмита
полиномы Чебышева-Лагерра
(![](7022_html_m783116bd.gif)
x=az+b Полиномы Якоби Уравнение для полиномов
![](7022_html_3d8faf0f.gif)
![](7022_html_m58a3dcc6.gif)
y=0
Весовая функция
![](7022_html_3cd6ab60.gif)
![](7022_html_1e7b5868.gif)
![](7022_html_5fd56b4a.gif)
![](7022_html_m26d97de9.gif)
; ,![](7022_html_53e45e80.gif)
![](7022_html_m317cdf2b.gif)
Формула Родрига для полиномов Якоби
![](7022_html_m62bf22e1.gif)
Принято ![](7022_html_m77e1ad45.gif)
| 17. Классификация классических ортогональных полиномов. Полиномы Чебышева- Лагерра. Классификация Коп
=0
полиномы Эрмита
полиномы Чебышева-Лагерра
(![](7022_html_m783116bd.gif)
x=az+b
Полиномы Якоби
Уравнение для полиномов
![](7022_html_m2dfa4acf.gif)
![](7022_html_m7a6f569e.gif)
![](7022_html_5319dc9a.gif)
![](7022_html_63f713d0.gif)
![](7022_html_248b799b.gif) Замена
![](7022_html_7bf607f7.gif)
![](7022_html_38205404.gif)
Весовая функция
![](7022_html_388b6e9.gif)
C=0, ![](7022_html_m1e198b03.gif)
,![](7022_html_m60cf140c.gif)
Формула Родрига
![](7022_html_m653fd8f0.gif)
![](7022_html_616becf6.gif)
![](7022_html_37c6dfed.gif)
|
|
|
|
|
Ортогональность
=0-дост.усл.орт-ти
=0,
-выполнено, если ![](7022_html_m2930f20.gif)
![](7022_html_625861c5.gif)
-ортог на(0, ) с весом ![](7022_html_m1e198b03.gif)
Частный случай
-полином Лагерра( )
![](7022_html_m111da66.gif)
(17)
| Ортогональность
=0
=0,
-выполнено, если ![](7022_html_601b69cf.gif)
-ортог на(-1,1) с весом ![](7022_html_m317cdf2b.gif)
![](7022_html_m76f1da3b.gif)
Частные случаи
= пол .Лежандра
![](7022_html_3d28b02b.gif)
![](7022_html_m6ab760b9.gif)
![](7022_html_mdaa02d6.gif)
-
![](7022_html_14ee3fe5.gif)
![](7022_html_79939f71.gif)
(16)
|
|
|
18.Классификация классических ортогональных полиномов. Полиномы Эрмита Классификация Коп
=0
полиномы Эрмита
полиномы Чебышева-Лагерра
(![](7022_html_m783116bd.gif)
x=az+b
Полиномы Якоби Полиномы Эрмита )
Уравнение для полиномов
![](7022_html_530b7de6.gif)
![](7022_html_m29c2b90b.gif)
![](7022_html_739068ad.gif)
![](7022_html_m58a3dcc6.gif)
y=0 / * ![](7022_html_5c7a460b.gif)
![](7022_html_6ad771a1.gif)
Замена ,
y=0
, ![](7022_html_m4d3f8d91.gif)
Весовая функция
, C=0 ![](7022_html_656a356d.gif) Формула Родрига
![](7022_html_m4c7a954c.gif)
![](7022_html_m1e7baaa8.gif)
Принято ![](7022_html_1c8ae706.gif)
| 19. Теорема о нулях классических ортогональных полиномов. Свойства чётности полиномов Якоби и полиномов Эрмита Рассмотрим систему КОП ,орт-к по(a,b)
с весом ( )
Св-во1.
![](7022_html_7b8d91d5.gif)
![](7022_html_m6c7f21f.gif)
Док:1) m=0, , ![](7022_html_m2926520b.gif)
2) Предположим, что ![](7022_html_2775a41a.gif)
![](7022_html_7ce66438.gif)
![](7022_html_4ee9290.gif)
; ч.т.д
Св-во 2
![](7022_html_m13cd9b7c.gif)
![](7022_html_2b4607c7.gif)
Док-во:
![](7022_html_m880dce9.gif)
![](7022_html_1b09fb3a.gif)
![](7022_html_2e21823a.gif)
Св-во 3
Все нули КОП простые и лежат внутри интервала ортогональности (a,b)
| 20.Интегральное представление классических ортогональных полиномов. Производящая функция для системы классических ортогональных полиномов Интегральные представление КОП
, где простой контур С ориентирован протии часовой ,охватывает точку z и лежит в односвязной обл-ти
аналитическая ф-ия .
Док-во:
- ф-ла Родрига
-обобщ.ф-ла Коши для аналитична в односвязной обл D
-аналитична в D
- аналитична в D
ч.т.д
Опр.
Φ(z,t) наз. производящей ф-й для сист. КОП
, если ![](7022_html_m6e30a14.gif)
в круге ![](7022_html_2926c0b5.gif)
Св-во 6 Φ , где С-тот же что и в св-ве 5
Док-во:
по св-ву 5) ![](7022_html_27ed123d.gif)
По опр-ю: ![](7022_html_7c8008c6.gif)
непер. на С→огр. на С→ ![](7022_html_7459a48f.gif)
M<1
-сход равном в круге![](7022_html_2926c0b5.gif)
ч.т.д
| 21.Производящая функция для полиномов Лежандра. Лемма
Для полин Леж ![](7022_html_m127e683d.gif)
при ![](7022_html_m5e64f3c4.gif)
Док-во
Для полином Леж ![](7022_html_31098661.gif)
Φ![](7022_html_m1dbfac73.gif)
![](7022_html_m6aaf27d8.gif)
![](7022_html_2fa6c6a2.gif)
![](7022_html_m5ddf314a.gif)
![](7022_html_m4204e254.gif)
![](7022_html_m3cf51d78.gif)
Φ![](7022_html_me337a91.gif)
По опр-ию Φ = =![](7022_html_6b8c2171.gif)
![](7022_html_m77e1ad45.gif)
Замена s=-2t
![](7022_html_m5660a013.gif)
![](7022_html_m1e23ed14.gif)
При ![](7022_html_3b06ece.gif)
![](7022_html_m6d3fdcdf.gif)
![](7022_html_m6eff66bc.gif)
|
22. Рекуррентные формулы для классических ортогональных полиномов. Вывод рекуррентных формул для полиномов Лежандра 3 последних КОП связаны след. рекурент соотн-м:
![](7022_html_6b1cc14c.gif)
где ,![](7022_html_4597caea.gif)
Док-во
![](7022_html_41165e9e.gif)
по св-ву 1 ![](7022_html_m2939280e.gif)
;
![](7022_html_m2401f8d0.gif)
−ву 2 ![](7022_html_74c09633.gif)
![](7022_html_m390456c0.gif)
![](7022_html_793a0e30.gif)
![](7022_html_m76f43586.gif)
![](7022_html_m7b30b731.gif)
/ ![](7022_html_m127e683d.gif)
![](7022_html_14a922dd.gif)
![](7022_html_4e351938.gif)
![](7022_html_4bfa675a.gif)
![](7022_html_226f234.gif)
ч.т.д.
| 23. Полнота системы классических ортогональных полиномов. Теорема о разложимости функции в ряд Фурье по системе КОП. Квадрат нормы полиномов Лежандра. Свойство: Пусть – сходится. Тогда ![](7022_html_m1bebd4ff.gif)
Теорема разложимости: Пусть f(z) и f’(z) – кус. Непрерывны на любом ![](7022_html_2110cd6e.gif)
Лемма: Для полиномов Лежандра ![](7022_html_m2d556867.gif)
Доказательство: ![](7022_html_1e75c05b.gif)
![](7022_html_5da03c41.gif)
![](7022_html_m4a2f056d.gif)
![](7022_html_m735ddfd2.gif)
![](7022_html_4703d98c.gif)
| 24 Определение сферических функций. Определение присоединённых ф-ий Лежандра.
![](7022_html_ac32631.gif)
Сферическими функциями называются собственные функции оператора Лапласса, удовлетворяющие условиям непрверывности(2) и периодичности(3)
![](7022_html_m4fdde084.gif)
| 25. Ортогональность и квадрат нормы присоединённых функций Лежандра. Решение ур-ия Лежандра:
![](7022_html_48de3917.gif)
не огр на отр.[-1,1]
![](7022_html_217750f9.gif)
решение нашего ур-ия
![](7022_html_m6439ce7c.gif)
K=0,1,2… n=k,k+1,…
Теорема.Присоедин. ф-ции Лежандра орт-ны на (-1,1) при фиксир к,т.е.:
![](7022_html_33904685.gif)
|
|
| Док-во:
![](7022_html_5c5d8fdd.gif)
![](7022_html_34eb3bc7.gif)
Требуется док-ть ,что m=n . Предположим обратное: m<n
Рассмотрим , если m>0
![](7022_html_2bff6b22.gif)
По св-ву 2 ![](7022_html_m3e36893.gif)
не меняет знак на (a,b)
противоречие m=n
![](7022_html_m43af093a.gif)
Св-во 4 (Св-во четности)
Полиномы Якоби при α=βи полиномы Эрмита являются честными, если n=2k
нечетными если n=2k+1
Док-во: 1) ![](7022_html_m1718f63c.gif)
![](7022_html_5cea454e.gif)
![](7022_html_415edd05.gif)
2)
![](7022_html_4e11452c.gif)
![](7022_html_273e8615.gif)
(19)
| Ортогональность
=0
=0,
-выполнено, если ![](7022_html_43f0344e.gif)
ортог на(- ,+ ) с весом ![](7022_html_m355eb894.gif)
(18)
|
|
|
|
|
26. Фундаментальные сферические функции и их свойства. Общее решение уравнения Лапласа в виде ряда Фурье по системе фундаментальных сферических функций. Шаровые функции. Сферич.ф-ции след вида:
Наз.ФСФ порядка n
Св-во1:ФСФ явл собств.ф-циями оператора : отвечающие с.з. ![](7022_html_m74eb40cb.gif)
Св-во2:ФСФ орт-ны на един.сфере,т.е
![](7022_html_m5d96777f.gif)
![](7022_html_m7dbd5511.gif)
Св-во3:ФСФ образуют ортогональный базис в CL2(D, )
D={![](7022_html_m65f38b6c.gif)
![](7022_html_m40b187fe.gif)
![](7022_html_1f4d1c55.gif)
![](7022_html_m64cc2029.gif)
![](7022_html_m8998319.gif)
![](7022_html_7f6d6af7.gif)
![](7022_html_7a21efe3.gif)
| 27. Уравнение Бесселя. Поиск решения уравнения Бесселя в виде обобщённого степенного ряда. Функция Бесселя.
![](7022_html_m2fffaf4.gif)
Опр. Всевозможные решения уравнения Бесселя называются цилиндрическими функциями.
Ищем решение ур. Бесселя в виде обобщённого степенного ряда:
![](7022_html_2b78605.gif)
![](7022_html_63333263.gif)
![](7022_html_534f27f6.gif)
![](7022_html_f121d41.gif)
![](7022_html_m2d563b2d.gif)
![](7022_html_m2d856346.gif) ![](7022_html_m62915199.gif)
![](7022_html_m11c8cf80.gif) ![](7022_html_3d89607b.gif)
![](7022_html_4afa5d9f.gif) ![](7022_html_18f57a23.gif)
![](7022_html_6777a03b.gif)
| Билет 28. Сходимость степенного ряда для ф-ии Бесселя. Линейная зависимость функций Бесселя.
– ур-ие Бесселя
Ищем решения ввиде степенного ряда:
![](7022_html_3806cf01.gif)
![](7022_html_370af077.gif)
![](7022_html_m1d803a9.gif)
![](7022_html_m46f4bae3.gif)
![](7022_html_m35952a6b.gif)
![](7022_html_mb329c83.gif)
![](7022_html_223c1c6c.gif)
![](7022_html_3b699ba3.gif)
![](7022_html_7e8461bb.gif)
![](7022_html_m4017aa48.gif)
| 29. Функция Бесселя порядка . Асимптотическое представление целых ф-ии при .
![](7022_html_569c252a.gif)
![](7022_html_5fe462d6.gif)
Аналогично при - : ![](7022_html_m6312c464.gif)
– ур-ие Бесселя – разделим на ![](7022_html_10d3b55d.gif)
![](7022_html_7361f1d7.gif)
![](7022_html_mc437fc2.gif)
![](7022_html_32409534.gif)
![](7022_html_mc437fc2.gif)
Замена ![](7022_html_m58ec4830.gif)
Замечание: При или получаем ![](7022_html_m3197c9c4.gif)
|
32. Функции Неймана и Ханкеля. Функ. соотношения цил. Функ.
![](7022_html_m36728206.gif)
Найдём цилиндрическую функцию, которая имеет другое асимптотическое представление
![](7022_html_m3dc7d128.gif)
При целом ν:
- общее решение уравнения Бесселя
![](7022_html_m135e3d8f.gif)
![](7022_html_5b6731c4.gif)
![](7022_html_m259b0927.gif)
– функция Неймана
При целом , ![](7022_html_m1b6c7c73.gif)
–л.н.з., т.к. имеют л.н.з. асимптотические представления при ![](7022_html_28202723.gif)
– функции Ханкеля 1-ого (2-ого) рода
При , =
| 31. Асимптотические представления цилиндрических функций в окрестности точки нуль. Графики функций Бесселя и Неймана.
![](7022_html_7af13e7.gif)
При , ![](7022_html_m1fd8d71c.gif)
![](7022_html_m721bcf4.gif)
, , ![](7022_html_5c8db7c.gif)
По формуле дополнения: ![](7022_html_138305b.gif)
, , ![](7022_html_5c8db7c.gif)
Если , то =
![](7022_html_m786c9f9f.gif)
При , ![](7022_html_dcdc733.gif)
![](7022_html_m6fb70665.gif)
![](7022_html_3a1798e6.gif)
![](7022_html_2b489f28.gif)
![](7022_html_6b93f7b7.gif)
| 32. Модифицированные цилиндрические функции (цил. ф-ии мнимого аргумента). Асимптотические представления и графики.
– ур-ие Бесселя
– общее решение уравнения Бесселя
Сделаем замену , тогда![](7022_html_m2aab46c0.gif)
– модифированное уравнение Бесселя
![](7022_html_70672d52.gif)
– функция Бесселя мнимого аргумента
– Функция Макдональда
– монотонно возрастает на (0;+∞) при ![](7022_html_14bd9f1a.gif)
При , ![](7022_html_m354e8893.gif)
![](7022_html_maea5fc0.gif)
![](7022_html_114aeefa.gif)
![](7022_html_fb03383.gif)
|
|
Теорема. Любое вещественное решение уравнения Бесселя при имеет асимптотическое представление вида:
![](7022_html_2bacb265.gif)
Где ![](7022_html_7cd44287.gif)
Лемма. :
![](7022_html_m36728206.gif)
|
![](7022_html_m355b6060.gif)
![](7022_html_m6c4c7c83.gif)
![](7022_html_m18c124ab.gif)
![](7022_html_m78942d3e.gif)
Теорема. Для любого R>0 ст.ряд сходится равномерно по z и в замкнутой области ![](7022_html_m3eebf5fe.gif)
Док-во: ![](7022_html_2d5328a3.gif)
![](7022_html_m759e1b82.gif)
Пусть =C![](7022_html_563a2521.gif)
=C![](7022_html_m1d4fcc00.gif)
![](7022_html_6215e501.gif)
Теорема. Ф-ии Бесселя при нецелом :
![](7022_html_m53420040.gif)
|
|
![](7022_html_mf4b16be.gif)
R=![](7022_html_m5741d1cd.gif)
![](7022_html_m38ec680b.gif)
![](7022_html_m57d55379.gif)
![](7022_html_7fe4c101.gif)
![](7022_html_7ae6419a.gif)
![](7022_html_5a97c8fb.gif)
![](7022_html_m6c3a28bc.gif)
(26)
|
|
|
![c:\users\ion\desktop\2.jpg](7022_html_m5fdc6700.jpg) ![c:\users\ion\desktop\1.jpg](7022_html_73a04e47.jpg)
|
|