2 уравнение сторон ав и ас и их угловые коэффициенты 3 угол а 4 уравнение высоты cd и ее длину
 Скачать 88.59 Kb.
|
|
1.1. Даны вершины треугольника АВС. Найти: 1) длину стороны АВ 2) уравнение сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты 3) угол А 4) уравнение высоты CD и ее длину 5) уравнение окружности, для которой высота CD является диаметром.  Решение. Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi здесь X,Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj Например, для вектора AB X = x2 - x1; Y = y2 - y1 X = 7-(-5) = 12; Y = 9-0 = 9 AB(12;9) AC(10;-5) BC(-2;-14) 1) длину стороны АВ Расстояние d между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) определяется по формуле: 2) уравнение сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями: Уравнение прямой AB Каноническое уравнение прямой: или или y = 3/4x + 15/4 или 4y -3x - 15 = 0 Угловой коэффициент  Уравнение прямой AC Каноническое уравнение прямой: или или y = -1/2x -5/2 или 2y + x +5 = 0 Угловой коэффициент  3) внутренний угол А Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле: где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 Найдем угол между векторами AB(12;9) и AC(10;-5) γ = arccos(0.45) = 63.440 =1.10 4) уравнение высоты CD и ее длину Прямая, проходящая через точку D(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями: Найдем уравнение высоты через вершину C y = -4/3x + 5/3 или 3y +4x -5 = 0 Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины: Найдем расстояние между точкой C(5;-5) и прямой AB (4y -3x - 15 = 0) Найдем точку пересечения с прямой AB: Имеем систему из двух уравнений: 4y -3x - 15 = 0 3y + 4x - 5 = 0 Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение. Получаем: x = -1 y = 3 D(-1;3) 5) уравнение окружности, для которой высота CD есть диаметр Уравнение окружности радиуса R с центром в точке E(a;b) имеет вид:  Так как CD является диаметром искомой окружности, то ее центр Е есть середина отрезка CD. Воспользовавшись формулами деления отрезка пополам, получим:   Следовательно, Е(3;6) и R = CD / 2=10/2 = 5. Использую формулу, получаем уравнение искомой окружности: Сделаем чертеж  2.1. Определить тип заданной кривой и построить ее (для окружности указать центр, для эллипса и гиперболы – фокусы и эксцентриситет, для параболы – фокус и директрису).  Решение. Разделим на 100 обе части уравнения:   Полуоси эллипса: a = 5;b = 2 Данное уравнение определяет эллипс с центром в точке: C(0; 0) Найдем координаты фокусов F1(-c;0) и F2(c;0), где c - половина расстояния между фокусами Итак, фокусы эллипса: Тогда эксцентриситет будет равен: Вследствие неравенства c < a эксцентриситет эллипса меньше 1. Сделаем чертеж:  3.1. Даны координаты точек А, В, С. Требуется: 1) записать векторы  в системе орт и найти их модули;2) найти угол между векторами 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору   Решение. 1) записать векторы АВ и АС в системе орт и найти модули этих векторов; Координаты векторов находим по формуле: X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj; Например, для вектора AB X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1 X = 3-(-2); Y = 0-(-1); Z = -2-(-2) AB(5;1;0)  AC(3;5;4)  2) найти угол между векторами  и  Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой: Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле: где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2 Найдем угол между ребрами AB(5;1;0) и AC(3;5;4): γ = arccos(0.555) = 56.3120 3) составить уравнение плоскости, проходящей через точку С перпендикулярно вектору Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору N = (l,m,n), имеет вид: l(x- x0) + m(y- y0) + n(z- z0) = 0 Координаты точки C(1;4;2) Координаты вектора AB(5;1;0) 5(x - 1) + 1(y - 4) + 0(z - 2) = 0 Искомое уравнение плоскости: 5x + y-9 = 0 4.1. Решить систему уравнений методом Крамера (с помощью определителей).  Решение. Главный определитель системы  В этом случае система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам:  где △ – определитель системы, а  – определитель, получающийся из определителя системы △ путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при  .Определитель системы нам известен, вычислим определители:    Отсюда  5.1. Найти указанные пределы.   Решение.   |