контрольная по математике. Математика_Готовая1. Решение 1 Найдем длину стороны. 2 Найдем уравнения сторон и и их угловые коэффициенты

• Название: Решение 1 Найдем длину стороны. 2 Найдем уравнения сторон и и их угловые коэффициенты
• Анкор: контрольная по математике
• Дата: 28.09.2020
• Размер: 0.67 Mb.
• Имя файла: Математика_Готовая1.doc
• Тип: Решение; #139948

Математика

4. Даны вершины треугольника .

Найти: 1) длину стороны ; 2) уравнения сторон и и их угловые коэффициенты; 3) внутренний угол в радианах; 4) уравнение высоты и ее длину; 5) систему линейных неравенств, определяющих треугольник .

Решение:

1) Найдем длину стороны .



2) Найдем уравнения сторон и и их угловые коэффициенты.

Уравнение прямой, проходящей через две точки:



Уравнение стороны



или , угловой коэффициент .

Уравнение стороны







или , угловой коэффициент

3) Найдем внутренний угол в радианах.



следовательно,





4) Найдем уравнение высоты и ее длину.

Угловой коэффициент прямой .

Т.к. высота перпендикулярна прямой то .

Уравнение прямой с угловым коэффициентом и проходящей через точку



Длину высоты , проведенной из вершины найдем как расстояние от точки до прямой

.



5) Найдем систему линейных неравенств, определяющих треугольник .

Уравнение стороны . Подставим точку



Уравнение стороны . Подставим точку



Уравнение стороны



Подставим точку



Система неравенств, определяющих множество точек, принадлежащих треугольнику, включая его стороны:



Ответ:

1)

2) ;

3)

4)

5) .
26. В задаче даны координаты точек .

Требуется: 1) записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов; 2) найти величину угла между векторами и ; 3) найти площадь треугольника ; 4) найти объем пирамиды .

Решение:

1) Запишем векторы в системе орт и найдем их модули:



Модули векторов:



2) Найдем угол между векторами и .





3) Найдем площадь треугольника .





4) Найдем объем пирамиды





Ответ: 1)



2) 3) 4)
48. Найти производные данных функций.



Решение:



Ответ:



Ответ:



Ответ:
60. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график. Исследование функции рекомендуется проводить по следующей схеме: 1) найти область определения функции; 2) исследовать функцию на непрерывность; 3) определить является ли данная функция четной, нечетной; 4) найти интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума; 5) найти интервалы выпуклости и вогнутости и точки перегиба графика функции; 6) найти асимптоты графика функции.

Решение:



1) Область определения функции:

2) Функция точек разрыва не имеет.

3) Определим является ли данная функция четной, нечетной.



Функция ни четная, ни нечетная. Функция общего вида.

4) Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки ее экстремума.

Находим первую производную:



Полагая , найдем критические точки:



Критическая точка первого рода разбивает область определения на два интервала. Определим знак первой производной на каждом из интервалов.

		1
	+	0	–
	возрастает	max	убывает

Функция возрастает на интервале , т.к. функция убывает на интервале т.к.

– точка максимума, т.к. при переходе через нее меняет знак с плюса на минус.

5) Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Вторая производная:



Полагая найдем критические точки второго рода:



Критическая точка второго рода разбивает область определения на два интервала. Определим знак второй производной на каждом из интервалов.

	–	0	+
	выпуклый		вогнутый

График функции вогнутый на интервале , график функции выпуклый на интервале , т.к.

точка перегиба.

6) Асимптоты.

Наклонные асимптоты ищем в виде: , где



Наклонных асимптот нет.



Горизонтальная асимптота на :

7) Точки пересечения с осями координат:

8 ) Сделаем чертеж.



1,47

1,08

0 1 2


72. Вычислить неопределенные интегралы:



Решение:



Сделаем замену:

тогда или

Получим



Ответ:



Подынтегральная функция – неправильная рациональная дробь, выделим целую часть:





Разложим знаменатель подынтегральной дроби на множители:





Разложим дробь на сумму простых дробей по методу неопределенных коэффициентов:







Вернемся к интегралу:



Ответ:



Ответ:



Используем интегрирование по частям, т.е. используем формулу:





Ответ:

104. С помощью двойного интеграла вычислить координаты центра тяжести плоской фигуры, ограниченной заданными линиями (поверхностную плотность считать равной единице)

Решение:



Сделаем чертеж.

уравнение параболы с вершиной .

уравнение параболы с вершиной .

Найдем точки пересечения парабол:





Координаты центра тяжести (при условии того, что поверхностная плотность равна единице):



Найдем площадь фигуры:



Т.к. фигура, заданная по условию задачи, симметрична относительно оси то

Вычислим интеграл для нахождения



Координаты центра тяжести:



Ответ: .

116. Найти общее решение дифференциального уравнения первого порядка .

Решение:



Разделим уравнение на

уравнение вида , следовательно, имеем линейное уравнение первого порядка.

Искомую функцию будем находить в виде , где Тогда

Подставим и в исходное уравнение:



Вынесем из 2-го и 3-го слагаемого функцию за скобки как общий множитель:



Составим систему двух дифференциальных уравнений. Для этого выражение, стоящее в скобках, будем считать равным нулю:



Решим первое уравнение системы:





Подставим найденную функцию во второе уравнение системы и найдем его решение:



Запишем общее решение исходного дифференциального уравнения:



Ответ: общее решение дифференциального уравнения.


128. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка удовлетворяющее начальным условиям:

Решение:



Соответствующее однородное уравнение:



Характеристическое уравнение:



Корни характеристического уравнения комплексные сопряженные, значит, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:



или

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Правая часть исходного уравнения частное решение ищем в виде:

Тогда



Подставим в исходное уравнение, оставляя в правой части :



Приравниваем коэффициенты перед и слева и справа от знака равенства:



Частное решение:

Общее решение исходного уравнения:



Тогда

Подставим заданные начальные условия



Частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям



Ответ:

160. Дана вероятность того, что семя злака прорастет. Найти вероятность того, что из посеянных семян прорастет семян.

Решение:

Вероятность того, что семя злака прорастет:

Вероятность того, что семя злака не прорастет:


Искомую вероятность рассчитываем по локальной теореме Лапласа:



По таблице определяем значение функции Лапласа:



Искомая вероятность:



Ответ: