3 вопрос. 3 вопрос. Аксиоматика Д. Гильберта евклидовой геометрии, общий обзор. Основные (неопределяемые) объекты точки, прямые, плоскости. Основные (неопределяемые) отношения принадлежать
 Скачать 17.09 Kb.
|
|
3 вопрос. Аксиоматика Д. Гильберта евклидовой геометрии, общий обзор. Основные (неопределяемые) объекты: точки, прямые, плоскости. Основные (неопределяемые) отношения: «принадлежать», «лежать между», «конгруэнтность». Основные объекты + основные отношения = основные понятия. Основные понятия удовлетворяют следующим 20 аксиомам, которые разбиты на 5 групп. I группа (аксиомы принадлежности): свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей. А1. Для любых точек А и В, существует (хотя бы одна) прямая а, которой они принадлежат. А2. Для любых точек А и В, существует не более одной прямой, которой они принадлежат. А3. Для каждой прямой существуют хотя бы две точки, которые ей принадлежат. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой. А4. Для любых точек А, В, С, не принадлежащих одной прямой, существует (хотя бы одна) плоскость, которой они принадлежат. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка. А5. Для любых точек А, В, С, не принадлежащих одной прямой, существует не более одной плоскости, которой они принадлежат. А6. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то каждая точка прямой принадлежит этой плоскости. А7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку. А8. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости. Опр. прямая а проходит через точки А и В, если эти точки принадлежат прямой а. Плоскость a проходит через точки А, В и С, если эти точки принадлежат плоскости a. Опр. Если две прямые (две плоскости, прямая и плоскость) имеют общие точки, то говорят, что они пересекаются. Если все точки прямой лежат в плоскости, то говорят, что эта прямая лежит в плоскости. II группа (аксиомы порядка): точка на прямой может находиться в известном отношении к двум другим точкам той же прямой; это отношение выражается словами «лежать между». Если точка В лежит между точками А и С, то мы запишем так: А – В – С. При этом выполняются следующие аксиомы: А9. Если А-В-С, то С-В-А и А, В и С – различные точки одной прямой А10. Для любых точек А и В, существует по крайней мере одна точка С, такая, что А-В-С. А11. Среди любых трех точек прямой не более одной точки лежит между двумя другими. Опр. Отрезок – фигура, состоящая из двух точек (концы) и всех точек, лежащих между ними (внутренние). Опр. Прямая пересекает отрезок, если она проходит через внутреннюю точку этого отрезка А12. (Аксиома Паша). Пусть А, В, С – три точки, не лежащие на одной прямой, а – прямая в плоскости (АВС), не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда если прямая а пересекает один из отрезков АВ, АС и ВС, то она пересекает по крайней мере один из двух оставшихся отрезков. III группа аксиом (аксиомы конгруэнтности) А13. Если А и В — две точки на прямой а, А’ — точка на той же прямой или на другой прямой а’, то по данную от точки А’ сторону прямой а’ найдется, и притом только одна, точка В’ такая, что отрезок А’B’ конгруэнтен отрезку АВ. Каждый отрезок АВ конгруэнтен отрезку ВА. А14. Если отрезки А’B’ и А"B" конгруэнтны одному и тому же отрезку АВ, то они конгруэнтны и между собой. А15. Пусть АВ и ВС - два отрезка прямой а, не имеющие общих внутренних точек, А’B’ и B’C’ - два отрезка той же прямой, или другой прямой а’, также не имеющие общих внутренних точек. Тогда если отрезок АВ конгруэнтен отрезку А’B’, а отрезок ВС конгруэнтен отрезку B’C’, то отрезок АС конгруэнтен отрезку А’C’. А16. Если даны угол ∠ABC и луч B’C', лежащий в плоскости данного угла, тогда существует ровно два луча, также лежащие в плоскости данного угла, B’D и B’E, такие, что ∠DB’C' ≅ ∠ABC и ∠EB’C' ≅ ∠ABC. А17. Если для двух треугольников ABC и A’B'C' имеют место конгруэнции: AB≅A’B', AC≅A’C', ∠BAC ≅ ∠B’A'C', то всегда имеют место и конгруэнции: ∠ABC ≅ ∠A’B'C' ∠ACB ≅ ∠A’C'B'. IV группа аксиом (аксиомы непрерывности): А18. Аксиома Архимеда. Если даны отрезок CD и луч AB, то существует число n и n точек A1,…,An на AB таких, что: AjAj+1 ≅ CD, 0 ⩽ j < n, A0 совпадает с A, и B лежит между A и An. А19. «Полнота линии». Добавление хотя бы одной дополнительной точки в прямую линию вызовет противоречие с одной из аксиом принадлежности, порядка, первыми двумя аксиомами конгруэнтности или аксиомой Архимеда. V группа аксиом (аксиома параллельности): А20. Для нее Гильберт выбрал не евклидовскую формулировку, а эквивалентную ей, но более простую аксиому Прокла: Пусть a есть произвольная прямая и A — точка вне её; тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, можно провести не более одной прямой, проходящей через A и не пересекающей a. Очень часто при решении задач используется утверждение: если точка В лежит между точками А и С, то точка А не лежит между точками В и С. Во всех утверждениях словосочетание «две прямые» («две точки», «две плоскости») означает: две различные прямые (точки, плоскости). Важные понятия: Отрезок[ХY] пересекает прямую m, если прямая (XY) пересекает прямую m в такой точке Z, что X – Z – Y (т.е. Z лежит между Х и Y). Точки Х и Y лежат по разные стороны от прямой m (X, Y ¸ m), если отрезок [XY] пересекает прямую m во внутренней точке. Точки Х и Y лежат по одну сторону от прямой m, если: 1) эти точки и прямая лежат в одной плоскости; 2) отрезок [XY] и прямая m не имеют общих точек. Треугольник – фигура, состоящая из трех точек (называемых вершинами треугольника), не принадлежащих одной прямой, и трех отрезков (называемых сторонами треугольника) с концами в этих точках. Угол – фигура, состоящая из двух лучей с началом в одной точке (иногда угол определяют так: фигура, состоящая из точки, и двух лучей с началом в этой точке). Эти два луча называются сторонами угла, а их начало – вершиной угла. Если стороны угла – дополнительные лучи, то угол называется развёрнутым. Если два угла имеют общую сторону, а две другие их стороны являются дополнительными лучами, то углы называются смежными. Если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого угла, то эти углы называются вертикальными. Угол называется прямым (обозначается d, от французского droit – прямой), если он конгруэнтен смежному с ним углу. Можно доказать, что любые два прямых угла конгруэнтны. 2) Точка М называется внутренней точкой неразвернутого угла АВС, если она лежит в полуплоскостью с границей (ОА), содержащей точку В и в полуплоскостью с границей (ОВ), содержащей точку А. Множество всех внутренних точек угла называется внутренней областью угла. Луч l называется внутренним лучом угла, если его начало совпадает с вершиной этого угла и все его точки являются внутренними точками угла. Или Внутренняя область угла АОВ – это пересечение двух полуплоскостей 1 и 2, где 1 – полуплоскость с границей ОА, содержащая точку В, 2 – полуплоскость с границей ОВ, содержащая точку А. |