|
|
Элементы теории графов и ее приложения. Числовая функция на графе. Сигнальные графы. Лекция 4. 4. 1 Числовая функция на графе. Сигнальные графы
4.1 Числовая функция на графе. Сигнальные графы - Числовую функцию на графе задают либо на вершинах, либо на дугах графа.
- Числовая функция на вершинах графа G считается заданной, если каждой вершине хi ставится в соответствие некоторое число qi из некоторого множества Q. Числовая функция на дугах графа G считается заданной, если каждой дуге v = (хi, хj) ставится в соответствие число l(v) из некоторого множества L. Количественные значения, приписываемые вершинам или дугам, называются весами. В некоторых случаях числовая функция на графе задается комбинированным способом, как на вершинах, так и на дугах.
- Особое значение для моделирования физических систем имеют взвешенные ориентированные графы, названные графами потоков сигналов или сигнальными графами. Вершины сигнального графа отождествляются с некоторыми переменными, характеризующими состояние системы, а вес каждой вершины означает функцию времени или некоторые величины, характеризующие соответствующую переменную (сигнал вершины). Дуги отображают связи между переменными, и вес каждой дуги представляет собой численное или функциональное отношение, характеризующее передачу сигнала от одной вершины к другой. Сигнальные графы находят широкое применение в теории цепей и систем, а также во многих других областях науки и техники.
- Процесс функционирования технических систем, с этой точки зрения, можно рассматривать как процесс, при котором некоторое событие, называемое причиной, воздействуя на ситуацию, вызывает следствие. В последовательности событий, соединённых причинно-следственными связями, следствие одного события становится причиной другого события и можно считать, что вдоль цепи событий распространяется причинное воздействие.
- Переменные технической системы, независимо от их природы и размерности можно обозначить термином “сигнал” и предположить, что сигналы распространяются вдоль технической системы.
- Сигнальные графы дают возможность различные по природе процессы свести к одной и той же структуре прохождения и преобразования сигналов, что позволяет сделать важные обобщения о функционировании данной системы.
- Сигнальный граф – это ориентированный граф, соответствующий линейным или линеаризированным системам уравнений математической модели технической системы и отражающий причинно-следственные связи между переменными (сигналами) системы.
- Вершины сигнального графа отождествляются с некоторыми переменными хi, называемыми сигналом вершины.
- Дуги отображают связи между сигналами, т.е. между переменными, и каждая дуга (хi, хj) характеризуется величиной kij, называемой передачей дуги, коэффициентом передачи. Величина kij представляет собой численное или функциональное отношение, характеризующее передачу сигнала от одной вершины к другой.
- Для одиночной дуги (хi, хj) kij = хj / хi или хj = kij ·хi.
- Таким образом, каждая ветвь сигнального графа отображает причинно-следственную связь между сигналами (переменными), образующими начало и конец ветви, причём начало ветви истолковывается как причина , а её конец как следствие. Направление ветви указывает от причины к следствию.
- Вершины-источники сигнального графа отображают независимые (свободные) переменные, вершины-стоки – зависимые переменные технических систем. Вершины, соответствующие входящим и исходящим ветвям, называют смешанными. Их относят к зависимым переменным и называют зависимыми вершинами.
4.2 Связь сигнальных графов с системами уравнений
Для построения сигнального графа по системе уравнений технической системы, необходимо определить множество его вершин и составить матрицу передач ветвей графа К (в простейших случаях её в явном виде можно не выписывать). Следует отметить, что одной и той же системе уравнений могут отвечать разные сигнальные графы, называемые равносильными.
Пример сигнального графа 4.3 Построение нормализированного сигнального графа 4.4 Построение ненормализованных графов - Под решением сигнального графа понимают решение системы уравнений технической системы, отвечающей этому графу, с использованием формальных правил эквивалентного преобразования данного сигнального графа или универсальной топологической формулы.
- С точки зрения решения оба способа построения сигнального графа по исходной системе уравнений дают одинаковый результат и эквивалентны. В то же время между ними имеются и существенные различия, определяющие область их применения. Нормализованный структурный граф структурно проще ненормализованного, но выражения для передачи ветвей у нормализованного графа оказываются более сложными. Поэтому выбор способа построения сигнального графа определяется постановкой задачи и квалификаций исследователя.
- Обратную задачу, т.е. составление системы уравнений технической системы по известному сигнальному графу, решают следующим образом: для каждой зависимой вершины графа составляют уравнения типа (2)_,совокупность которых и образует искомую систему уравнений.
4.5 Правила преобразования сигнальных графов 4.6. Правило Мэзона или правило несоприкасающихся контуров Операции над графами |
|
|
Скачать 2.33 Mb.