Вариациялық қатар. ВАРИАЦИЯЛЫҚ+ҚАТАРЛАРДЫҢ+НЕГІЗГІ+СИПАТТАМАЛАРЫ. 4. 1 Вариациялы атарлар жне оларды графиктері

• Название: 4. 1 Вариациялы атарлар жне оларды графиктері
• Анкор: Вариациялық қатар
• Дата: 15.02.2022
• Размер: 0.99 Mb.
• Имя файла: ВАРИАЦИЯЛЫҚ+ҚАТАРЛАРДЫҢ+НЕГІЗГІ+СИПАТТАМАЛАРЫ.doc
• Тип: Программа; #362269

4 ВАРИАЦИЯЛЫҚ ҚАТАРЛАРДЫҢ НЕГІЗГІ СИПАТТАМАЛАРЫ

4.1 Вариациялық қатарлар және олардың графиктері

Мәліметтерді өңдеу жұмысының әдістері екі жүзден астам жылдар бойы өз бетінше пән ретінде дамып қалыптасты. Өткен ғасырдың 60-шы және 70-ші жылдарында мәліметтерді өңдеу жұмыстарының әдістерін жаппай халық шаруашылығының барлық салаларына енгізуге ЭЕМ-ның және 80-ші жылдардан бастап компьютерлердің пайда болуы үлкен ықпал жасады. Статистикалық программалар пакеттері мәліметтерді өңдеу әдістерін әркімге ыңғайлы жасап, орындауға жеңіл жағдайлар туғызды. Қиын да ауыр есептеулерді, күрделі кестелер мен графиктерді тұрғызуды, сонымен қатар барлық алдын ала жасалатын дайындық жұмыстарын қазіргі кезде компьютердің өзі орындайтын болды, ал мамандарға тек ұйымдастыру, басқару және шешім қабылдау, атап айтқанда, есепті қою, оны шешу әдістерін таңдау және алынған нәтижені түсіндіру сияқты шығармашылық жұмыстар ғана қалды.

Кездейсоқ және алдын ала болжауға болмайтын мәліметтерге байланысты есептерді шығару барысында кейінгі екі жүз жылда математиктер және басқа да зерттеушілермен (биологтар, психологтар, экономистер және т.б.) қуатты және өте икемді әдістер кешендері жасалынды. Олардың бәрін бірге математикалық статистика, қолданбалы статистика немесе мәліметтерді талдау деп атап жүр. Аталған пәндерді оқып үйрену арқылы кездейсоқтықтың кеңістігінде әртүрлі заңдылықтарды ашуға, дәйекті болжаулар мен қорытындылар жасауға және нөлдік гипотезаның орындалғаны немесе орындалмағаны туралы ықтималдықтың бағасын табуға болады.

Қазіргі жағдайда экономикалық ақпараттардың мәліметтерін жинау, өңдеу, талдау және сақтау мәселелері үлкен мағыналы және маңызды, мәнді болып есептелінеді. Тиімді шешім қабылдауға ықпал жасауға, аналитикалық құрал ретінде бүгінгі таңда қоғам өмірінің барлық аймағында статистикалық әдістерге үлкен қызығушылық тууда. Бүгінгі таңда математикалық статистика әдістерін ғылымда, техникада және экономикада қолданылуын былай қойғанда, оны барлық адам, оның ішінде алынған инвестициясынан барынша пайда табу үшін табыскерден бастап сайлауда дауыс нәтижесін болжау жасау үшін саясаткерге дейін қолданатын болды. Статистикалык мәлімет әлеуметтік организм ретінде, онсыз мемлекетті баскару мүмкін емес екенін, әртүрлі бағытта даму бағдарламасын құру, тіпті кез келген деңгейде басқару шешімін қабылдауға болмайтындығын тарих дәлелдеді,

Сонымен статистика - мәліметтерді жинау, өндеу, талдау және өңдеу нәтижелерін түсіндіретін ғылым аймағы.

Статистика арқылы барлығын да дәлелдеуге болады деген кеңінен таралған ұғым сөзсіз артығырақ айтылған және мұндай үғым әртүрлі статистикалық әдістерді орынсыз қолданудан пайда болған шектен тыс жасалған қорытынды.

Дегенмен де, статистиканың негізгі мақсаты және міндеті - көптеген мәселелерді, оның ішінде халыққа қазіргі кезде көп кездесетін мәселелерді дұрыс түсінуге көмектесу.

Қарастырылып отырған бөлімде вариациялық қатар туралы түсінік жэне келесі бөлімдерде қолданылатын негізгі статисти- калық сипаттамалары келтіріледі.

Математикалық статистиканың негізгі мақсаты - статистикалық бас жиынды зерттеу, яғни жиынның ықтималдық қасиеттерін, оның ішінде үлестірімдік заңдылықтарын, сандық сипаттамаларын және т.б. анықтау.

Негізі қайта-қайта өлшеулер жүргізу арқылы бас жиынның барлық мүшелерінің кездейсоқ мәндерін алуға болады. Бірақ бас жиынның барлық мүшелерін толық зерттеу барлық жағдайда мүмкін емес және экономикалық тұрғыдан тиімсіз. Сондықтан бас жиыннан берілген бір көлемде өлшеулер жүргізу арқылы сұрыпталған жиын алынады. Сұрыпталған жиын кездейсоқ тәсілмен жиналуына байланысты алынған сұрып жиындарының мүшелері де кездейсоқ мәндерді қабылдайды. Әрі қарай осы жиын бойынша ықтималдық теорияның қасиеттері қолданылып, бас жиынның параметрлері бағаланады.

Бас жиыннан объектіні таңдау және оның сан мәнін өлшеу статистикалық бақылау делінеді. Міне, осы бакылаудың нәти- жесінде алынған және арнайы құжатта тіркелген мәліметтер сұрыпталган жиын (кейбір әдебиеттерде іріктелген жиын) деп аталады да, келесі кезеңде өңделеді. Өңдеу жұмысы бойынша сұрып жиыны арнайы бір ретке келтіріледі. Реттеу жұмысы бақылау нәтижесінде алынған мәліметтерді бір белгілерімен топ-топқа біріктіруден басталады. Әдебиеттерде аталған жұмыс топтастыру деп аталады. Негізінде топтастыру жұмысы өте жауапты іс, ол тиянақты жүргізілуі тиіс. Себебі, топтастыру белгісі дұрыс анықталмаған жағдайда, мысалға, екі тәсілмен топтастырған бір жиын мәліметтері бойынша бір-біріне қарама-қарсы қорытындылар жасауға болады да, өңдеу нәтижесі сапасыз болып шығады. Топтастыру қарастырылып отырған құбылыстың мағынасына сәйкес жүргізіліп, қойылған талапқа жауап беруі тиіс. Топтастыру нәтижесінде алынған вариациялық қатар - айрықша мәнді және мағыналы.

Вариация - бір жиынға енетін белгілердің ауытқу мөлшері, яғни ауытқыштығы. Жиындағы мүшелердің мәндерін варианттар деп атаймыз.

Жиынның мәндері бойынша вариацияланған белгілер, яғни мәндер жиыны вариация қатары делінеді және олар дискретті (үздікті) немесе үздіксіз болуы мүмкін.

Бір-бірінен толық бүтін сан мәндерімен ерекшеленетін сандар қатарын дискретті вариация деп атайды.

Бір-бірінен кез келген бөлшек сандармен ерекшеленетін сандар қатарын үздіксіз вариация деп атайды.

Мысалға, дискретті вариация белгілері үшін бір отардағы қойлар және ешкілер саны, бір жанұядағы адамдар саны және т.б., ал үздіксіз вариация белгілері ретінде тәуліктегі уақыт, бір отардағы қойлардың салмақтары және т.с.с. алынады.

Вариация қатарын ұйымдастыруға мысал келтірейік. Мысалы, шошқа фермасында 65 мегежін тіркелді. Әр аналық шошқадан алынған торайлар саны мынадай болсын: 8, 9, 12, 10, 6, 7; 11, 8, 6, 8, 9, 12, 7, 6, 11,5, 8, 8, 6, 12,5, 9, 7, 10, 6, 8, 9, 11,8, 7, 10, 9,5, 10, 8, 11, 6, 7, 9, 8, 6, 11, 7, 10, 8, 9, 7, 8, 8, 10, 9, 7, 11, 10, 8, 7, 8, 10, 7, 9, 10, 8,5,7, 9.

Бақылау нәтижесін тіркеу ретімен және осы жиында вариант- тардың қайталану санымен берілген мәліметтерді бір қатарға орналастырайық:

варианттар х_і 8 9 12 10 6 7 11 5

вариант саныf_i15 10 3 9 7 11 6 4

Сөйтіп, вариация қатарын алдық. Әр варианттың қанша рет берілген жиында кездесетінін көрсететін сан жиілік немесе ва-

риант өлшемі деп аталады. Вариациялық қатардың барлық жиі- ліктерінің қосындысы сұрып жиынның мөлшеріне тең, яғни:



Жиілік (өлшем) тек абсолюттік шамамен емес, қатынастық мөлшерде - меншікті салмақпен немесе пайызбен, яғни осы көрсеткіш жиынының жалпы санына қатынасымен өлшенуі мүмкін. Мұндай жағдайда өлшемдер қатынастық жиілік немесе жиілгіштер деп аталады. Жиілгіштердің жалпы қосындысы бірге тең, яғни
 = 1, егер жиіліктің бақылаудың жалпы санына п қатынасы пайызбен өрнектелсе, онда  = 100%.

Берілген мәліметтерді вариация қатарына орналастыру екі мақсат үшін жасалынады. Оның бірі - жалпы сандық сипатта- маларды, оның ішінде орташа шаманы және вариация көрсеткішін есептеуді тездету және оңайлату болса, ал екінші мақсаты - қарастырылып отырған белгінің вариация заңдылықтарын анық- тауды көздейді. Жоғарыдағы келтірілген вариациялық қатар бірінші мақсатгы қанағаттандырғанымен, екінші мақсатты қана- ғаттандырмайды. Берілген бөлініп таралу қатары қойылған та- лаптарға жауап беру үшін оны белгінің өсу ретімен қайта орна- ластыру керек.

Қатарды реттеу іс-әрекеті, яғни варианттарды өсу немесе кему ретімен орналастыру жұмысы қатарды рангілеу (ранжировать) бойынша орналастыру деп аталады.

Жоғарыдағы келтірілген мысалдағы мәліметтерді осы мақсатта төмендегі ретпен орналастырамыз:

варианттар х _і 5 6 7 8 9 10 11 12

жиіліктер f_i 4 7 11 15 10 9 6 3

Енді, алынған вариациялық қатар бірінші және екінші мақсатқа жетуді қамтамасыз етеді.

Егер рангі (өсу ретімен) бойынша реттелген қатарда минимал- ды немесе максималды варианттардың мәндері көрші варианттың мәнінен ерекше кем немесе артық болса, онда олардың осы жиынға жататынын немесе жатпайтынын тексеру керек. Мұндай жағдай қарастырылып отырған мәліметті бақылауда өрескел қате жіберілгенде пайда болуы мүмкін. Сондықтан ерекше өзгерістегі мәліметгерді жиыннан алып тастау орынды. Бірақ кез келген

бөлектенген вариантты дәйексіз алып тастауға болмайды. Осы мақсатты (нөлдік гипотеза-сенімсіз вариант қарастырып отырған жиынға кіреді) тексеру үшін арнайы критерий қолданылады.

Максималды вариант (варианттардың үлестірімдігі қалыпты (нормалдық) заңға бағынса немесе оған жақын жатса) үшін мынадай формула қолданылады:

 , (1.1)

мұндаt_n - максималды вариант х_п жиынға жататынын

дәлелдейтін критерийі;

х_n - максималды вариант;

х_п-1 - максималды варианттың алдындағы вариант;

х₂-минималды варианттан кейіигі вариант.

Минималды вариант үшін:

  (1.2)

мұндағыt₁ - минималды вариант х₁жиынға жататынын

дәлелдейтін критерийі;

х₂- минималды варианттан кейінгі вариант;

х_n-1 - максималды варианттың х_п алдындағы вариант.

Қабылданған а дәлдіктің деңгейінде және сұрыпталған жиын көлемінде п, егер t_p>t_s шарты орындалса, онда нөлдік гипотеза қабылданбайды.

Мысал келтірейік. Егістіктің 6 бөлігінен күздік қарабидайдан мынадай түсім алынған:

Участік нөмірлері 1 2 3 4 5 6

варианттар, х_i 20,8 21,9 23,2 24,6 25,3 30,8

Келтірілген варианттарда х₆ = 30,8 басқа варианттардан ерекше үлкен. Осы вариант қарастырылып отырған жиынға жата ма, яғни нөлдік гипотезаны Н₀ тексерейік. Ол үшін (1.1) формуланы қолданып, критерийді есептейміз:



3-ші қосымшадағы (статистикалық кестелерді қараңыз) t_n - кестеден, мына жағдайда а = 0,05 жэне п = 6, табамыз t_s = 0,69. Мына: t_p = 0,64 <t_s — 0,69 шарт нөлдік гипотезаны қабылдамауға негіз бо- лып есептелінеді. Сондықтан барлық варианттар қарастырылып отырған жиынға жатады және орташа түсімді есептегенде 30,8 вариантты алып тастауға болмайды.

Берілген (1.1) және (1.2) формулалармен ең шеткі вариант- тардың өзгешеліктерімен қатар оларға көрші варианттардың да ерекше өзгешелікгерін тексеруге болады. Мысалға, келтірілген вариация қатарынан (1.1) формула бойынша 25,1 вариантты және (1.2) формуламен 21,98 вариантты тексерейік. Егер осы варианттар қарастырылып отырған жиынға жатпаса, онда 30,8 және 20,8 жатпайды. Сұрыптың статистикалық сипаттамасы сұрыпқа жат- пайтын варианттарды алып тастағаннан кейін сөзсіз есептелінуге тиіс.

Белгінің вариациясына (дискретті немесе үздіксіз және кең енді немесе енсіз) байланысты статистикалық жиын аралықсыз немесе аралық вариациялық қатарға бөлініп таралады. Бірінші жағдайда жиілікке белгінің ранг мәні сәйкес келеді де, ал екінші жағдайда әрбір вариациялық қатардың (төменгі және жоғарғы) шекарасына сәйкес келетін сандарды санап, жиілікті анықтайды. Вариациялық қатар мынадай түрге бөлінеді:

аралық қадамы бірдей вариациялық аралық қатар. Әрбір аралық вариациялық катардың жоғарғы мәні келесі аралық ва- риациялық қатардың төменгі мәніне сәйкес келеді. Мұндай тәсіл өте ыңғайлы және математикалық статистикада жиі қолданылады;

аралық қадамы бірдей емес аралық вариациялық қатар.

Аралық қадамы бірдей емес аралық вариациялық қатар тәжірибе-де жиі қолданылмайды. Сондықтан көп жағдайда міндетті түрде аралық кадамы бірдей вариациялық аралық қатар құрылады. Мүндай тәсіл белгінің вариациялық заңдылықтарын аңғаруға, вариациялық қатардың қорытынды сипаттамаларын есептеуге және вариациялық қатарды басқа қатарлармен салыстыруға көмектеседі.

Бірдей аралық вариациялык қатарды құру үшін бірінші кезекте аралық қадамды белгілеу маңызды. Аралық қадам немесе кейде аралық вариация қатарының ені деп атайды. Әрі қарай тексте кадам делінеді. Қадам тым үзын немесе қысқа болса, қарастырылып

отырған жиынды сипаттайтын вариациялық заңдылық өзгереді де, зерттеуші дұрыс шешім қабылдамауы мүмкін. Негізінде қадамның оптималды мәнін табу үшін сұрыптық жиын, оның максималды және минималды вариантының аралығында класқа (аралыққа) к бөлінеді. Ол үшін Стэрджесс формуласы қолданылады:

к =1 + 3,322∙1g п.

Аралық вариация қадамы мына формуламен есептелінеді:

 , (1.3)

мұндағы

х_max және x_min - максималды және минималды

варианттар;

п - сүрыптық жиын мүшелерінің саны.

Егер 2 - бөлшек сан болса, математикалық ереже бойынша жуықтап, бүтін санға айналдырады.

Аралық вариациялық қатардың шеткі шегі мына формулалармен анықталынады:

 , (1.4)

 , (1.5)

мұндағы х_п, х_к - і-ші аралық қатардың төменгі және жоғарғы мәні.

Сонымен қатар i-ші аралықтың жоғарғы мәні (i + 1)-ші ара- лықтың төменгі мәніне сәйкес болғандықтан, аралық жиілікті есептегенде оның төменгі мәніне тең немесе үлкен және жоғарғы мәнінен кіші жиын мәндері алынады.

Қадам өлшем бірлігі алғашқы белгінің өлшем бірлігінің дәлме-дәлдігіне сәйкес келгені жөн. Мысалы, (п = 80) сиыр сүтінің майлылық мөлшерінің вариациясы 3,30-дан 4,51% аралығында. Олай болса (1.3) формуламен есептелген аралық кадам.



z≠1, демек аралық вариациялық қатар үздіксіз бөлініп тара-

лады.

Үздіксіз аралық қатарда негізгі параметр ретінде осы ара- лықтың орта шамасы алынады, яғни:

  (1.6)

Нәтижесінде үздіксіз аралық қатар үздікті қатарға айналады. Мұндай түрлендірудің қажеттігі орташа дисперсияны есептеуге байланысты туады.

Гистограмма - бұл аралық үздіксіз вариациялық қатардың биіктігі әр түрлі тікбұрышты төрт бұрышпен салынған көрінісі. Абсцисса өсіне белгілердің өзгеріс аралықтары отырғызылған, ал тікбұрышты төрт бұрыштың биіктігі аралық топтардың жиілігімен сәйкестендірілген.

4.2 Вариациялық қатардың графигі

Вариациялық қатардың бейне көрінісін байқау үшін оның графигін тұрғызады. Ол үшін координаттар жүйесі тұрғызылады да, абсцисса өсіне вариация қатарының мәндерін, ал ордината өсіне оларға сәйкес жиілікті (немесе жиілгішті) отырғызады.

Дискретті вариациялық қатар болса, биіктігі жиілігіне сәйкес келетіндей етіп әр вариациялық дискретті белгіге, яғни абсцисса осіне тік бұрышты сызық жүргізіледі. Осы тікбұрышты сызықтарының төбелерін қосып, көпбұрыш алынады. Оны үлестірімділік кеңісі (полигон распределения) деп атайды да, төбелерді қосқан сызықтарды вариация қисығы немесе вариация жиілігінің үлестірімділік қисығы дейді. Жоғарыда айтқандай, үлестірімділік кеңісі дискретгі және үздіксіз вариациялық қатарға да түргызылуы мүмкін. Кеңістің барлық ординаттарының

Кез келген гистограмманы кеңіске айналдыруға болады. Ол үшін барлық тікбұрышты төртбұрыштың жоғарғы қабырғаларының ортасын бір сызықпен қосамыз, нәтижесінде кеңіс алынады.

Вариациялық қатар бойынша жиіліктер жиынымен тұрғызылған график кумулята деп аталады. Ол белгінің вариациялық заңдылығының функциясын бейнелейді. Топ өсу ретімен жиілік қосындыларынан құрылған графикті кумулята деп атайды. Дискретті қатар үшін график тұрғызғанда, бірінші топтың жиілігінен басталып жиіліктер жинала береді де, сол жиынның мәніне сәйкес ординаталар төбелерін түзу сызықпен қоса береміз, нәтижесінде кумулята алынады.

Үздіксіз вариациялық қатар үшін график нөлден басталып сызықтың екінші ұшы бірінші топтың жиілігіне сәйкес келсе, ал келесі екі топтың жиіліктерінің қосындысының мәніне сәйкестендіріп әрі қарай осы ретпен график тұрғызыла береді. Кумулятивтік қисықты кейде жиілік жиындарының кеңісі деп атайды.

Шошқа фермасындағы аналықтардың өнімі, яғни торайлар саны мынадай кумулятивтік қисықпен сипатталады (1.3-сурет):

Жиілік/: 4 7 11 15 10 9 6 3

Кумуляталар 2/' 4 11 22 37 47 56 62 65

Графикті тұрғызу жауапты істің бірі екенін атап өткеніміз жөн. Абсцисса өсінде вариация қатарының мәнінің масштабы дұрыс қойылмауы себепті, кейде ол сүйір немесе доғал төбелі болуы мүмкін. Мұндай жағдайда оқылып отырған белгінің заңдылығы қатты өзгеріске ұшырайды да, график зерттеушіге дұрыс шешім қабылдауға ықпал жасамайды.

Осындай жағдайды болдырмау үшін «Алтын қиыс» ережесі қолданылады. Осы ереже бойынша геометриялық құрылыстың табанының биіктігіне қатынасы мына мөлшерде болуға тиісті: 1:0,62. Сонымен вариациялық қисықтарды тұрғызган кезде тікбұрышты төрт бұрыштың координаттарының масштабын оның табаны биіктігінен (яғни ең максималды ординатаға сәйкес) 1,5-2,0 есе көп болатындай есеппен алған жөн. Топтық вариациялық қатарды нөлден бастаса, вариациялық қисық көзге көрнекті болады да және бас жиынның вариациялық заңдылығын дұрыс бейнелейді.



1.3-сурет. Торай сандарының кумулятивтік үлестірімдігі