базис и размерность билет по алгебре. 6. Базис и размерность. 6. Базис и размерность
 Скачать 103.06 Kb.
|
|
6. Базис и размерность Пусть V — векторное пространство над полем F. Подмножество A векторного пространства V называется линейно полным в V, если любой вектор из V является линейной комбинацией векторов из A. Базисом векторного пространства V называется полное и линейно независимое множество векторов в V . Теорема о выборе базиса Из каждого конечного линейно полного множества векторов пространства V можно выбрать базис этого пространства. Доказательство. 1. Если А линейно независимо, то доказано 2. А линейно зависимо. Применяем критерий линейной зависимости. Есть вектор, который выражается через другие и по теореме об очистке, мы его выбросим и т. д. выбираем по 1 и останется либо {0}, либо линейно независимый. ◀ Теорема критерий линейной зависимости Пусть V — векторное пространство над полем F. Векторы — линейно зависимы , или существует такой 𝑣 1 , 𝑣 2 ,..., 𝑣 𝑛 ⇔ 𝑣 1 = 0 номер i ⩾ 2, что линейно выражается через предыдущие 𝑣 𝑖 векторы . ▶ 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑖−1 ◀ Теорема об очистке Пусть V — векторное пространство над полем F. Пусть A — линейно полное множество в V и вектор a ∈ A линейно выражается через другие векторы из A. Тогда множество A \ {a} — линейно полно в V. ▶⊥ Теорема о дополнении до базиса Пусть в векторном пространстве V существует базис из конечного числа векторов. Тогда любое конечное линейно независимое множество векторов можно дополнить до базиса пространства. Доказательство. Пусть { — линейно независимое 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑘 } множество и базис V. является линейно {𝑒 1 ,..., 𝑒 𝑛 } − 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑘 , 𝑒 1 ,..., 𝑒 𝑛 полным в V и линейно зависимым. Применяя теорему об очистке и по 1 выбрасываем, так чтобы полнота не нарушилась. Получаем линейно {𝑓 1 ,..., 𝑓 𝑠 } ⊆ {𝑒 1 ,..., 𝑒 𝑛 }: {𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑘 , 𝑓 1 ,..., 𝑓 𝑠 } − полное и линейно независимое базис. ⇒ ⊥ Теорема критерий базиса Пусть V — векторное пространство над полем F. Множество векторов является базисом V для любого вектора v ∈ V 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑛 ⇔ существует такой единственный набор скаляров ∈ F, что v = α 1 ,..., α 𝑛 α 1 𝑣 1 +... + α 𝑛 𝑣 𝑛 Доказательство. Пусть сначала векторы являются 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑛 базисом пространства V. Тогда существование набора скаляров ∈ F следует из определения базиса. Докажем α 1 ,..., α 𝑛 единственность. Предположим, существуют ∈ F и ∈ F α 1 ,..., α 𝑛 β 1 ,..., β 𝑛 такие, что v = = α 1 𝑣 1 +... + α 𝑛 𝑣 𝑛 β 1 𝑣 1 +... + β 𝑛 𝑣 𝑛 Тогда . Из определения (α 1 − β 1 )𝑣 1 +... + (α 𝑛 − β 𝑛 )𝑣 𝑛 = 0 линейной независимости следует, что тогда α 1 − β 1 =... = α 𝑛 − β 𝑛 = 0 ,и поэтому . Единственность доказана. α 1 = β 1 ,..., α 𝑛 = β 𝑛 Пусть теперь — векторы пространства V такие, что для 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑛 любого v ∈ V существует такой единственный набор скаляров ∈ F, что v = α 1 ,..., α 𝑛 α 1 𝑣 1 +... + α 𝑛 𝑣 𝑛 Докажем, что векторы являются базисом в V . 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑛 Действительно, полнота множества векторов следует из того, 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑛 что любой вектор пространства выражается через векторы этого множества. Докажем линейную независимость . Имеем 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑛 Воспользуемся единственностью 0 = α 1 𝑣 1 +... + α 𝑛 𝑣 𝑛 = 0𝑣 1 +... + 0𝑣 𝑛 для скаляров и получим Линейная независимость α 1 = 0,..., α 2 = 0. векторов доказана. Значит, ( ) — базис. 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑛 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑛 ⊥ 1) Если пространство имеет конечный базис, то такое пространство называется конечномерным. 2) Если пространство не имеет конечного базиса, то но называется бесконечномерным пространством. 3) Число векторов в базисе конечномерного пространства V называется размерностью пространства V и обозначается через dim V. Положим размерность нулевого пространства равной нулю. Теорема о размерности векторного пространства Все базисы ненулевого конечномерного пространства состоят из одного и того же числа векторов. Доказательство. Среди всех конечных базисов про- странства V выберем базис ( ), в котором самое малое 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑛 количество векторов. Пространство V является ненулевым, поэтому n ⩾ 1. Рассмотрим другой базис ( ) пространства V. Тогда 𝑥 1 ,..., 𝑥 𝑛 ,... — полное и линейно зависимое множество векторов. 𝑥 1 , 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑛 Полнота следует из того, что это множество содержит базис, а зависимость следует из того, что вектор выражается через 𝑥 1 базисные векторы 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑛 По критерию линейной зависимости существует ∈ { }, 𝑣 𝑖 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑛 который выражается через предыдущие векторы 𝑥 1 , 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑖−1 Удалим вектор из полного множества , и по теореме об 𝑣 𝑖 𝑥 1 , 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑛 очистке оставшееся множество останется линейно полным. Множество векторов не может быть линейно 𝑥 1 , 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑖−1 , 𝑣 𝑖+1 ,..., 𝑣 𝑛 зависимым, так как иначе в базисе было бы векторов меньше, чем n, что противоречит выбору числа n. Итак, векторы — линейно независимы и 𝑥 1 , 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑖−1 , 𝑣 𝑖+1 ,..., 𝑣 𝑛 образуют полное множество, значит, являются базисом пространства V. Добавим в начало к этому множеству вектор . Полученное 𝑥 2 множество линейно полное и линейно 𝑥 2 , 𝑥 1 , 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑖−1 , 𝑣 𝑖+1 ,..., 𝑣 𝑛 зависимое, так как вектор выражается через базисные векторы 𝑥 2 . По критерию линейной зависимости 𝑥 1 , 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑖−1 , 𝑣 𝑖+1 ,..., 𝑣 𝑛 существует ∈ { }, который выражается через 𝑣 𝑗 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑖−1 , 𝑣 𝑖+1 ,..., 𝑣 𝑛 предыдущие векторы 𝑥 2 , 𝑥 1 ,.... Удалим вектор из множества , и по 𝑣 𝑗 𝑥 2 , 𝑥 1 , 𝑣 1 ,..., 𝑣 𝑖−1 , 𝑣 𝑖+1 ,..., 𝑣 𝑛 теореме об очистке оставшееся множество останется линейно полным. Оставшееся множество векторов не может быть линейно зависимым, так как иначе в базисе было бы векторов меньше, чем n. Итак, оставшиеся векторы — линейно независимы и образуют полное множество, значит, являются базисом пространства V . Добавим в начало к этому множеству вектор . Полученное 𝑥 3 множество опять линейно полное и линейно зависимое и т. д. Продолжаем убирать и добавлять. Через конечное число шагов получим полное линейно зависимое множество векторов , в котором первые n 𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 ,..., 𝑥 1 , 𝑣 𝑘 векторов линейно независимы, поэтому выбросим . Наконец, 𝑣 𝑘 получаем полное и линейно независимое множество векторов , которое и будет базисом. 𝑥 𝑛 , 𝑥 𝑛−1 ,..., 𝑥 1 ⊥ Сразу из этой теоремы следует важный результат о корректности размерности пространства. Следствие. Определение размерности пространства корректно. Следствие. Пусть V — векторное пространство над полем F и dim V = n. Тогда следующие утверждения равносильны: 1) векторы являются базисом пространства V, 𝑒 1 ,..., 𝑒 𝑛 2) векторы являются линейно полным множеством в V, 𝑒 1 ,..., 𝑒 𝑛 3) векторы линейно независимы. 𝑒 1 ,..., 𝑒 𝑛 Следствие. Если dim V = n, то любые n+1 векторов пространства V будут линейно зависимыми. Следствие. Размерность пространства равна максимальному числу линейно независимых векторов в этом пространстве. |