численные методы. Кини. 6 функции полезности в случае трех факторов

• Название: 6 функции полезности в случае трех факторов
• Анкор: численные методы
• Дата: 03.04.2022
• Размер: 33.25 Kb.
• Имя файла: Кини.doc
• Тип: Изложение; #437754

6.2. ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ В СЛУЧАЕ ТРЕХ ФАКТОРОВ

В этом параграфе будут .приведены и проиллюстрированы че­тыре результата, полученные для трехмерных функций полезно­сти. Доказательства этих результатов опущены, та;к как сами эти результаты являются частными случаями теорем, которые будут сформулированы и доказаны ниже в этой же главе. Изложение результатов начинается с весьма частного случая (в смысле того, •насколько ограничительны используемые допущения), затем рас­сматривается некоторое ослабление ограничений, и, наконец, ана­лизируется самый общий случай.

Результат 1. Если предпочтительность лотерей на Xi, Х2 и Хз зависит только от задаваемых рассматриваемыми лотереями мар­гинальных распределений вероятностей для этих факторов и не зависит от их совместного распределения вероятностей, то

и(Х1, Х2, Хз) =k1u1(x1) +k2u2(x2) +k3u3(хз). (6.7)

Выражение (6.7) представляет собой аддитивную функцию по­лезности для трех факторов. Все функции полезности и, и1, и2 и uз могут быть шкалированы от 0 до 1, a ki, i=l, ..., 4, представляют собой «шкалирующие» константы *⁾. Используя более слабый набор допущений, получим

*) Понятие о независимости по предпочтению и независимости по полезности можно обобщить так, чтобы охватить случай обращения предпочтений. Более подробно см. приложение 6А.
Результат 2. Если фактор X1 не зависит по полезности от {Х2, Хз}, а {X1, X2} и {X1, Хз} не зависят по предпочтению от факторов Хз и Х; соответственно, то

U(X1, X2, Xз}^:=k1u1(x1)+k2U2(X2)+kзUз(Xз)+kk1k2U1(X1)U2(X'l2)+ +kk1k3u1(x1)U3(Xз)+kk2kзU2(X2)Uз(Xз)+k'²k1k2kзU1(X1)U2(X2)u3(X3).

(6.8)

Обозначения и, u_i и k_i в выражении (6.8) имеют тот же смысл, что и в выражении (6.7); k — дополнительная «шкалирующая» кон­станта. Очевидно, если k=0, то выражение (6.8) сводится к ад­дитивной форме (6.7). Если k<>O, тогда, умножая обе части вы­ражения (6.8) на k, прибавляя 1 и вынося за скобки общие множители в правой части, получаем мультипликативную функцию полезности

ku(x1,x2,x3)+1= П³i=1[kk_iU_i(X_i)+1]. . (6.9^

Следует отметить два важных 'момента, касающихся результа­та 2: во-первых, в нем использованы оба допущения — о незави­симости и по полезности, и по предпочтению, во-вторых, эти до­пущения связаны с «перекрывающимися» множествами факторов. Оба эти обстоятельства весьма важны для определения много­мерных функций полезности. При формулировке данного резуль­тата использовались обозначения и2 и из, так как неявно предпо­лагалось, что может быть доказана независимость по полезности факторов Х2 и Х3 от дополняющего множества факторов.

Перейдем к более общему случаю.

Результат 3. Если каждый из факторов X1, Х2 и Х3 не зависит по полезности от дополняющего его множества факторов, то

U(x1, Х2,x3)=klUl(xl)+k2u2(x2)+k3u3(x3)+

+k12k1k2ul(xl)u2(x2)+k13k1k3u1(xl)u3(x3)+ +k23k3k2u2 (Х2) u3(Хз) +k123k1k2k3u1 (xl)u2(x2)u3 (x3) . (6.10)

Здесь функции и, и1, u2 и uз и шкалирующие константы k1, k2 и k3 определены так же, как и ранее. Кроме того, необходимо оценить дополнительные константы k12, k13, k23 и k123. Выражение (6.10) представляет собой полилинейную функцию полезности для трех факторов. Очевидно, что как мультипликативная, так и аддитив­ная функции полезности являются частными случаями полилинейной функции полезности.

Рассмотрим наиболее общий для этого раздела случай.

*) Иначе говоря, константы шкал, используемых для измерения полезности. '

Результат 4. Если факторы Х2 и Х3 независимы по полезности от дополняющих их множеств факторов {Х1, Х3} и {X1, X2}, то

U(X1, X2, X3)=k1U1(X1)+f2(X1)U2(X2)+f3(X1)U3(X3}+f23(xl) u2 (x2) U3(X3), (6.11)

где

f2(x1)=u(x1, x*2, х°з)—и(Х1, x°2, x°3)\

f3(x1)=u(Xi, X°2, X*3)—U(X1, X°2?, X°3);

f23(X1) =U(X1, X*2, X*3)—U(X1, X*2, X°3)—u(X1, X°2, X*3) +u(x1, X°2, Х°з).

В выражении (6.11) каждая из функций полезности, как обычно, шкалирована от 0 до 1, пр'и этом предполагается, что (x*1,x*2,x*3) является наилучшим последствием, a (x°1, x°2, х°3) — наихудшим. Если f2, f3 и f23 представлены в определенной функциональной форме, тогда из выражения (6.11) легко могут быть получены выражения (6.7), (6.8) или (6.10). Это значит, что аддитивная, мультипликативная и полилинейная функции полезности являют­ся частными 'случаями выражения (6.11). В случае скалярных факторов для каждого из результатов 1—4 последствия, чья пред­почтительность подлежит эмпирической оценке, могут быть изоб­ражены графически. Такие иллюстрации представлены на рис. 6.1, где жирные линии и точки указывают те последствия, которым не­обходимо дать оценку, используя одну и ту же шкалу.

В оставшейся части настоящей главы для функций полезно­сти, зависящих от п аргументов, приводятся результаты, анало­гичные результатам этого параграфа. Поскольку рассматривается случай трех и более факторов, могут использоваться также «пе­рекрывающиеся» наборы допущений о независимости по полезно­

сти и по предпочтению, которые, однако, не содержатся друг в друге. Здесь мы сталкиваемся с ситуацией, которая не имеет места в случае двух факторов.

Результат 2 и используемые в нем допущения показывают, что привлечение таких перекрывающихся условий независимости мо­жет оказаться плодотворным. В следующих трех параграфах бу­дут исследованы возможности использования подобных перекры­вающихся условий независимости и доказаны общие теоремы для многомерных функций полезности.