6 теоретическиесведенияочень часто экономические модели описываются не одним уравнением, а системамиэконометрическихуравнений. В связи стем, что в описываемых системах несколько уравнений,
 Скачать 0.65 Mb.
|
|
. x aˆ y ˆ bˆ A ˆ y ˆ , x aˆ y ˆ bˆ A ˆ y ˆ 2 22 1 21 02 2 1 11 2 12 01 1 (6.18) где 1 11 2 12 1 01 x aˆ y bˆ y A ˆ − − = ; (6.19) 2 22 1 21 2 02 x aˆ y bˆ y A ˆ − − = (6.20) Полянский ЮН. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование. 141 Задача 6.2 Выполнить задание, аналогичное задаче 6.1, для следующей структурной формы модели + = + ⋅ = . x a y ˆ bˆ y ˆ ), x y ˆ ( bˆ y ˆ 2 22 1 21 2 1 2 12 1 (6.21) Решение. 1) Рассмотрим каждое уравнение системы отдельное уравнение. В м уравнении 1 H = эндогенных переменных ( 1 y ˆ ) и 1 D = экзогенных переменных, присутствующих в системе, но отсутствующих в данном уравнении ( 2 x ). Так как H 1 D > + , тоне выполнено необходимое условие идентифицируемости, те. е уравнение сверхидентифицируемо. 2- е уравнение. Оно точно идентифицировано (см. задачу 6.1). Значит и вся система сверхидентифицируема. К нему может быть применен двухшаговыйМНК. 2) Аналогично задаче 6.1 получим систему в приведенной форме + = + = , x ˆ x ˆ y ˆ , x ˆ x ˆ y ˆ 2 22 1 21 2 2 12 1 11 1 δ δ δ δ (6.22) где 21 12 12 11 1 bˆ bˆ bˆ ˆ − = δ , 21 12 12 22 12 1 bˆ bˆ bˆ aˆ ˆ − = δ , 21 12 21 12 21 1 bˆ bˆ bˆ bˆ ˆ − = δ , На основе го уравнения системы (6.22) в приведенной форме найдем для всех наблюдений эндогенную переменную 2 y ˆ , подставляя вне- го значения 1 x и 2 x (напомним, что это отклонения от средних значений. Подставляя вместо теоретических значений 2 y ˆ их оценки 2 y ˆ , найдем значения новой переменной для го уравнения системы (6.22). Таким образом, с новой переменной система (6.22) станет выглядеть + = ⋅ = . x aˆ y ˆ bˆ y ˆ , zˆ bˆ y ˆ 2 22 1 21 2 12 1 (6.23) К 1-му уравнению системы (6.23) можно применить обычный МНК и получим оценку Оценки и находятся аналогично косвенному методу из системы приведенных уравнений. Полянский ЮН. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование. Задача Изучается модель функционирования торгового предприятия + + = + + = , T a Y b C , S a C b Y 2 22 21 1 11 12 ε ε (6.24) где Y - среднемесячные расходы предприятия (млн. руб C - среднемесячные доходы предприятия (млн. руб S - торговые площади (кв. м T - торговое оборудование предприятия (млн. руб. Собраны статистические данные о 12 предприятиях города (рис. Определить тип используемых переменных и идентифицируемость модели. Определить методе решения. Реализовать косвенный МНК практически. Получить оценки коэффициентов модели обычным МНК. Сравнить КМНК-оценки и ОМНК-оценки. Оценить точность моделей. Решение. 1) В исследуемой системе уравнений переменные и задаются извне как исходные внешние данные и не определяются в самой системе. Они экзогенные. Это логично торговые площади предприятия и его осна- щённость торговым оборудованием - это относительно постоянные (в стабильный период) для каждого предприятия факторы, определяющие его расходы и доходы. А переменные и вычисляются внутри системы при внешних исходных данных. Они эндогенные. Обозначим переменные в виде, аналогичном задаче 6.1: Y y ˆ = 1 , C y ˆ = 2 , S x 1 = , Тогда исходная система будет записана в более привычном виде, аналогичном (6.11): + = + = . x aˆ y ˆ bˆ y ˆ , x aˆ y ˆ bˆ y ˆ 2 22 1 21 2 1 11 2 12 1 (6.25) Как показано в задаче 6.1, в ней оба уравнения (и сама система) точно идентифицированы. Методе решения - косвенный МНК, алго- Рис. 6.1 Полянский ЮН. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование. 143 ритм которого описан выше. Решим систему (6.25) в приведенной форме (6.12). 2) Уравнения системы (6.12) записаны для отклонений переменных от своих средних значений. Поэтому сначала получим в й строке средние значения каждой переменной с помощью функции СРЗНАЧ (рис 48 , 10 y 1 = , 65 , 7 y 2 = , 98 , 64 x 1 = , Отклонения от средних вычислим в дополнительных столбцах F,G,H,I, условно обозначив их в ячейках F1, G1, H1, I1 как «dy1», «dy2», «dx1» и «dx2». Для получения отклонений переменной 1 y ˆ введем в ячейке F4 формулу «=B4-$B$16» и протянем её по диапазону ячеек F4:F15. Аналогично поступим с остальными столбцами. Получим коэффициенты приведенной системы. Это можно сделать разными способами, описанными ранее в главе 1. Целесообразно воспользоваться возможностями функцииЛИНЕЙН, которая позволяет не только вычислять коэффициенты, но и автоматически пересчитывать их при изменении исходных данных. Получим коэффициенты го уравнения системы (6.12). Подписав в ячейках B20 и C20 поясняющие надписи «d12» и «d11», выделим для вывода коэффициентов 12 δ ˆ и 11 δ ˆ ячейки B21:C21. Вызовем функцию ЛИНЕЙН и введём данные в предложенную форму (рис. Обратите внимание, что исходные данные должны браться из ячеек F4:F15 и H4:I15 с отклонениями от средних значений. Кроме того, в графе Константа надо указать значение ложь (т.к. в уравнениях отсутствуют свободные члены, а в графе Стат - значение истина (т.к. необходим расчет двух коэффициентов сразу. Напомним, что итоговое нажатие "OK" должно быть при нажатых кнопках Ctrl+Shift. Рис Итак, имеем 311 0 12 , ˆ = δ , 067 0 11 , ˆ = δ (рис. Аналогично в ячейках B23:C23 получим коэффициенты го уравнения приведенной системы 433 0 22 , ˆ = δ , 052 0 21 , ˆ = δ Полянский ЮН. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование. Воспользуемся полученными в задаче 6.1 пересчетными формулами (6.15), (6.16), (6.19), (6.20) для коэффициентов и свободных членов структурной системы уравнений. Вычислим их в ячейках G21:I21 и G23:I23. Например, коэффициент 12 bˆ получим по расчетной формуле (6.15), введя в ячейку G21 формулу «=B21/B23». Остальные структурные коэффициенты и свободные члены получаются аналогично (рис 717 0 12 , bˆ = , 030 0 11 , aˆ = , 052 3 01 , A ˆ = , (6.26) 774 0 21 , bˆ = , 193 0 22 , aˆ = , 865 1 02 , - A ˆ = (6.27) Таким образом, по имеющимся исходным данным для торгового предприятия получена следующая эконометрическая модель (система уравнений в структурной форме + + = + + = . x , yˆ , , - y ˆ , x , y ˆ , , y ˆ 2 1 2 1 2 1 193 0 774 0 865 1 030 0 717 0 052 3 (6.28) 3) Попробуем для сравнения получить коэффициенты уравнений этой системы с помощью обычного МНК (без предварительных преобразований в приведенную форму. Например, рассмотрим е уравнение изучаемой системы (6.24). Объясняющими переменными в нём являются 2 y ˆ и 1 x , объясняемой - 1 y ˆ . Коэффициенты множественной регрессии могут быть найдены различными способами (см. раздел 3). Например, воспользуемся функциейЛИНЕЙН. Напомним, что её особенностью является то, что массивы (столбцы) объясняющих переменных должны быть соседними и входной массив вводится целиком, а не отдельно по столбцам для каждой переменной. В частности, в таблице столбцы переменных 2 y ˆ и 1 x (C и D) уже расположены рядом. Поэтому можно сразу приступать к расчетам. Подпишем в ячейках L20:N20 комментарии, выделим место для вывода результатов (диапазон ячеек L21:N21) и вызовем функциюЛИНЕЙН. Выходной интервал ("Изв_знач_y")- B4:B15, входной интервал ("Изв_знач_x")- С. Т.к. в модели предполагается наличие свободного члена, тов графе Константа можно ничего не указывать (что равнозначно значению "истина, а в графе Стат - значение истина (те. необходим расчет не только одного коэффициента. В результате 043 0 12 , bˆ = , 587 0 11 , aˆ = , 218 3 01 , A ˆ = (6.29) Аналогичные расчеты произведём для го уравнения. Объясняющими переменными в нём являются 1 y ˆ и 2 x , объясняемой - Столбцы объясняющих переменных для расчетов функцией ЛИНЕЙНдолжны быть соседствующими. Поэтому с помощью ссылок перенесем данные из исходных столбцов B ив правую часть расчетной таблицы во вспомогательные соседствующие столбцы J и K. Выходной интервал ("Изв_знач_y")- C4:C15, входной интервал ("Изв_знач_x")- J4:K15. Расчеты дают значения Полянский ЮН. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование. 145 307 0 21 , bˆ = , 652 0 22 , aˆ = , 423 1 02 , A ˆ − = (6.30) Как видно, значения (6.26), (6.27) коэффициентов и свободных членов уравнений, полученные косвенным МНК, существенно отличаются от полученных обычным МНК (6.29), (6.30). Это объясняется тем, что при использовании обычного МНК для рассматриваемой системы эконометрических уравнений нарушается предпосылка множественного МНК о независимости факторов друг от друга. Это приводит к несостоятельности оценок структурных коэффициентов при использовании обычного МНК. Во многих случаях могут получиться даже экономически бессмысленные коэффициенты. 4) Для визуальной оценки точности полученных моделей (КМНК и ОМНК) получим в дополнительных колонках расчетной таблицы для каждой из них оценочные значения переменных ирис. Видно, что оценочные значения КМНК близки к наблюдаемым. Это можно визуализи- ровать на графике (рис, 6.4). Рис. 6.3_ Рис. 6.4 По графику видно, что результаты, полученные КМНК, существенно точнее полученных ОМНК. Для численной проверки точности полученных моделей вычислим средние относительные ошибки объясняемых переменных Введем столбцы P, Q, R, S, соответствующим образом их озаглавив рис. В ячейке P4 введем формулу вычисления относительной ошибки "=abs((B4-L4)/B4)" и протянем её по ячейкам P4:P15. В ячейке P16 с помощью СРЗНАЧ получим среднюю относительную ошибку % 12 , 2 % 100 y e n 1 A n 1 A n 1 i i 1 i 1 n 1 i i 1 КМНК . ср 1 = • = = = = ∑ ∑ Полянский ЮН. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование. Как видно, она находится в допустимых пределах % 10 ... 8 ≤ , что говорит об удовлетворительном качестве модели применительно к переменной Аналогично в столбце P получим оценку средней относительной ошибки для переменной Она тоже в допустимых пределах % 19 , 3 A КМНК . ср 2 = Аналогичные расчеты для ОМНК подтверждают визуальную картинку (рис, 6.4): % 82 , 269 A ОМНК . ср 1 = , % 18 , 20 A ОМНК . ср 2 = Т.о. качество полученной КМНК-модели удовлетворительное. А ОМНК-модель практически непригодна для использования. Оценим качество КМНК-модели ещё и коэффициентами детерминации для каждого уравнения в отдельности. Можно воспользоваться инструментом "Регрессия" встроенного пакета анализа (см. раздел 1). Для го уравнения системы (6.28) входной интервал Y надо задавать B4:B15 ( 1 y ), входной интервал X – C4:D15 ( 2 y и 1 x Для го уравнения соответственно C4:C15 ( 2 y ) и J4:K15 ( 1 y и 2 x Как показывают расчеты, качество каждого уравнения (а значит и всей КМНК-модели в целом) очень высокое 995 , 0 R 2 1 = , Оба уравнения (а значит и модель в целом) значимы 12 , 809 F 1 = , Значимость каждого коэффициента обоих уравнений регрессии определим с помощью их статистик, которые также возьмем из результатов инструмента "Регрессия. Коэффициент значим на уровне 95 , 0 = γ : Коэффициент 11 aˆ незначим, но близок к порогу значимости Коэффициент значим на уровне 95 , 0 = γ : Коэффициент 22 aˆ незначим на уровне 95 , 0 = γ : Низкая значимость коэффициентов и 22 aˆ , вероятно, объясняется небольшим объемом выборки ( 12 n = ). Напомним, что во множественной регрессии на каждый оцениваемый фактор необходимы >5…8 наблюдений. Полянский ЮН. Эконометрика. Экономическое моделирование и прогнозирование. 147 Рис. 6.5 |