математика олимпиада 8класс. 8 класс 1
 Скачать 141.64 Kb.
|
|
1 8 класс 8.1. Можно ли расставить натуральные числа в клетки таблицы размером 7×7 так, чтобы в любом квадрате 2×2 и любом квадрате 3×3 сумма чисел была нечетна? Ответ: нельзя. Решение. Предположим, что можно. Рассмотрим квадрат со стороной 6 клеток. Так как его можно разбить на четыре квадрата размером 3×3, то сумма чисел в этом квадрате будет четной. С другой стороны, этот же квадрат можно разбить на девять квадратов размером 2×2, поэтому эта же сумма окажется нечетной. Противоречие. Критерии проверки. «+» Приведено полное обоснованное решение «±» Приведено верное в целом рассуждение, содержащее незначительные пробелы или неточности «–» Приведен только ответ «–» Задача не решена или решена неверно 8.2. Часть графика линейной функции, расположенная во второй координатной четверти, вместе с осями координат образует треугольник. Во сколько раз изменится его площадь, если угловой коэффициент функции в два раза увеличить, а свободный член в два раза уменьшить? Ответ: уменьшится в восемь раз. Решение. Пусть исходная линейная функция задается уравнением y = kx + b. Из условия задачи следует, что k > 0 и b > 0 (см. рис. 8.2). Точки пересечения ее графика с осями: А(0; b) и В( − b k ; 0). Так как отсекаемый треугольник АОВ – прямоугольный, то его площадь равна 1 2 OA OB ⋅ = 1 2 b b k ⋅ = b k 2 2 После указанного изменения коэффициентов получится функция y = 2kx + 0,5b. Ее график пересекает оси координат в точках С(0; b 2 ) и D( − b k 4 ; 0). Площадь прямоугольного треугольника СOD равна 1 2 OC OD ⋅ = 1 2 2 4 ⋅ ⋅ b b k = b k 2 16 Следовательно, площадь уменьшится в b k 2 2 : b k 2 16 = 8 раз. Критерии проверки. «+» Приведено полное обоснованное решение «±» Приведено верное в целом рассуждение, содержащее незначительные пробелы или неточности, не повлиявшие на ответ « » Верный ход рассуждений, но допущены вычислительные ошибки « » Приведен только верный ответ или ответ, полученный путем рассмотрения конкретного примера «–» Задача не решена или решена неверно 8.3. Высота СH, опущенная из вершины прямого угла треугольника ABC, делит биссектрису BL этого треугольника пополам. Найдите угол BAС. Ответ: 30°. Решение. Пусть СH и ВL пересекаются в точке K ( см. рис. 8.3). Тогда СK – медиана прямоугольного треугольника BСL, проведенная к гипотенузе, значит, СK = 0,5BL = BK. Тогда ∠KCB = ∠KBC = ∠KBH. Так как сумма этих трех углов равна 90° (из треугольника СBH), то каждый из них равен 30°. Следовательно, ∠CBА = Рис. 8.2 Рис. 8.3 2 60 °, ∠BAС = 30°. Критерии проверки. «+» Приведено полное обоснованное решение «±» Приведено верное в целом рассуждение, содержащее незначительные пробелы или неточности, не повлиявшие на ответ « » Доказано, что СK = 0,5BL, но дальнейшие рассуждения содержат ошибки или отсутствуют «–» Приведен только ответ «–» Задача не решена или решена неверно 8.4. На острове Лжецов и Рыцарей расстановку по кругу называют правильной, если каждый, стоящий в кругу, может сказать, что среди двух его соседей есть представитель его племени. Однажды 2019 аборигенов образовали правильную расстановку по кругу. К ним подошел лжец и сказал: «Теперь мы вместе тоже можем образовать правильную расстановку по кругу». Сколько рыцарей могло быть в исходной расстановке? Ответ: 1346. Решение. Докажем, что правильная расстановка по кругу возможна тогда и только тогда, когда рыцарей, по крайней мере, в два раза больше, чем лжецов. Действительно, из условия задачи следует, что в такой расстановке соседями каждого лжеца являются два рыцаря, а среди соседей любого рыцаря есть хотя бы один рыцарь. Тогда правильная расстановка должна выглядеть так: группа рыцарей, лжец, группа рыцарей, лжец, и так далее (в каждой группе не менее двух рыцарей). Значит, при такой расстановке рыцарей хотя бы в два раза больше, чем лжецов. В обратную сторону: если рыцарей в два раза больше, чем лжецов, то делаем расстановку вида РРЛРРЛ..., а оставшихся рыцарей (если они есть) помещаем между любыми двумя рыцарями. Таким образом, если выполняется такое условие, то правильная расстановка возможна. Пусть в правильной расстановке, указанной в условии, стоят Р рыцарей и Л лжецов, тогда Р ≥ 2Л. Подошедший лжец сказал неправду, поэтому вместе с ним правильная расстановка невозможна, следовательно, Р ≤ 2Л + 1. Таким, образом Р = 2Л или Р = 2Л + 1. В первом случае, в исходной расстановке 2019⋅ 2 3 = 1346 рыцарей, а второй случай невозможен, так как число (2019 – 1)⋅ 2 3 не будет целым. Критерии проверки. «+» Приведено полное обоснованное решение «±» Приведено верное в целом рассуждение, содержащее незначительные пробелы или неточности (например, доказано только необходимое условие существования правильной расстановки или допущена вычислительная ошибка в конце) « » ответ получен, исходя из предположения, что рыцарей в два раза больше, чем лжецов, но это не доказано «–» Приведен только ответ «–» Задача не решена или решена неверно 8.5. У натурального числа N выписали все его делители, затем у каждого из этих делителей подсчитали сумму цифр. Оказалось, что среди этих сумм нашлись все числа от 1 до 9. Найдите наименьшее значение N. Ответ: 288. Решение. Заметим, что у числа 288 есть делители 1, 2, 3, 4, 32, 6, 16, 8, 9. Поэтому это число удовлетворяет условию задачи. Докажем, что меньшего числа, удовлетворяющего условию, не существует. Действительно, так как N должно иметь делитель с суммой цифр 9, то N делится на 9. Рассмотрим теперь делитель d с суммой цифр 8. d не делится на 3, поэтому числа d и 9 – взаимно простые, значит, N делится на 9d. При этом, если d ≥ 32, то 9d ≥ 288, то есть 3 N ≥ 288. Значит, остается проверить d = 26, d = 17 и d = 8. Если d = 26, то 9d = 234. У этого числа нет делителя с суммой цифр 5, а любое число, ему кратное, больше, чем 288. Если d = 17, то 9d = 153. У этого числа нет делителя с суммой цифр 2, а любое число, ему кратное, больше, чем 288. Если d = 8, то 9d = 72. Ему кратные и меньшие, чем 288 – это 144 и 216. Но у этих чисел нет делителя с суммой цифр 5. Критерии проверки. «+» Приведено полное обоснованное решение «±» Приведено верное в целом рассуждение, содержащее незначительные пробелы или неточности « » Приведен только верный ответ «–» Задача не решена или решена неверно 8.6. Внутри острого угла расположен выпуклый четырёхугольник ABCD. Оказалось, что для каждой из двух прямых, содержащих стороны угла, выполняется условие: сумма расстояний от вершин A и C до этой прямой равна сумме расстояний от вершин B и D до этой же прямой. Докажите, что ABCD – параллелограмм. Решение. Пусть прямая m содержит одну из сторон данного угла, а и с – расстояния от вершин А и С до m, P – середина отрезка AC, тогда расстояние от Р до m равно a c + 2 (средняя линия трапеции, см. рис. 8.6). Аналогично, если Q — середина отрезка BD, b и d – расстояния от вершин B и D до m, то расстояние от Q до m равно b d + 2 По условию, a c b d + = + , значит, точки P и Q равноудалены от прямой m. Проведя аналогичное рассуждение для прямой n, содержащей другую сторону данного угла, получим, что P и Q равноудалены от прямой n. Геометрическим местом точек, находящихся от заданной прямой на заданном расстоянии является пара прямых, параллельных заданной. По доказанному выше, точки P и Q принадлежат обоим ГМТ (для прямой m и для прямой n), значит, они принадлежат их пересечению. Но внутри угла пересекаются только две прямые, по одной из каждого ГМТ, поэтому точки P и Q совпадают. Таким образом, диагонали АС и BD данного четырехугольника пересекаются в их общей середине, то есть ABCD – параллелограмм. Критерии проверки. «+» Приведено полное обоснованное решение «±» Приведено верное в целом рассуждение, содержащее незначительные пробелы или неточности « » Присутствует идея рассмотрения середин диагоналей, но дальнейшие рассуждения неверны или отсутствуют «–» Задача не решена или решена неверно Рис. 8.6 |