Математика ТГАСУ. Вичкапов_СА_421_КР1. 9 Задача 9 Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить тремя способами а методом Гаусса

• Название: 9 Задача 9 Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить тремя способами а методом Гаусса
• Анкор: Математика ТГАСУ
• Дата: 24.11.2022
• Размер: 74.25 Kb.
• Имя файла: Вичкапов_СА_421_КР1.docx
• Тип: Задача; #811173

Контрольная работа №1

Вичкапов С.А.

Учебный номер Лв421/009

Вариант 9

Задача 9

Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность и решить тремя способами:

а) методом Гаусса;

б) методом Крамера;

в) матричным способом.



Решение

а) Докажем совместность системы и решим ее методом Гаусса.

Для совместности системы линейных алгебраических уравнений по теореме Кронекера-Капелли необходимо и достаточно чтобы ранг основной матрицы системы равнялся рангу расширенной матрицы r_A  r_Ap  r.

Запишем расширенную матрицу системы согласно пункту 1.8.2. [1]:



С помощью элементарных преобразований (пункт 1.7.4 [1]) найдем ранг основной матрицы и ранг расширенной матрицы.

→ → → rangA = rangA_p

Совместность системы доказана (п. 1.8.3 [1]), так как ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы и равен 3. Ранг основной матрицы равен числу неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение (п. 1.8.5 [1]).

Минор примем за базисный (п. 1.7.2 [1]). Базисные переменные: х₁, х₂, х₃, свободных переменных – нет.

Проведем обратный ход метода Гаусса (п.1.9.2).

х₃ = 7/(-3,5) = -2,0;

х₂ = [4–(-3,5)·(-2,0)]/(-1,5) = 2,0;

х₁ = [5–(-3)·(-2,0)-(-1)·(2,0)]/1 = 1,0.

б) Решаем систему методом Крамера

Найдем определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных:

Δ = =

= 1·(1)·(-1)+(-3)·(2)·(2)+(-2)·(-1)·(1)-(-3)·(1)·(-2)-(1)·(2)·(1)-(-1)·(2)·(-1) = -21 0.

Получим решение системы по формулам Крамера:

x₁ = = = = 1,0;

x₂ = = = = 2,0;

x₃ = = = = -2,0.

Сделаем проверку, подставив полу­ченные значения x₁, x₂, x₃ в каждое уравнение системы.



в) Решаем систему средствами матричного исчисления

Чтобы записать ее в виде матричного уравнения и решить это матричное уравнение, используем правила действия над матрицами.

Для этого введем обозначения:

А = ; Х = ; В =

Далее, система записывается в виде следующего уравнения А·Х = В, откуда следует, что Х = А^-1·В. Найдем обратную А^-1 матрицу для матрицы А. Посчитаем сначала алгебраические дополнения A_ij для элементов a_ij матрицы А.

A₁₁ = (-1)¹⁺¹ = -3; A₁₂ = (-1)¹⁺² = 0; A₁₃ = (-1)¹⁺³ = 6;

A₂₁ = (-1)²⁺¹ = -7; A₂₂ = (-1)²⁺² = -7; A₂₃ = (-1)²⁺³ = 0;

A₃₁ = (-1)³⁺¹ = 2; A₃₂ = (-1)³⁺² = -7; A₃₃ = (-1)³⁺³ = 3.

Определитель найден ранее Δ = -21.

А^-1 = =

Х = А^-1 ·В = · =

= =

х₁ = 1,0; х₂ = 2,0; х₃ = -2,0.

Решения совпадают.
Задача 19

Даны векторы 2;1, -1;2, 12;1. Показать, что векторы и образуют базис. Разложить вектор по векторам и .

Решение

Покажем, что векторы и образуют базис. Действительно, они ненулевые и неколлинеарные, поскольку  , то согласно пункту 2.4.1 [1] векторы образуют базис.

Разложим вектор по векторам и , то есть предста­вим вектор в виде

= α + β и найдем его координаты (чис­ла α и β). Для этого подставим в данное равенство координаты векторов , , . В результате получим систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов α и β:

2α-β = 12,

α+2β = 1.

Решаем полученную систему



Δ = = 2∙(2)-(-1)∙(1) = 5

α = Δ_α/Δ = = 25/5 = 5

β = Δ_β/Δ = = -10/5 = -2.

Сле­довательно, вектор с раскладывается по векторам и следующим образом:

= 5 - 2 .

Ответ: = 5 - 2 .
Задача 29

Даны координаты точек А₁(8, 6), А₂(10, 5), А₃(5, 6).

Найти: 1) длину вектора ; 2) угол между векторами и .

Решение

1) Длина вектора

= {10 - 8, 5 - 6} = {2, -1}

= [(2)² + (-1)²]^1/2 = 2,24.

2) Угол между векторами и

cosφ = (a·b)/(|a|·|b|)

= {5 - 8, 6 - 6} = {-3, 0}

= [(-3)² + (0)²]^1/2 = 3,00.

cosφ = [2 ∙(-3)+(-1)∙(0)]/(2,24∙3,00) = -0,894

φ ≈ 153,4º.

Задача 39

Даны координаты вершин пирамиды А₁, А₂, А₃, А₄.

Найти: 1) площадь грани А₁А₂А₃; 2) объем пирамиды.

А₁(8, 6, 4), А₂(10, 5, 5), А₃(5, 6, 8), А₄(8, 10, 7).

Решение

Координаты векторов

= {10 - 8, 5 - 6, 5 - 4} = {2, -1}

= {5 - 8, 6 - 6, 8 - 4} = {-3, 0, 4}

= {8 - 8, 10 - 6, 7 - 4} = {0, 4, 3}

1) площадь грани А₁А₂А₃

S_А1А2А3 = /2 = | |/2,

где | | - вектор нормали к плоскости А₁А₂А₃

× = = =

= ·(-1·4-1·0)+ ·(1·-3-2·4)+ ·(2·0--1·-3) = -4 +-11 +-3 .

| | = = 12,08

S_А1А2А3 = 12,08/2 = 6,04 ед².

2) объем пирамиды

V = = = =

= |-53|/6 = 8,83 ед³.

Задача 49

Даны вершины треугольника АВС.

Найти:

1) уравнение стороны АВ; 2) уравнение высоты, проведенной из вершины А.

A(-2; 0), В(2; 6), C(4; 2).

Решение

1. Чтобы получить уравнение стороны АВ, воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки (п. 3.1.3):



Уравнение прямой АВ примет вид:



Полученное каноническое уравнение простым преобразованием приведем к виду
3х-2у+6 = 0

Это общее уравнение прямой АВ.

2. Чтобы получить уравнение высоты АP, воспользуемся тем, что вектор является нормальным вектором прямой АP (первый случай из пункта 3.1.2). Пусть Mx,y – произвольная точка этой прямой. Так как вектора   ( )0.

Найдем координаты векторов и :

= {4-2, 2-6} = {2, -4}

= {x+2, y+0}.

Тогда запишем общее уравнение прямой AC:

АС = 2(x+2)+(-4)(y+0) = 0

АС = x-2y+2 = 0.
Задача 59

Даны координаты точки M₁2,-1,-1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной плоскости P: 3x+2y-z+1=0

Решение

Из общего уравнения плоскости находим координаты ее нормального вектора

= {3, 2, -1}.

Так как по условию данная плоскость параллельна искомой плоскости, то ее нормальный вектор перпендикулярен искомой плоскости.

Таким образом, получаем первый случай из рассмотренных в п. 3.2.1 [1]. Векторы перпендикулярны, значит, их скалярное произведение равно нулю:
= 0.

Имея координаты этих векторов:

= {x-2, y+1, z+1}

запишем скалярное произведение, получим:

3(x-2)+2(y+1)-(z+1) = 0

Получаем общее уравнение искомой плоскости:

3x+2y-1z-5  0.

Список использованных источников

1. Элементы линейной алгебры, векторной алгебры, аналитической геометрии: методические указания по выполнению контрольной работы для студентов заочной формы обучения / составители: Лазарева Р.И., Куницына Т.С., Зголич М.В. – Томск:
Изд-во Том. гос. архит.-строит. ун-та, 2017. – 40 с.