Тема 9. 9 Числовые ряды с положительными членами. Сравнение рядов с положительными членами Последовательность членов бесконечной геометрической прогрессии a, aq, aq
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
Тема 9: Числовые ряды с положительными членами. Сравнение рядов с положительными членами Последовательность членов бесконечной геометрической прогрессии a, aq, aq 2 , aq 3 ,..., aq n-1 ,... приводит нас к важному примеру ряда a+aq+aq 2 +aq 3 +...+aq n-1 +..., который мы в дальнейшем кратко будем называть геометрической прогрессией. Основным понятием теории рядов является понятие сходимости ряда. Пусть дан ряд u 1 +u 2 +u 3 + u 4 +...+u n +... Составим суммы, называемые частными суммами ряда S 1 =u 1 ; S 2 =u 1 +u 2 ; S 3 =u 1 +u 2 +u 3 ;...S n =u 1 +u 2 +u 3 +...+u Определение. Если при беспредельном возрастании величина S n стремится к конечному пределу n n S S lim то говорят, что бесконечный ряд u 1 +u 2 +u 3 + u 4 +...+u n +... сходится и имеет сумму S. В этом случае пишут S=u 1 +u 2 +u 3 + u 4 +...+u n +... В противном случае говорят, что ряд расходится. Примером сходящегося ряда может служить геометрическая прогрессия со знаменателем │q│<1, т. кв этом случае q a q aq q a q aq q a S n n n n n 1 1 lim 1 1 1 lim ибо 0 Если q>1, то ряд a+aq+aq 2 +aq 3 +...+aq n-1 +...(a>0) будет расходящимся, т. кв этом случае Если q=1 то геометрическая прогрессия перепишется следующем образом a+a+a+...+a+..., в этом случае и n n S lim следовательно, ряд расходящийся. Если q= -1, то геометрическая прогрессия будет иметь вид a-a+a-a+..., итак как сумма n членов будет равняться 0, если число членов четное, и если n – число нечетное, то предел S n не существует, следовательно, ив этом случае ряд расходится. Пример 1. Установить сходимость ряда 1 ) 2 )( 1 ( 1 ) 2 )( 1 ( 1 5 4 1 4 3 1 3 2 Представим общий член в виде разности двух дробей 2 1 1 Положив в полученном равенстве последовательно n=1, 2, 3,..., последовательно получим 4 1 3 1 4 3 1 2 3 1 2 1 3 2 1 Такое разложение можно осуществить методом неопределенных коэффициентов, применяемым при интегрировании рациональных дробей 2 1 2 1 ) 2 ( ) 1 ( 1 1 5 1 4 1 5 4 1 Сложив эти равенства и приведя подобные слагаемые в левой части равенства, получим выражение ой частичной суммы S n данного ряда. В правой же части останутся только два слагаемых 2 1 2 1 n , те Переходя к пределу, получим 2 Не всегда удается найти сумму ряда, как это мы сделали в этом примере, или в случае геометрической прогрессии. Часто, однако, бывает достаточно установить факт сходимости данного ряда. В случае сходимости ряда он может быть представлен состоящим из двух слагаемых (u 1 +u 2 +u 3 +...+u n )+( u n+1 +u n+2 +...). Первое есть S n , второе слагаемое есть тоже сходящийся ряд, обозначаемый через r называемый остатком ряда и выражающий ту ошибку, которую мы допускаем, заменив через S n , те, S n и r связаны между собой следующим равенством S= S n + r Так как для геометрической прогрессии a+aq+aq 2 +aq 3 + aq 4 +...+aq n-1 +...,│q│<1 то остаток ряда r будет равняться 2. Необходимый признак сходимости ряда Общий член сходящегося ряда стремится к нулю при беспредельном возрастании n Доказательство. Если ряд u 1 +u 2 +u 3 + u 4 +...+u n +... сходится, то и но так как то, переходя к пределу, получим или что и требовалось доказать. Не следует упускать из виду, что это условие необходимое, ноне достаточное, то есть из выполнения условия не вытекает сходимость ряда Для подтверждения рассмотрим ряд с общим членом u те. называемый гармоническим. Его общий член стремится к нулю при неограниченном возрастании n: Следовательно, необходимое условие сходимости выполняется, и все же он будет расходящимся. В самом деле, как известно, следовательно, т. е. или Положив в полученном неравенстве последовательно n = =1, 2, 3 ... , будем иметь Сложив эти неравенства и приведя подобные слагаемые в левой части, получим выражение ой частичной суммы гармонического ряда. В правой же части ln (n+1) итак как то те. гармонический ряд расходится. Далее мы рассмотрим простейшие признаки сходимости рядов. Пример 2. Показать, что ряд 1 n n n удовлетворяет необходимому признаку сходимости, но является расходящимся. Запишем ряд в развернутом виде 1 1 1 4 1 3 1 2 1 Необходимый признак сходимости выполняется, так как 0 1 lim lim n a n n n . Для доказательства расходимости данного ряда оценим его ю частичную сумму ; 1 1 1 1 1 3 1 2 1 итак, n S n . Очевидно, что при n n , а следовательно, n S . Ряд расходится. Примеры для самостоятельного решения Найти суммы или установить расходимость следующих рядов 1. n n n n 1 2 1 ) 1 ( 1 1 2. 1 2 2 1 n n arctg 3. 1 ) 2 ( ) 1 ( 1 n n n n 4. ) 1 2 2 ( 3 1 3 3 n n n n 5. 1 2 2 n n n 6. 7. 1 2 2 ) 2 ( ) 1 4 ( 1 5 n n n n n n 8. 1 2 1 4 1 n n 9. 1 2 2 ) 1 ( 1 Сравнение рядов с положительными членами Пусть имеем два положительных ряда с положительными членами) (2) Для них справедливы следующие теоремы Теорема 1: Если члены ряда (1) не больше соответствующих членов ряда (2), те. и ряд (2) сходится, то сходится и ряд (1). Теорема 2: Если члены ряда (1) не меньше соответствующих членов ряда (2), те. и ряд (2) расходится, то и ряд (1) расходится. Важно Обе теоремы справедливы только для рядов с положительными членами или если некоторые члены ряда равны нулю. Если же среди членов ряда имеются отрицательные числа, то данные признаки перестают быть верными, те. их нельзя использовать. Предельный признак сравнения) сравним с эталонным (Если , где и , то ряды (1) и (2) ведут себя одинаково (вместе сходятся или расходятся 2 2 ln n n Эталонные ряды - гармонический ряд (расходится - обобщенный гармонический ряд · геометрическая прогрессия Пример 1: Исследовать на сходимость ряд Решение. Воспользуемся признаком сравнения, сравнив данный числовой ряд с положительными членами с гармоническим рядом Так как и гармонический ряд является расходящимся, то и наш числовой ряд по признаку сравнения расходится. Ответ ряд расходится. Пример 2: Исследовать на сходимость ряд Решение. Исследуем данный числовой ряд с положительными членами на сходимость, воспользовавшись предельным признаком сравнения. Сравним данный ряд с обобщенным гармоническим рядом . Так как , то данный ряд расходится. Вычислим предел: Следовательно, оба ряда вместе расходятся согласно предельному признаку сравнения. Ответ: Ряд расходится 1. Ряд будет расходящимся, т. к. общий член этого ряда будет больше общего числа гармонического ряда те. расходящегося 2. Ряд будет сходящимся, так как его общий член меньше общего члена сходящегося ряда геометрической прогрессии со знаменателем 3. Доказать расходимость ряда 4 5 ln 3 4 ln 2 3 ln 2 ln 1 1 ln 1 Запишем общий член данного ряда в виде n n n n n ln ) 1 ln( 1 ln 1 1 ln ; так как , ln ) 1 ln( ), 1 ln( ln , 3 ln 4 ln , 2 ln 3 ln , 1 ln 2 ln 1 3 2 то ) 1 ln( 2 Ясно, что Ряд суммы не имеет и является расходящимся. Примеры для самостоятельного решения Исследовать на сходимость ряды 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) |