Вопросы к экзамену по высшей математике 3 семестр. Матан_3семак. 1. Числовые ряды. Определение сходимости. Необходимое условие сходимости числового ряда

• Название: 1. Числовые ряды. Определение сходимости. Необходимое условие сходимости числового ряда
• Анкор: Вопросы к экзамену по высшей математике 3 семестр
• Дата: 13.01.2022
• Размер: 343 Kb.
• Имя файла: Матан_3семак.docx
• Тип: Документы; #330428
• страница: 1 из 3

1. Числовые ряды. Определение сходимости. Необходимое условие сходимости числового ряда.

Опр. Выражение вида называется числовым рядом.
Опр. Сумма конечного числа n первых членов ряда ∑a_n называется n-ой частичной суммой ряда.

Если последовательность частичных сумм сходится, т.е. существует конечный предел
, то говорят, что ряд сходится, и его сумма равна S.
Если конечный предел не существует, то говорят, что ряд расходится.

Необходимое условие сходимости ЧР:
Если ряд сходится, то

2. Теоремы сравнения для знакоположительных рядов.

а) Последовательность частичных сумм положительного ряда монотонно возрастает
б) Для того, чтобы знакоположительный ряд сходился, н. и д., чтобы последовательность частичных сумм этого ряда была ограничена сверху.
в) Если для ЧР и для всех n выполняется неравенство , то:
из сходимости следует сходимость
из расходимости следует расходимость
г) Пусть даны ЧР с положительными членами и . Если существует предел , причём k принадлежит (0;∞), то оба ЧР ведут себя одинаково.

3. Признак сходимости Даламбера для знакоположительных рядов

Теорема: Пусть задан ряд с положительными членами и существует предел
Тогда:
Если l<1, то ряд сх.
Если l>1, то ряд рх.
Если l=1, то признак не применим

4. Радикальный признак Коши и интегральный признак Коши для знакоположительных рядов

Алг. пр.: Пусть задан ряд с положительными членами и существует предел
Тогда:
Если l<1, то ряд сх.
Если l>1 или l=∞, то ряд рх.
Если l=1, то признак не применим

Инт. пр.: Пусть задан ряд с положительными членами и существует функция f(x), удовлетворяющая условиям:
1) ф-я f(x) определена, непрерывна и не возрастает на [1;+∞);
2) для любого n N верно f(n) =

Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно

5. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

Опр. ЧР вида , где верно a_n>0, называется знакочередующимся ЧР.

Теорема Лейбница: ЗЧР сходится т. и т.т., когда выполняются условия:
1) последовательность а_n монотонно убывает
2)

Замечания:
а) Для ЗЧР т. Лейбница является единственным достаточным признаком сходимости
б) При использовании т. Лейбница необходимо проверять a_n+1≤a_n для выявления монотонности

6. Абсолютная и условная сходимость ЗЧР

Опр. Если ЗЧР сх и сх, то абсолютно сходится

Опр. Если ЗЧР сх и рх, то условно сходится

7. Функциональные ряды. Нахождение области сходимости функционального ряда с помощью признаков Даламбера и Коши

Опр. Выражение вида , где u(x)- функции переменной х, называется функциональным рядом.

При исследовании ФР на сходимость используют признаки Даламбера и Коши

или

Область сходимости ФР содержит две точки, где l(x)<1
В точках, где l(x)>1, ФР расходится
Если l(x)=1, нужно провести исследование

8. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости степенного ряда

Опр. ФР вида , где , называется степенным рядом

Теорема Абеля: Если СР сходится в т. , то он абс. сх. для ;
если СР рх в т. , то он рх. для

Число R такое, что СР сх. на (-R;R) и рх. на (-∞;R)U(R;∞), называется радиусом сходимости



Замечания:
1) Если R=0, то СР сх. только в т. х=0, а СР в
2) Если R=+∞, то СР сх. на R
3) Сходимость в граничных точках или нужно проверять отдельно

Интервал сходимости – область (-R; R).

9. Свойства степенных рядов

1) Если R>0 – радиус сх. СР , то он сх. абсолютно и равномерно на [-g;g], 02) Если R>0 – радиус сх. СР , S(x)-сумма на (-R;R), то S(x) непрерывна на (-R;R)
3) Если R>0 – радиус сх. СР , то его можно почленно интегрировать на [-g;g], 04) Если R>0 – радиус сх. СР , то его можно почленно дифференцировать внутри интервала сходимости (R=const)

10. Ряд Тейлора. Сходимость ряда Тейлора, составленного для функции f(x), к функции f(x)

Опр. Функциональный ряд вида называется тригонометрическим рядом .

Теорема: Если ТрР равномерно сходится к функции y=f(x) на отрезке [-π;π], то его коэффициенты:


Опр. ТрР, коэффициенты которого определяются по формулам из теоремы, называется рядом Фурье для функции y=f(x), а его коэффициенты называются коэффициентами Фурье для функции y=f(x)

11. Ряд Маклорена. Разложение функции y=sin(x) в ряд Маклорена

Опр. Если в ряде Тейлора , то данный ряд называется рядом Маклорена



12. Ряд Маклорена. Разложение функции y=cos(x) в ряд Маклорена

Опр. Если в ряде Тейлора , то данный ряд называется рядом Маклорена



13. Ряд Маклорена. Разложение функции y= в ряд Маклорена

Опр. Если в ряде Тейлора , то данный ряд называется рядом Маклорена



14. Ряд Маклорена. Разложение функции y=ln(1+x) в ряд Маклорена

Опр. Если в ряде Тейлора , то данный ряд называется рядом Маклорена



15. Тригонометрический ряд. Гармоники

Опр. Функциональный ряд вида называется тригонометрическим рядом .

Опр. Гармоника – простейшая периодическая функция вида

16. Теорема об ортогональности тригонометрической системы функций

Опр. Множество функций 1, cos(x), sin(x), cos(2x), sin(2x),…,cos(2n), sin(2n) называется тригонометрической системой функций.

Теорема: Тригонометрическая система функций ортогональна на [-π; π]

Док-во:








При n, m можно проверить:







17. Ряд Фурье для 2 периодических функций. Коэффициенты Фурье

Опр. Функциональный ряд вида называется тригонометрическим рядом .

Теорема: Если ТрР равномерно сходится к функции y=f(x) на отрезке [-π;π], то его коэффициенты: