Лекция. Тема 5-1. Числовые ряды, признаки сходимости и сравнение. Числовым рядом
 Скачать 1.93 Mb.
|
|
Определение Выражение , где x 1 , x 2 ,…,x n – числовая последовательность, называется числовым рядом. . ... x ... x x x n n n n + + + + = å - 2 1 1 Определение Суммы начальных членов ряда: S 1 = x 1 , S 2 = x 1 + x 2 ,…, S n = x 1 + x 2 +…+ x n ,… – являются частичными суммами. x n – общий член ряда. Числовой ряд Если последовательность частичных сумм имеет числовой предел S при , то ряд называется сходящимся, а число S – суммой ряда, т.е. Если такого предела не существует, то ряд расходится. Если частичные суммы неограниченно возрастают, обозначают: ¥ ® n S x S, S n n n n = = å ¥ - ¥ ® 1 lim ¥ = å ¥ =1 n n x Необходимый признак сходимости числового ряда Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. å ¥ =1 n n x 0 lim = ¥ ® n n x Пример «Ряд Дирихле» Ряд Дирихле: Решение: При p = 1 получаем расходящийся ряд Этот называется гармоническим. î í ì > ¥ < £ ¥ = å ¥ - 1 , 1 , 1 1 p p n n p ¥ = + + + + = å ¥ - 4 1 3 1 2 1 1 1 1 n n Определение Это числовой ряд, члены которого стремятся к нулю, однако гармонический ряд расходится. Виды рядов Различают ряды: • знакоположительные с положительными членами; • знакоотрицательные с отрицательными членами; • знакочередующиеся, если члены ряда поочередно положительны и отрицательны; • знакопеременные или произвольные ряды Знакоположительный ряд Общая формула знакоположительного ряда: Ряд имеет всегда предел – конечный (ряд сходится) или бесконечный (ряд расходится). Для исследования сходимости данного положительного ряда x 1 + x 2 +…+ x n >0 , его обычно сравнивают с другим положительным рядом y 1 + y 2 +…+ y n >0 , сходимость которого известна. 0 2 1 > + + + n x x x Признак сравнения положительных рядов Если для соответствующих членов рядов имеет место x n ≤ y n , n = 1, 2, …, то: § из сходимости ряда следует сходимость ряда ; § из расходимости ряда следует сходимость ряда ; Сущность признака сравнения ряда сводится к тому, что ряд, состоящий из больших слагаемых, имеет большую сумму. ¥ < å ¥ -1 n n y ¥ < å ¥ -1 n n x ¥ < å ¥ -1 n n x ¥ < å ¥ -1 n n y Пример Исследовать сходимость ряда: Решение: . Поскольку гармонический ряд расходится, будет расходится исходный ряд. К тому же выводу приходим, рассматривая в исходном ряде с общим членом ряд Дирихле, с показателем p = ½ ≤ 1. å ¥ -1 1 n n n n 1 1 ³ å ¥ -1 1 n n 2 1 1 1 n n ³ Предельный признак сравнения положительных рядов Если для знакоположительных рядов имеет место x n ≤ y n , n = 1, 2, …, то Ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся. Сущность предельного признака сравнения сводится к тому, что ряды, состоящие из пропорциональных слагаемых, имеют пропорциональные суммы. ¥ < < ¥ ® n n n y x lim 0 å å ¥ - ¥ - 1 1 n n n n y и x Пример Исследовать сходимость ряда: Решение: Выполним сравнение этого ряда с рядом Дирихле: При p+1=3 имеет место , т.е. выполняется условие предельного признака сравнения исходного ряда с рядом Дирихле Ряд Дирихле с показателем p = 2 сходится, следовательно будет и сходится исходный ряд. å ¥ - + + 1 3 3 1 n n n ( ) ÷ ø ö ç è æ + ÷ ø ö ç è æ + = + + = + + = + 3 3 1 3 3 3 1 1 1 3 1 1 3 1 n n n n n n n n n n y x p p p n n ¥ ® ® ,n y x n n 1 å ¥ -1 2 1 n n Определение Числовой ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных значений его членов. Определение Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но ряд составленный из абсолютных значений его членов расходится. Признак Даламбера абсолютной сходимости произвольного ряда Если члены ряда x 1 + x 2 +…+ x n + … удовлетворяют условию существования предела то 1. при 0 ≤ l <1 – ряд сходится абсолютно, 2. при l >1 – ряд расходится, 3. при l = 1 – ряд может как сходиться так и расходиться. l x x n n n = + ¥ ® 1 lim Пример Исследовать сходимость ряда: Решение: Рассмотрим отношение последующего члена к предыдущему Абсолютная величина этого отношения стремится l = ½ при Поскольку 0 ≤ l <1 ,по признаку Даламбера ряд сходится. å ¥ -1 2 2 n n n ( ) ( ) ¥ ® ® ÷ ø ö ç è æ + = + = + = + + + n n n n n n x x n n n n n n , 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 ¥ ® n Признак Коши абсолютной сходимости произвольного ряда Если члены ряда x 1 + x 2 +…+ x n + … удовлетворяют условию существования предела то 1. при 0 ≤ l <1 – ряд сходится абсолютно, 2. при l >1 – ряд расходится, 3. при l = 1 – ряд может как сходиться так и расходиться. l x n n n = ¥ ® lim Пример Исследовать сходимость ряда: Решение: Поскольку , получаем Выражение стремится к пределу l = 1/3 при . По признаку Коши исходный ряд абсолютно сходится. n n n n å ¥ - ÷ ø ö ç è æ + + 1 1 3 1 n n n n x ÷ ø ö ç è æ + + = 1 3 1 n n n n n n x n n n n 1 3 1 1 1 3 1 1 3 1 + + = ÷ ø ö ç è æ + + = ÷ ø ö ç è æ + + = ¥ ® n |