Дәріс 9; 9 апта (2). 9таырып. арапайым блшектерге жіктеу арылы рационал функцияларды интегралдау. Тригонометриялы функциялар мен иррационал рнектері бар арапайым интегралдарды интегралдау
 Скачать 220.8 Kb.
|
|
9-тақырып. Қарапайым бөлшектерге жіктеу арқылы рационал функцияларды интегралдау. Тригонометриялық функциялар мен иррационал өрнектері бар қарапайым интегралдарды интегралдау Қарапайым бөлшектерді интегралдау Келесі берілген төрт бөлшек қарапайым бөлшектер деп аталады: I.  II.  III.  IV.   – натурал сандар ( ) және .Алғашқы екі қарапайымбөлшектің интегралы  алмастыруы арқылы кестелік интегралға келтіріледі.  II.  III.    I  V.   Мұнда  ал  тең болады, мұндағы Енді  интегралы үшін келесі рекурентті формуланы қолдану керек.  Бұл рекурентті формуланы  рет қолдану арқылы  интегралын  негізгі кестелік интеграл арқылы есептеуге болады. 1-мысал.    Рационал функцияларды интегралдау Дұрыс рационал бөлшектерді интегралдау үшін оларды төмендегідей қарапайым бөлшектерге жіктеу керек:   мұндағы  – тұрақты сандар. шамаларының мәндерін анықтау үшін белгісіз коэффициенттер әдісін қолданыламыз (екі көпмүше тең болуы үшін х-тің бірдей дәрежесіндегі коэффициенттердің тең болуы қажетті және жеткілікті). Бұрыс рационал бөлшектер үшін алдын ала бүтін бөлігін шығарып алуымыз керек. 2-мысал.  интегралын есептеу керек. Шешуі: Интеграл атындағы өрнек бөлімінің екі нақты түбірі бар дұрыс рационал бөлшек, олай болса  тең екендігін аламыз. Осыдан  x айнымалысының бірдей дәрежелерінің алдындағы коэффициенттерін теңестірсек  Табылған  коэффициентін орнына қойсақ  Сонда   3-мысал.  .Ортақ бөлімге келтіре отырып, алымдарын теңестіреміз:       Сонымен  .Иррационал функцияларды интегралдау 1.  интегралын қарастырайық. Осы интеграл  алмастыруын қолдану арқылы рационал функцияның интегралына келтіріледі, мұндағы  саны  бөлшектерінің ортақ бөліміне тең.4-мысал.   2.  интегралын қарастырайық. Осы интеграл  алмастыруын қолдану арқылы рационал функцияның интегралына келтіріледі, мұндағы саны бөлшектерінің ортақ бөліміне тең.5-мысал.    6-мысал.    Кейбір тригонометриялық функцияларды интералдау  Интегралдың бұл түрін есептеу үшін  алмастыруы қолданылады мұны универсал алмастыру деп аталады Бұл арқылы  . Функциясы жаңа  айнымалысының рационал функциясына түрленеді. ,  .Тригономатриядан белгілі формулалар бойынша  , Сондықтан  мұндағы интегралданатын функция  айнымалысы бойынша рационал функция.7-мысал.   Кейбір жағдайларда осындай алмастырулар күрделі есептеулерге кездестіреді, сондықтан басқа алмастырулар қолдануға болады. Солардың кейбіреулерін қарастырайық: 1)  болса, онда  8-мысал.   2)  болса, онда  9-мысал.   3)  болса, онда  10-мысал.   4)  интегралында  функциялары тек жұп дәрежелерімен берілсе, онда 11-мысал.   5)  а)  тақ болса, онда 12-мысал.    ә)  тақ болса, онда 13-мысал.    б) жұп, теріс емес болса онда  формулалары қолданылады. 14-мысал.     в) жұп, ең болмаса біреуі теріс болса, онда  немесе  15-мысал.   6) Әртүрлі аргументтердің синус және косинустарының көбейтіндісінің интегралы берілсе, онда бұл жағдайда төмендегі 3 формуланың біреуін қолданамыз:    16-мысал.   |