А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. М. Поляков. Соответствует Федеральному государственному образова тельному стандарту среднего общего образования

Название	А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский, В. М. Поляков. Соответствует Федеральному государственному образова тельному стандарту среднего общего образования
Дата	12.04.2023
Размер	161.49 Kb.
Формат файла
Имя файла	sam._i_kontr.rab_alg_10.pdf
Тип	Учебник #1058146

УДК 373.167.1:512
ББК 22.14я72
М52
Мерзляк, А. Г.
М52
Математика: алгебра и начала математического анали- за, геометрия. Алгебра и начала математического анали- за. Углублённый уровень : 10 класс : самостоятельные и контрольные работы / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский,
Е. М. Рабинович, М. С. Якир. — М. : Вентана-Граф,
2020. — 125, [3] с. : ил. — (Российский учебник).
ISBN 978-5-360-10758-3
Пособие содержит упражнения для самостоятельных и кон- трольных работ. Используется в комплекте с учебником «Мате- матика: алгебра и начала математического анализа, геометрия.
Алгебра и начала математического анализа : 10 класс : углуб- лённый уровень» (авт. А. Г. Мерзляк, Д. А. Номировский,
В. М. Поляков).
Соответствует Федеральному государственному образова- тельному стандарту среднего общего образования.
УДК 373.167.1:512
ББК 22.14я72
ISBN 978-5-360-10758-3
©
Мерзляк А. Г., Полонский В. Б.,
Рабинович Е. М., Якир М. С., 2020
© Издательский центр «Вентана-Граф», 2020

3
От авторов
Это пособие вместе с учебником для углублённого изу чения математики «Математика: алгебра и начала ма- тематического анализа, геометрия. Алгебра и начала мате- матического анализа. 10 класс» авторов А. Г. Мерзляка,
Д. А. Номировского, В. М. Полякова входят в один учеб- но-методический комплект.
Первая часть пособия — «Самостоятельные рабо- ты» — разделена на четыре однотипных варианта по 46 работ в каждом (самостоятельные работы, имеющие одина- ковые номера, являются однотипными). Каждая самостоя- тельная работа соответствует определённому параграфу учебника, что отражено в названии самостоятельной рабо- ты. Наличие аналогичных задач в самостоятельных рабо- тах с одинаковыми номерами также позволяет использо- вать этот материал для отработки навыков решения основ- ных типов задач.
Вторая часть пособия содержит задания для кон- трольных работ.
В пособии отсутствует раздел «Ответы». Это сделано специально, чтобы можно было использовать пособие как раздаточный дидактический материал на контроль- ных и проверочных работах.

4
Самостоятельные работы
Вариант
1
Самостоятельная работа № 1
Множества. Операции над множествами
1.
Какие из следующих утверждений верны:
1) 3 1 3 5
{ , , }
;
4)
{ }
{ , , }
5 1 3 5
;
2) { }
{ , , }
1 1 3 5
;
5)
∅ ⊂ { , , }
1 3 5
;
3) 5 1 3 5
{ , , }
;
6)
{ }
{ , , }
∅ ∈ 1 3 5
?
2.
Какие из следующих утверждений верны:
1) { }
{ , }
{ , }
3 3 9 3 9
; 3)
{ }
{ , }
{ }
3 3 9 9
;
2) { }
{ , }
{ }
3 3 9 3
; 4)
{ }
{ , }
{ , }
3 3 9 3 9
?
3.
Даны множества A
x x
=
−
=
{ |
}
2 4
0 и B
x
x
x
=
−
+
=
{ | (
)(
)
}
2 3
0 . Най- дите:
1) A
B
; 3)
A
B
\
;
2) A
B
; 4)
B
A
\
4.
На диаграмме Эйлера (рис. 1) изображены множества A, B и C. Заштрихуйте множество:
1) (
)
A
C
B
∩
∪
;
2) (
) \
A
B
C
;
3) ( \ )
B
C
A
Самостоятельная работа № 2
Конечные и бесконечные множества
1.
Докажите, что множество точек сторон квадрата и мно- жество точек описанной около этого квадрата окружно- сти равномощны.
A
B
C
Рис. 1

5
Вариант 1
2.
Каких натуральных чисел больше: четырёхзначных чи- сел или пятизначных чисел, кратных числу 10?
3.
В спортивной школе 70 учащихся посещают баскетболь- ную секцию или легкоатлетическую секцию. Известно, что 15 из них посещают обе секции. Докажите, что хотя бы одну из секций посещают не меньше 43 учащихся.
4.
Докажите, что множество натуральных чисел, кратных числу 7, равномощно множеству натуральных чисел, кратных числу 9.
Самостоятельная работа № 3
Высказывания и операции над ними
1.
Даны два высказывания: A ≡
=
{
}
2 5
4 10
, B ≡
>
{
}
8 11 .
Определите, истинным или ложным является высказы- вание:
1) A
B
; 3)
B
A
;
2) A
B
; 4)
A
B
2.
Пусть f — функция истинности, A и B — некоторые вы- сказывания. Известно, что f B
( )
0 и f A
B
(
)
∧
= 0 Най- дите f A
( ).
3.
Составьте таблицу истинности для логического выраже- ния (
)
A
B
C
∨
⇒ .
Самостоятельная работа № 4
Предикаты. Операции над предикатами.
Виды теорем
1.
На множестве всех упорядоченных пар (x; y) действи- тельных чисел задан предикат A x y
x
y
( ; )
{
(
)
}.
≡
+
−
=
2 2
1 0
Укажите область истинности этого предиката.
2.
На множестве R заданы предикаты A x
x
x
( )
{
}
≡
−
=
2 2
0 и B x
x
( )
{
}.
≡
−
=
2 4
0 Укажите область истинности пре- диката:
1) A x
B x
( )
( ); 3)
A x
B x
( )
( );
2) A x
B x
( )
( ); 4)
A x
B x
( )
( ).

6
Самостоятельные работы
3.
Вместо * поставьте один из кванторов или , чтобы образовалось истинное высказывание:
1) (*
)(
);
x
x
∈
+ <
R 2 3
0 2)
(*
)(
).
x
x
x
∈
−
+
R
2 2
3 2

4.
Рассмотрим теорему: если в параллелограмме один из углов равен 90 , то этот параллелограмм является пря- моугольником. Сформулируйте теорему:
1) противоположную данной;
2) обратную противоположной.
Самостоятельная работа № 5
Функция и её свойства
1.
Исследуйте на чётность функцию:
1) f x
x
x
( ) =
+
1 2
3
; 3)
f x
x
x
x
( ) =
−
−
2 4
2 8
2) f x
x
( ) =
−
6 2
;
2.
Найдите нули и промежутки знакопостоянства функ- ции:
1) y
x
x
=
−
2 4 ; 2)
y
x
x
x
=
−
−
(
)
1 4
2
3.
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
y
= x
2
– 4x + 2 на промежутке:
1) [–3; 1];
2) [1; 4].
4.
Найдите область значений функции f x
x
x
( )
=
+
2 16
Самостоятельная работа № 6
Построение графиков функций
с помощью геометрических преобразований
1.
Постройте график функции:
1) y
x
=
+
1 3
1
; 2)
y
x
=
+
1 3
1
2.
Постройте график функции:
1) y
x
=
−
3 2 ; 2)
y
x
=
−
3 2

7
Вариант 1
3.
При каких значениях параметра a уравнение
| | |
|
(
)
4 1
2
x
a x
−
=
+
имеет три корня?
Самостоятельная работа № 7
Обратная функция
1.
Какие из функций являются обратимыми:
1) y
x
=
−
3 2; 3)
y
x
2
, D(y) = [–2; + )?
2) y
x
2
, D (y) = [1; + );
2.
Найдите функцию, обратную к данной:
1) y
x
=
+
2 4;
2) y
x
= +
+
1 3 .
3.
С помощью графика функции f, изображённого на ри- сунке 2, постройте график функции g, обратной к функ- ции f.
x
y
0 1
1
Рис. 2
4.
Функция g является обратной к функции f(x) = x
3
+ x –
– 27. Решите уравнение f(x) = g(x).
Самостоятельная работа № 8
Метод интервалов
1.
Решите неравенство:
1) (
)(
)
;
x
x x
2 2
5 16 0
+
−

2) (
) (
)
;
x
x
x
−
−
+
2 4
3 0
2 2

8
Самостоятельные работы
3)
x
x
x
x
2 7
3 8
3

;
4) (
)
x
x
x
x
2 2
6 8
10 9
0
−
+
+
+

2.
Найдите множество решений неравенства (
)(
)
x
x a
+
−
6 0
2
в зависимости от значения параметра a.
Самостоятельная работа № 9
Степенная функция с натуральным показателем
1.
Функция задана формулой f x
x
( )
8
Сравните:
1) f( , )
2 4 и f( , );
3 8 3)
f
(
, )
9 6 и f( , );
9 6 2) f(
, )
8 7 и f(
, );
10 3 4)
f
(
, )
0 8 и f( , ).
0 4
2.
Определите графически количество корней уравнения:
1) –x
8
= x – 4;
2) x
5
= 2x – 5.
3.
Чётным или нечётным натуральным числом является показатель степени n функции y
x
n
, если:
1) f
f
(
)
(
);
−
>
−
5 3 3)
f
f
(
)
(
);
−
<
−
5 3
2) f
f
(
)
( );
−
<
5 3 4)
f
f
(
)
( )?
−
>
5 3
4.
Решите уравнение 5х
10
+ 3x
6
= 8.
Самостоятельная работа № 10
Степенная функция с целым показателем
1.
Дана функция f x
x
( )
=
−32
Сравните:
1) f( , )
7 2 и f( , );
6 5 3)
f
(
)
42 и f(
);
42 2) f(
, )
1 5 и f(
, );
1 8 4)
f
(
)
10 и f( ).
6
2.
Постройте график функции:
1) y
x
=
−
(
) ;
1 0
2)
y
x
=
−
−
(
) .
2 2
3.
Определите графически количество решений системы уравнений:
1)
y
x
y
x
= −
= −



−5 3
,
;
2)
y
x
y
x
=
=
−




−4 3
,

9
Вариант 1
4.
Чётным или нечётным является натуральное число n в показателе степени функции f x
x
n
( )
,
=
−
если:
1) f
f
(
)
(
);
−
<
−
12 16 3)
f
f
(
)
(
);
−
>
−
12 16 2) f
f
(
)
(
);
−
<
12 16 4) f
f
(
)
(
)?
16 12
Самостоятельная работа № 11
Определение корня
n
-й степени. Функция
y
x
n
=
1.
Вычислите 4 6
0 8 10 000 270 8
8 4
3 3
1 3
−
(
)
−
+ 





,
2.
Постройте график функции:
1) y
x
=
− +
(
)
1 11 11
; 2)
y
x
=
−
(
)
2 6
6
3.
Решите неравенство:
1) 4 1
5 4
x
; 2)
x
x
2 12 12 8
7
−
>
4.
Для каждого значения параметра a решите уравнение:
1) (
)
;
a
x
−
=
1 0
8 2)
ax
8 6.
5.
Решите систему уравнений
x
x
y
y
y
x
+
=
+
−
=




10 10 2
2 5
4
,
Самостоятельная работа № 12
Свойства корня
n
-й степени
1.
Найдите значение выражения:
1) 16 2
5 5
;
2) 3 5
3 5
5 2
8 3
6 8
;
3)
96 729 5
5
2.
Упростите выражение:
1)
m
4 5
; 3)
x
14 10
; 5)
c c
3 5
8 2)
a
32 24
; 4)
2 3 6
4
;
3.
Вынесите множитель из-под знака корня:
1) 54 3
; 2)
405 4

10
Самостоятельные работы
4.
Внесите множитель под знак корня:
1) 2 5 3
; 2)
10 0 312 4
,
5.
Сократите дробь:
1)
a
a
3 6
1 1
−
+
; 2)
a
a
a
a
4 3
4
; 3)
x
x
x
+
−
+
8 2
4 2
3 3
Самостоятельная работа № 13
Свойства корня
n
-й степени
1.
Сравните:
1) 7 4
и 5 3
; 2)
6 4
и 15 6
2.
Постройте график функции:
1) y
x
=
+
(
) ;
2 6
6 2)
y
x
x
=
−
⋅
−
(
)
(
) .
3 3
5 8
3 8
3.
Вынесите множитель из-под знака корня:
1) x
9 4
; 3)
x y
10 5 4
; 5)
a b
6 5 4
, если a 0;
2)
a
10 3
; 4)
16 7
4
x
; 6) a b
17 26 8
, если b 0.
4.
Внесите множитель под знак корня:
1) 3 2
2 5
y
y
; 4)
c c
6 8
, если c 0;
2) m
m
3
; 5)
x y
x y
3 7 8 12 10
, если x
0, y
0.
3) m m
5 4
;
5.
Упростите выражение
a
a
a
a
a
a
4 4
4 4
3 4
4 4
4 4
16 32
+
−
−
+
−
−





⋅
Самостоятельная работа № 14
Степень с рациональным показателем
и её свойства
1.
Найдите значение выражения:
1) 27 1
3
;
2) 64 5
6
;
3) 2 23 49 1 5






,
2.
Найдите область определения функции:
1) y
x
=
+
(
)
,
4 1 2
; 2)
y
x
x
=
+
−
(
)
2 1
5 8
9
−

11
Вариант 1
3.
Упростите выражение:
1) y
y
3 4 1 8
,
,
;
⋅
−
4)
x
y
10 21 16 35 49 20
(
)
;
2) y
y
15 28 6
7
:
; 5)
a
a
−
−
4 5
5 16 7
8 4
21
(
)
⋅
( )
3) (
)
;
,
y
4 0 9
4.
Постройте график функции y
x
=
+
(
)
−
−
(
)
4 1
7 7
5.
Упростите выражение
x
x
x
x
x
x
x
1 8
1 4
1 8
1 8
1 8
1 8
1 8
8 4
1 3
12 6
3
+
+
+
+
−
−
−
Самостоятельная работа № 15
Иррациональные уравнения
Решите уравнение:
1)
2 3
23 12 2
12
x
x
x
−
=
+
−
;
2) 7 1
−
=
−
x
x
;
3) (
)
;
x
x
x
x
−
−
+
=
−
3 5
4 2
6 2
4) x
x
+
−
−
=
10 5
3;
5) x
x
x
x
+
−
+
−
−
=
2 1
2 1
6.
Самостоятельная работа № 16
Различные приёмы решения
иррациональных уравнений и их систем
Решите уравнение (систему уравнений):
1) x
x
+
+
+
=
3 3
3 2
0 4
−
;
2)
2 4
4 2
2
−
−
x
x
x
x
+
+
+
= ;

12
Самостоятельные работы
3) 5 20 6 2 4
9 0
2 2
x
x
x
x
−
+ −
−
+
= ;
4)
x
y
xy
3 3
2 27
+
=
= −




,
;
5) x
x
−
+
−
=
7 9
2 3
3
Самостоятельная работа № 17
Иррациональные неравенства
1.
Решите неравенство:
1) 3 10 6
x
x
−
>
− ; 3)
x
x
+
>
+
33 3;
2) 4 5
1 1
2
x
x
x
+
+
<
− ; 4)
(
)
;
8 3 2
0
x
x

2.
Для каждого значения параметра a решите неравенство
a x
− 2 1
< .
Самостоятельная работа № 18
Радианная мера угла
1.
Найдите радианную меру угла, равного:
1) 18 ; 2)
240 .
2.
Найдите градусную меру угла, радианная мера которого равна:
1)
π
30
; 2) 1 3
4
π
3.
В какой координатной четверти находится точка еди- ничной окружности, полу ченная при повороте точки
P
0 1 0
( ; ) на угол:
1) 138 ; 2)
π
7
; 3)
−
11 6
π
; 4)
–3?
4.
Найдите все углы, на которые нужно повернуть точку
P
0
(0; 1), чтобы получить точку:
1) P
1 2
2 2
2
;





 ; 2)
P
2 1
2 3
2
− ;





 .

13
Вариант 1
5.
Найдите координаты точек единичной окружности, по- лученных при повороте точки P
0
(1; 0) на углы:
1)
π
π
3 2
+
k
, k Z; 2)
π
k
4
, k Z.
Самостоятельная работа № 19
Тригонометрические функции
числового аргумента
1.
Найдите значение выражения:
1) 2 5
4
cos 0
sin 90
tg 180
°
°
°
+
−
;
2) ctg cos sin
π
π
π
2 2
3 2
3 4
+
−
;
3) sin cos ctg tg tg 2
π
π
π
π
π
4 3
2 6
3
+
(
)
−
2.
Найдите наибольшее и наименьшее значения выраже- ния:
1) 1 3
+ sin α; 3) cos (
sin )
cos
α
α
α
1 −
2) cos
2 5
α − ;
3.
Найдите область значений выражения:
1) tg
6 4
x
; 3)
1 4
1
sin x
2)
1 4
cos 5x
;
Самостоятельная работа № 20
Знаки значений тригонометрических функций.
Чётность и нечётность тригонометрических функций
1.
Найдите значение выражения
2tg tg
2
−






−





 +
−





 +
−






π
π
π
π
4 3
2 6
3 10 2
sin cos