Об уравнениях Лагранжа. А. С. Сумбатов Рассматривается вопрос о возможности записи уравнений движения неголономных сис тем в форме уравнений Лагранжа второго рода в обобщенных координатах для минималь ного числа параметров. Обсуждаются с
 Скачать 331.81 Kb.
|
|
Нелинейная динамика. 2013. Т. 9. № 1. С. 39–50. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru УДК: 531.314.2:531.384 MSC 2010: 70H03, 70F25 Об уравнениях Лагранжа в неголономной механикe А. С. Сумбатов Рассматривается вопрос о возможности записи уравнений движения неголономных сис- тем в форме уравнений Лагранжа второго рода в обобщенных координатах для минималь- ного числа параметров. Обсуждаются соответствующие результатыЖ. Адамара и А. Беге- на. Доказывается, что в классической задаче с тремя степенями свободы о качении твер- дого тела по неподвижной плоскости без скольжения не существует случаев, когда все три уравнения Чаплыгина вырождаются в уравнения Лагранжа. Для той же задачи с двумя степенями свободы установлен самый общий вид неголономных линейных связей, когда уравнения Лагранжа второго рода оказываются применимыми для минимального числа параметров. Приведеныпримеры. Ключевые слова: неголономные связи, уравнения Лагранжа первого и второго рода, множители связей, качение твердого тела без скольжения, возможные перемещения системы Встречаются иногда незаслуженно забытые имена ученых, заслуги и достижения кото- рых оценены неполно и даже ошибочно. Это происходит, как правило, по недосмотру или неаккуратности современников и историков науки, однако порой, как в случае с Робертом Гуком, и умышленно [1]. Восстановление исторической справедливости не только важно в моральном аспекте, но и позволяет лучше и точнее понять внутреннюю логику развития самой науки. 1. История задачи. В механике неинтегрируемые связи появились в задаче о ка- тании твердого тела по поверхности без скольжения. По-видимому, впервые непригодность уравнений Лагранжа второго рода для описания движения таких систем («неголономных» Получено 6 ноября 2012 года После доработки 15 января 2013 года Сумбатов Александр Сумбатович sumbatow@ccas.ru Вычислительный центр им. А. А. Дородницына, РАН 119991, Россия, г. Москва, ул. Вавилова, д. 40 НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА. 2013. T. 9. № 1. С. 39–50 40 А. С. Сумбатов по терминологии Герца) была обнаружена Феррерсом 1 в работе 1872 года [2] 2 . Он эту осо- бенность открыл существенно раньше остальных ученых: только через 20 лет к этому же выводу пришел Фиркандт [3], и почти через четверть века после выхода работы Феррерса появились уравнения Чаплыгина [5] (хотя все необходимое для их получения, в том числе и само понятие «чаплыгинские системы», в работе Феррерса уже имелось). В первом издании трактата Аппеля по механике [6] были приведены уравнения дви- жения тела вращения по плоскости без проскальзывания в форме уравнений Лагранжа второго рода. Эта ошибка повторилась в работе Линделёфа [4], на которую обратил вни- мание Чаплыгин [5]. Аппель, по-видимому, быстро обнаружил ошибку, и уже во втором издании его трактата она была исправлена. Более того, Аппель опубликовал обстоятель- ный мемуар на тему о качении тела по поверхности [7] и впоследствии много внимания уделил формам уравнений движения неголономных систем. Начиная со 2-го издания своего трактата по механике (1900–1904 гг.), а затем в 3-ем издании (1909–1911 гг.) и в последнем 4-ом прижизненном авторском издании второго то- ма (1923 г.) Аппель ссылался на работу [2], но неполно: по Аппелю, в цитируемой рабо- те обнаружено, что уравнение качения тяжелого обруча по горизонтальной плоскости без скольжения, соответствующее обобщенной координате угла наклона плоскости обруча к го- ризонту, имеет вид уравнения Лагранжа второго рода. Больше ни слова. На самом же деле это была только иллюстрация Феррерсом основного результата его работы, в частности, утверждения, что уравнения Лагранжа, если и появляются в неголономных системах, то как исключение, а не правило. Безусловно, Аппель должен был знать работу Феррерса. Во-первых, краткое описа- ние работы[2] имеется в подстрочном примечании в монографии Рауса [8] 3 , в котором Раус мягко упрекает Аппеля, что тот в § 462 своего трактата ограничился только ссыл- ками на зарубежные работы, посвященные данной теме, не раньше 1888 года. Во-вторых, во французском расширенном издании Энциклопедии Клейна – Мюллера по математиче- ским наукам [9] четвертый том «Механика» редактировал Аппель. Раздел IV-1 этого тома был написан Фоссом и дополнен братьями Эженом и Франсуа Коссера. В нем на с. 140–141 дана точная ссылка на работу [2] (она стоит первой по хронологии в списке работ раз- ных авторов в связи с утверждением в тексте, что лагранжева форма уравнений движения некорректна для неголономных систем). Не повезло работе Феррерса [2] и в русскоязычной литературе. Неадекватно описана эта работа в некоторых исторических обзорах по механике. Так, в книге [10] на с. 143 утвер- ждается, что в работе [2] решена задача о чистом качении однородного круглого тяжелого диска по горизонтальной плоскости. На самом деле данная задача была решена значительно позже Аппелем и Кортевегом. В книге [11] на с. 107–108 без ссылки на работу [2] утвержда- ется, что Феррерс вывел уравнения Лагранжа первого рода с множителями связей и «этот вывод Феррерса почти дословно повторяет вывод Лагранжа». В указанной работе Фер- 1 Шотландец по матери Норман Маклеод Феррерс (1829–1903) в русскоязычной литературе встре- чается, кроме того, под фамилиями «Ферре» «Феррер» и «Ферер». Например, в 1-ом томе русского перевода монографии Рауса [8] он «Феррерс», а во 2-ом «Феррер». 2 В электронном виде работу [2] можно найти в Интернете по адресу http://dfg-viewer.de/v2/?set[image]=13&set[zoom]=default&set[debug]=0 &set[double]=0&set[mets]= http%3A%2F%2Fwww.zvdd.de%2Fdms%2Fmetsresolver% 2F%3FPPN%3DPPN600494829_0012 (в брау- зерной строке вводить символыподряд без пробелов). 3 Раус Э. Дж. Динамика систем твердых тел: В 2-х тт. Москва: Наука, 1983. 464 с.; 544 с. См. т. I, с. 369. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА. 2013. T. 9. № 1. С. 39–50 Об уравнениях Лагранжа в неголономной механикe 41 рерса уравнений с множителями нет вообще. Кстати, в ряде современных работ уравнения Лагранжа первого рода совершенно необоснованно называются уравнениями Феррерса. Но вернемся к задаче о возможностях появления уравнений Лагранжа второго рода в неголономной механике. Ж. Адамар, ученик Аппеля, посвятил изучению этого вопроса обширную работу [12], которую Аппель включил в качестве приложения в свой мемуар [7]. Адамар изучает вопрос о том, можно ли при составлении уравнений движения си- стемы с линейными дифференциальными связями принять во внимание эти связи еще до дифференцирований кинетической энергии T системы(то есть исключив часть обобщенных скоростей с помощью уравнений связей в выражении энергии T , которая приводится в ре- зультате такого исключения к минимальному числу параметров). В случае, когда уравнения связей представляют полные производные по времени конечных уравнений, связывающих обобщенные координаты системы, так можно поступать всегда. Но в случае неголономных связей это не так (приведена ссылка на работу [3]). Решающее утверждение, на которое опирается Адамар, состоит в следующем. Пусть A k = m h=1 a k h ˙ q h − ˙q k = 0 (k = m + 1, . . . , m + p) — уравнения наложенных на систему идеальных связей, m h=1 a k h δq h − δq k = 0 (k = m + 1, . . . , m + p) — уравнения возможных перемещений системы, m+p i=1 d dt ∂L ∂ ˙ q i − ∂L ∂q i δq i = 0 (L = T + U ) (1) — основное уравнение динамики. Адамар утверждает, что если описанное выше приведение к минимальному числу параметров справедливо, то подстановка T = m+p k=m+1 λ k A k , U = 0 в уравнение (1) должна приводить к тождественному равенству нулю. Здесь λ k — любы е функции от q и ˙ q, линейные по ˙ q, поскольку T — квадратичная форма последних. Данное утверждение Адамар не доказывает, а на с. 56 [7] даже называет его гипотезой. Рассмотрим подробнее самый простой случай m = 2, p = 2, с которого начинает Ада- мар. Уравнения связей имеют вид A 3 = a 3 1 ˙ q 1 + a 3 2 ˙ q 2 − ˙q 3 = 0, A 4 = a 4 1 ˙ q 1 + a 4 2 ˙ q 2 − ˙q 4 = 0. (2) Подставив λ 3 A 3 + λ 4 A 4 вместо T и U = 0 в уравнение (1), в котором величины δq i пред- ставляют возможные перемещения системы, убеждаемся, что производные dλ 3 /dt и dλ 4 /dt пропадают, и с учетом (2) получаются два соотношения ˙ q 2 (λ 3 H 3 + λ 4 H 4 ) = 0, ˙ q 1 (λ 3 H 3 + λ 4 H 4 ) = 0, НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА. 2013. T. 9. № 1. С. 39–50 42 А. С. Сумбатов откуда следует, что необходимо λ 3 H 3 + λ 4 H 4 = 0, (3) где H 3 = ∂a 3 1 ∂q 2 − ∂a 3 2 ∂q 1 + a 3 2 ∂a 3 1 ∂q 3 − a 3 1 ∂a 3 2 ∂q 3 + a 4 2 ∂a 3 1 ∂q 4 − a 4 1 ∂a 3 2 ∂q 4 , H 4 = ∂a 4 1 ∂q 2 − ∂a 4 2 ∂q 1 + a 3 2 ∂a 4 1 ∂q 3 − a 3 1 ∂a 4 2 ∂q 3 + a 4 2 ∂a 4 1 ∂q 4 − a 4 1 ∂a 4 2 ∂q 4 . Условия H 3 = 0, H 4 = 0 означают интегрируемость уравнений (2) связей. В этом месте Адамар пишет (переводим дословно [7, с. 52]): «Когда уравнения (2) об- разуют интегрируемую систему, и только в этом случае, можно принять во внимание эти уравнения сразу при вычислении T ». Приведенное заключение неверно. Рассмотрим пример неголономной системыс двумя степенями свободы. Однородный круглый диск катается по инерции без скольжения по горизонтальной плоскости, оставаясь постоянно в вертикальной плоскости (такую связь нетрудно реализовать механически). Примем, что масса и радиус диска равныединице. Пусть x, y — координатыцентра диска, ρ — радиус инерции диска относительно его диа- метра, ϕ, ψ — углыповорота относительно, соответственно, горизонтальной оси симметрии и вертикального диаметра диска. Кинетическая энергия диска может быть представлена в виде T = 1 2 ˙ x 2 + ˙ y 2 + ρ 2 ˙ ψ 2 + ρ 2 ˙ ϕ 2 . Уравнения связей имеют вид ˙ x = ˙ ϕ cos ψ, ˙ y = ˙ ϕ sin ψ. (4) Возможные перемещения определяются равенствами δx = δϕ cos ψ, δy = δϕ sin ψ. Из принципа Даламбера – Лагранжа (1) получаем, что ¨ x cos ψ + ¨ y sin ψ + 2ρ 2 ¨ ϕ = 0, ρ 2 ¨ ψ = 0, откуда с учетом (4) следуют уравнения ¨ ϕ = 0, ¨ ψ = 0. (5) Однако если учесть уравнения связей (4) с самого начала и подставить ˙ x, ˙ y в выражение для кинетической энергии, то получим T ∗ = 1 2 ρ 2 ˙ ψ 2 + 1 2 + ρ 2 ˙ ϕ 2 . Составленные для этой функции уравнения Лагранжа второго рода приводят к корректным уравнениям (5), при этом уравнения (4) связей неинтегрируемые. Таким образом, приведен- ное выше заключение в части «и только в этом случае» неверно, а для голономных связей оно очевидно. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА. 2013. T. 9. № 1. С. 39–50 Об уравнениях Лагранжа в неголономной механикe 43 В оставшейся части работыАдамар вы водит уравнения типа (3) для случая линей- ных связей общего вида, не разрешенных относительно каких-либо обобщенных скоростей, и конкретизирует их для следующих задач механики: качение без скольжения одного тела по поверхности другого, качение тела без скольжения и верчения. Во второй задаче усло- вия типа (3) приводят к заключению, что обе соприкасающиеся поверхности тел должны иметь одинаковую и постоянную кривизну, а три уравнения связей при этом становятся интегрируемыми. Рассмотрены также задачи об обкатывании материальной плоскостью и материальной прямой произвольной неподвижной поверхности. Исследования Адамара продолжил А. Беген, основоположник теории сервосистем [13]. В работе [14], рассматривая задачу о качении без скольжения одного тела по другому, он указывает некоторые случаи, когда применимы уравнения Лагранжа второго рода. Во-первых, это все случаи, когда траектории движения точки контакта по поверхнос- тям тел известнызаранее, до проведения каких-либо динамических исследований. Напри- мер, если имеются соотношения u = ϕ(v), u 1 = ϕ 1 (v 1 ), θ = ψ(u, u 1 ), s(u) − s 1 (u 1 ) = C. Здесь (u, v) и (u 1 , v 1 ) — гауссовыкоординатыточки контакта I на поверхности S первого тела и, соответственно, S 1 второго, θ — угол между линиями u = const и u 1 = const в точке I, s и s 1 — длиныдуг траектории точки I на поверхностях S и, соответственно, S 1 , C — постоянная. Пять параметров u, v, u 1 , v 1 , θ выражаются через один, и уравнения связей становятся интегрируемыми. Во-вторых, уравнения Лагранжа применимы, когда одно тело катается по другому, неподвижному, касаясь его двумя точками. Тогда траектории этих точек получаются из чисто кинематических соображений. Беген привел любопытный пример: шар катается по плоскости, касаясь одновременно поверхности кругового цилиндра, образующие которого ортогональныплоскости. Если цилиндр неподвижен, уравнения Лагранжа без множителей применимы. Но если цилиндр вращается вокруг своей оси по заданному закону, траекто- рии точек контакта на плоскости и цилиндрической поверхности остаются по-прежнему априори известными, а вот траектории этих точек на сферической поверхности без анализа динамики системыопределить нельзя, и воспользоваться уравнениями Лагранжа второго рода невозможно. В-третьих, когда тело S ограничено острым краем (ребром) и заранее известны соот- ношения u 1 = ϕ 1 (v 1 ), θ = ψ(u, u 1 ), s(u) − s 1 (u 1 ) = C, где u — параметр, который фиксирует положение точки касания I на ребре, u 1 и v 1 — кри- волинейные координаты точки I на поверхности S 1 , θ — угол между касательной к ребру и линией u 1 = const, α — угол между плоскостями, касательными к ребру и поверхности S 1 в точке I. С помощью указанных соотношений пять параметров выражаются через два, на- пример, через u и α, уравнения связей становятся интегрируемыми, и уравнения Лагранжа второго рода оказываются применимыми к минимальному числу параметров. Беген отмечает, что если поверхности тел S и S 1 можно параметризовать так, что в каждый момент времени выполняются условия u = u 1 , v = v 1 , θ = 0, то первые два уравнения гарантируют отсутствие взаимного проскальзывания тел, а тре- тье — отсутствие верчения. Все три уравнения интегрируемые, и уравнения Лагранжа НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА. 2013. T. 9. № 1. С. 39–50 44 А. С. Сумбатов второго рода применимык минимальному числу параметров. Примером такой ситуации является качение одного тела вращения по точно такому же другому, когда в начальный момент времени тела сопоставленытак, что симметричныотносительно общей касательной плоскости, и эта симметрия сохраняется в процессе движения. Отметим, что данный случай означает, что поверхности S и S 1 являются наложимыми одна на другую, первая квадратичная форма поверхностей одна и та же. Беген доказал, что только в указанных двух случаях (заранее известны траектории точки касания на поверхностях или поверхности наложимыдруг на друга) уравнения, вы- ражающие отсутствие взаимного скольжения тел, являются вполне интегрируемыми. Обращает на себя внимание тот факт, что более или менее содержательные утвержде- ния относительно применимости уравнений Лагранжа Адамару и Бегену удалось сделать, когда число степеней свободымеханической системыменьше трех (наложение дополни- тельной связи об отсутствии верчения в точке соприкосновения тел, априорное задание траектории точки контакта тел). Далее обнаруживается, что это неслучайно. 2. Задача о качении твердого тела по плоскости без скольжения. Пусть твер- дое тело катается без скольжения по плоскости, касаясь ее в каждое мгновение не более чем в одной точке. Кинетическая энергия тела имеет вид T = m 2 ˙ x 2 + ˙ y 2 + ˙ z 2 + 1 2 ˙ q T I(q) ˙ q, (6) где m — масса тела, (x, y, z) — декартовыкоординатыцентра масс, q = (q 1 , q 2 , q 3 ) T — вектор обобщенных координат тела (обычно это углы), описывающих вращение тела вокруг центра масс, I(q) — центральный тензор инерции. Уравнения связей, которые выражают равенство нулю скорости той точки тела, которой оно касается опорной плоскости в рассматриваемое мгновение, имеют такую структуру [15]: ˙ x = a 1 ˙ q 1 + a 2 ˙ q 2 + a 3 ˙ q 3 , ˙ y = b 1 ˙ q 1 + b 2 ˙ q 2 + b 3 ˙ q 3 , z = f (q 1 , q 2 , q 3 ). (7) Здесь коэффициенты a i , b i (i = 1, 2, 3) суть функции только переменных q 1 , q 2 , q 3 , то есть система чаплыгинская. Неинтегрируемость уравнений связей (7) означает, что среди шести различных кососимметрических символов γ a ij = ∂a i ∂q j − ∂a j ∂q i , γ b ij = ∂b i ∂q j − ∂b j ∂q i , (i, j) = (1, 2), (2, 3), (3, 1), (8) есть ненулевые. Обозначим через T ∗ результат подстановки в функцию T выражений ˙ x, ˙ y, ˙ z из уравне- ний связей (7). В уравнениях движения тела в форме Чаплыгина (Q i — обобщенные силы) d dt ∂T ∗ ∂ ˙ q i − ∂T ∗ ∂q i − Q i = mR i (i = 1, 2, 3) (9) члены R i имеют вид [16] R i = ˙ xL i ( ˙ x) + ˙ yL i ( ˙ y) + ˙ zL i ( ˙ z), где оператор L i = d dt ∂ ∂ ˙ q i − ∂ ∂q i . НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА. 2013. T. 9. № 1. С. 39–50 Об уравнениях Лагранжа в неголономной механикe 45 При помощи подстановки (7) в выражения для R i получим три однородные квадратич- ные относительно обобщенных скоростей ˙ q 1 , ˙ q 2 , ˙ q 3 формы. В случае, если они тождественно по скоростям обращаются в нуль, уравнения (9) становятся уравнениями Лагранжа 2-го рода d dt ∂T ∗ ∂ ˙ q i − ∂T ∗ ∂q i = Q i (i = 1, 2, 3) (10) число которых равно числу степеней свободы рассматриваемой механической системы. Приравняв нулю коэффициентыформ R 1 , R 2 , R 3 , получим 9 однородных алгебраиче- ских уравнений, линейных относительно шести величин (8). Матрица этой системы имеет вид A = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a 1 0 0 b 1 0 0 0 0 a 1 0 0 b 1 −a 3 0 a 2 −b 3 0 b 2 0 0 a 3 0 0 b 3 a 2 0 0 b 2 0 0 −a 3 a 1 0 −b 3 b 1 0 0 a 2 0 0 b 2 0 0 a 3 0 0 b 3 0 0 −a 1 a 2 0 −b 1 b 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . (11) Последняя строка этой матрицыполучается вы читанием шестой строки из третьей, поэтому ее в A можно отбросить. Полученную матрицу 8 × 6 обозначим через B. Для совместности упомянутой системы линейных уравнений в случае ненулевых зна- чений хотя бынекоторых из величин (8) необходимо, чтобы rank B < 6. (12) Оказывается, проверка одного этого условия дает ответ на вопрос, возможно ли в рассмат- риваемой неголономной системе записать уравнения движения в виде (10). Будем обозначать миноры6-го порядка, составленные из строк матрицыB, буквой M с номерами выбранных строк в скобках. Так, M (1, 5, 7, 8, 2, 4) = (a 1 b 2 − a 2 b 1 )(a 2 b 3 − a 3 b 2 )(a 1 b 3 − a 3 b 1 ). Следовательно, по условию (12) и в силу произвола нумерации компонент вектора q имеем a 1 b 2 − a 2 b 1 = 0. (13) Если a 1 = a 2 = b 1 = b 2 = 0, то первые два уравнения связей (7) дают b 3 ˙ x − a 3 ˙ y = 0, a 3 b 3 = 0. (14) Если (a 1 ) 2 + (a 2 ) 2 = 0, то из (13) следует, что b 1 = λ(q)a 1 , b 2 = λ(q)a 2 . (15) НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА. 2013. T. 9. № 1. С. 39–50 46 А. С. Сумбатов После подстановки (15) в матрицу B находим, что M (1, 2, 3, 4, 6, 8) = −(a 1 ) 3 [b 3 − λ(q)a 3 ] 3 и M (3, 4, 5, 6, 7, 8) = (a 2 ) 3 [b 3 − λ(q)a 3 ] 3 . Следовательно, b 3 = λ(q)a 3 , и с учетом (15) получаем из (7) необходимое условие λ(q) ˙ x − ˙y = 0. (16) Соотношение (14) содержится в (16). Важно подчеркнуть, что равенство (16) должно выполняться постоянно во время движения, независимо от значений компонент угловой скорости тела, при этом функция λ(q) определяется только положением тела относительно его центра масс. Пусть r = (x, y, z) — координатырадиус-вектора, проведенного из точки контакта тела с опорной плоскостью в центр масс, ω — мгновенная угловая скорость тела. Так как ˙ x = ω y z − ω z y, ˙ y = ω z x − ω x z, равенство (16) запишется в виде zω x + λ(q)zω y − [x + λ(q)y]ω z = 0, откуда вытекает, что во время движения должны тождественно выполняться условия x + λ(q)y = 0, (17) z = 0. (18) Первое ограничение означает, что тело имеет острый край (ребро), точками которого при движении касается опорной плоскости. А вот второму ограничению (18) удовлетворить нельзя: оно означает, что постоянно ˙z = 0, и, следовательно, поскольку случай сферы f (q 1 , q 2 , q 3 ) ≡ const (см. (7)) при одновременном выполнении условия (17) невозможен, число степеней свободы должно быть на единицу меньше. Это противоречие доказывает, что в классической задаче с тремя степенями свободы о качении твердого тела по непо- движной плоскости без скольжения не существует случаев, когда все три уравнения Чаплыгина (9) становятся уравнениями Лагранжа (10). Заметим, что одно из трех уравнений Чаплыгина может не содержать членов него- лономности и, следовательно, принять вид уравнения Лагранжа, как это имеет место для уравнения, соответствующего углу нутации тяжелого круглого диска, который катается по плоскости без скольжения [2]. Посмотрим, как обстоят дела с уравнениями Чаплыгина в системах с двумя степенями свободы. Также будем рассматривать чаплыгинскую неголономную систему, представля- ющую собой тело, которое катается без скольжения по плоскости, но высота его центра масс над опорной плоскостью не меняется (например, наклон тела фиксируется подвижной НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА. 2013. T. 9. № 1. С. 39–50 Об уравнениях Лагранжа в неголономной механикe 47 подставкой с двумя ножками, которые скользят по плоскости без трения, а третья точка опоры— это точка соприкосновения тела с плоскостью). Уравнения связей такой системыимеют вид ˙ x = a 1 (q 1 , q 2 ) ˙ q 1 + a 2 (q 1 , q 2 ) ˙ q 2 , ˙ y = b 1 (q 1 , q 2 ) ˙ q 1 + b 2 (q 1 , q 2 ) ˙ q 2 . (19) Условия тождественного равенства нулю членов неголономности mR 1 , mR 2 в уравне- ниях Чаплыгина имеют вид [17] a 1 ∂a 1 ∂q 2 − ∂a 2 ∂q 1 + b 1 ∂b 1 ∂q 2 − ∂b 2 ∂q 1 = 0, (20) a 2 ∂a 1 ∂q 2 − ∂a 2 ∂q 1 + b 2 ∂b 1 ∂q 2 − ∂b 2 ∂q 1 = 0. (21) В локальных координатах дифференциальные 1-формы с двумя переменными можно представить в виде a 1 dq 1 + a 2 dq 2 = G(q 1 , q 2 ) du(q 1 , q 2 ), G = 0, b 1 dq 1 + b 2 dq 2 = H(q 1 , q 2 ) dv(q 1 , q 2 ), H = 0. (22) Возможныдва случая: якобиан J (u, v) = ∂u ∂q 1 ∂u ∂q 2 ∂v ∂q 1 ∂v ∂q 2 локально не равен или равен нулю. В первом случае вместо q 1 , q 2 можно взять координаты u, v, и уравнения связей (19) примут вид ˙ x = g(u, v) ˙ u, ˙ y = h(u, v) ˙v. (23) При этом условия, соответствующие (20) и (21), будут такими: g ∂g ∂v = 0, −h∂h ∂u = 0; то есть связи (23) голономные. Во втором случае уравнения связей (19) запишем в виде ˙ x = ˙ u l(u, w), ˙ y = ˙u p(u, w), (24) где w(q 1 , q 2 ) — любая функция, для которой J (u, w) = 0. Условие, соответствующее (21), удовлетворяется автоматически, а условие (20) l ∂l ∂w + p ∂p ∂w = 0 сводится к виду l 2 + p 2 = F (u). В общем случае связи (24) остаются неголономными. Именно этот случай реализуется выше, в примере п. 1. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА. 2013. T. 9. № 1. С. 39–50 48 А. С. Сумбатов 3. Несколько замечаний. Выше обсуждались условия, при которых уравнения движения неголономной системыпринимают вид уравнений Лагранжа второгого рода для минимального числа параметров, то есть когда число уравнений Лагранжа равно числу степеней свободысистемы. Возможен случай, когда уравнения Лагранжа второго рода справедливыдля всех коор- динат («зависимых» и «независимых») неголономной системы. Следуя Воронцу [18], в ка- честве связей можно рассматривать общие интегралыуравнений движения голономной системы с фиксированными (обычно нулевыми) значениями постоянных интегрирования. Эти связи являются идеальными, поскольку их реакции равны нулю. Уравнения Лагранжа первого рода с множителями связей становятся обычными уравнениями Лагранжа второго рода, потому что множители связей равнынулю. Пример такой неголономной системыдает задача о катании по инерции однородного шара по горизонтальной плоскости z = 0 без скольжения. Кинетическая энергия шара имеет вид (6), а уравнения неголономных связей, выражающих равенство нулю скорости точки шара, которой он касается опорной плоскости, ˙ x − ω y a = 0, ˙ y + ω x a = 0 (a — радиус шара) являются общими интегралами дифференциальных уравнений L i (T ) = 0, i = 1 ÷ 5. По- этому множители связей μ 1 ≡ 0, μ 2 ≡ 0, и уравнения Лагранжа второго рода с функцией Лагранжа T справедливыдля всех обобщенных координат системыx, y, q 1 , q 2 , q 3 В силу структуры(6) кинетической энергии последние три из этих уравнений прини- мают вид [16] d dt ∂Θ ∂ ˙ q i − ∂Θ ∂q i = 0, где Θ = 1 2 ˙ q T I(q) ˙ q (i = 1, 2, 3), хотя при Θ = T ∗ эти уравнения не имеют места. И второе. Мырассмотрели задачу о качении одного твердого тела по плоскости. Можно рассматривать составные системы тел с неголономными связями. В таких системах иногда тоже появляются уравнения Лагранжа второго рода, но редко. Пример: два одинаковых колеса насаженына общую ось, вокруг которой они могут свободно поворачиваться, и ка- таются без скольжения по плоскости [19–21]. Кинетическая энергия системыможет быть представлена в виде T = T 1 + T 2 + T 3 , T 1 = M 2 (v 2 + v 2 ⊥ + 2 3 s 2 ˙ ψ 2 ), T 2 = m 2 v 2 + (v ⊥ + s ˙ ψ) 2 + ρ 2 2 ˙ ψ 2 + ρ 2 ˙ ϕ 1 2 , T 3 = m 2 v 2 + (v ⊥ − s ˙ψ) 2 + ρ 2 2 ˙ ψ 2 + ρ 2 ˙ ϕ 2 2 , где v ⊥ = − ˙x sin ψ + ˙y cos ψ, v = ˙ x cos ψ + ˙ y sin ψ. Здесь m — масса колеса, M — масса оси, 2s — длина оси, ρ — радиус инерции коле- са. Обобщенные координаты: (x, y) — плоские координатысерединыоси, ϕ 1 , ϕ 2 — углы поворота колес, ψ — угол между положительной полуосью Ox и осью колесной пары. Уравнения связей имеют вид ˙ x cos ψ + ˙ y sin ψ = 0, v ⊥ + s ˙ ψ + r ˙ ϕ 1 = 0, v ⊥ − s ˙ψ + r ˙ ϕ 2 = 0 НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА. 2013. T. 9. № 1. С. 39–50 Об уравнениях Лагранжа в неголономной механикe 49 (r — геометрический радиус колес). Из двух последних уравнений получаем, что 2s ˙ ψ + r( ˙ ϕ 1 − ˙ ϕ 2 ) = 0, то есть ψ = A + B(ϕ 1 − ϕ 2 ) (A, B — фиксированные постоянные). Система имеет две степени свободы, и ее уравнения связей можно переписать так: ˙ x = 1 2 r ( ˙ ϕ 1 + ˙ ϕ 2 ) sin ψ, ˙ y = −1 2 r ( ˙ ϕ 1 + ˙ ϕ 2 ) cos ψ. Дополнительные члены в обоих уравнениях Чаплыгина, которые возникают вследствие неинтегрируемости связей, тождественно равнынулю. Достаточно это проверить для одно- го уравнения: ∂T ∂ ˙ x L 1 ( ˙ x) + ∂T ∂ ˙ y L 1 ( ˙ y) = (M + 2m)v ⊥ r [( − sin ψ)(−B ˙ϕ 2 cos ψ) + cos ψ( −B ˙ϕ 2 sin ψ)] ≡ 0. (25) Итак, случаи появления уравнений Лагранжа второго рода в неголономных системах редки и являются исключительными. Нашей целью было подчеркнуть, что, тем не менее, условие интегрируемости уравнений связей не является необходимым для того, чтобы уравнения движения неголономной системы в форме Чаплыгина принимали вид уравнений Лагранжа. Список литературы [1] Арнольд В. И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук: Первые шаги математического анализа и тео- рии катастроф, от эвольвент до квазикристаллов. Москва: Наука, 1989. 96 с. [2] Ferrers N. M. Extension of Lagrange’s equations // Q. J. Pure Appl. Math., № 45 4 (March, 1872), pp. 1–5. [3] Vierkandt A. ¨ Uber gleitende und rollende Bewegung // Monatsh. Math. Phys., 1892, vol. 3, pp. 31– 54, 97–134. [4] Lindel¨ of E. Sur les mouvement d’un corps de revolution roulant sur un plan horizontal // Acta Soc. Sci. Fenn., 1895, vol. 20, no. 10, pp. 3–18. [5] Чаплыгин С. А. О движении тяжелого тела вращения на горизонтальной плоскости // Иссле- дования по динамике неголономных систем / С. А. Чаплыгин. Москва–Ленинград: Гостехиздат, 1949. С. 9–27. ( См. также: Чаплыгин С. А. Собр. соч.: Т. 1. Mосква–Ленинград: ОГИЗ, 1948. С. 57–75.) [6] Appell P. Trait´ e de M´ ecanique rationelle: T. 2: Dinamique des syst` emes; M´ ecanique analytique. Paris: Gauthier-Villars, 1896. 538 pp. [7] Appell P. Les mouvements de roulement en dynamique (avec deux notes de M. Hadamard). (Scientia, S´ erie physico-math´ ematique, vol. 4.) Paris: Carr´ e et Naud, 1899. 70 pp. [8] Routh E. J. Dynamics of a system of rigid bodies: In 2 vols. 6th ed. London: Macmillan, 1905. [9] Encyclop´ edie des Sciences Math´ ematiques Pures et Appliqu´ ees: T. 4. M´ ecanique. Fasc. 4-1. Principes de la m´ ecanique rationelle / A. Voss, E. Cosserat, F. Cosserat. Paris–Leipzig: Gauthier-Villars, Teubner, 1915. P. 1–187. 4 Указанный журнал издавался отдельными тетрадями раз в квартал. Они позже по несколько штук сшивались в один том, который печатался заново. Вот почему в ссылках на указанную работу разнятся годы: том 12, в который вошла тетрадь № 45, вышел в 1873 году. НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА. 2013. T. 9. № 1. С. 39–50 50 А. С. Сумбатов [10] Григорьян А. Т., Фрадлин Б. Н. История механики твердого тела. Москва: Наука, 1982. 293 с. [11] Меркин Д. Р. Краткая история классической механики Галилея – Ньютона. Москва: Физматлит, 1994. 160 с. [12] Hadamard J. Sur les mouvements de roulement // M´ em. Soc. sci. phys. nat. Bordeaux. 4 e s´ er., 1895, vol. 5, pp. 397–417. [13] Беген А. Теория гироскопических компасов Аншютца и Сперри и общая теория систем с сер- восвязями. Москва: Наука, 1967. 171 с. [B´ eghin H. ´ Etude th´ eorique des compas gyrostatiques Ansch¨ utz et Sperri: Th´ ese. Paris: Facult´ e des Sciences de Paris, 1922. 132 pp.] [14] B´ eghin H. Sur les conditions d’application des ´ equations de Lagrange ` a un syst` eme non holonome // Bull. Soc. Math. France, 1929, vol. 57, pp. 118–124. [15] Аппель П. Теоретическая механика: Т. 2. Москва: Физматгиз, 1960. 487 с. [16] Новосёлов В. С. Вариационные методыв механике. Ленинград: ЛГУ, 1966. 72 с. [17] Сумбатов А. С. О принципе Гамильтона для неголономных систем // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем. Механ., 1970, № 1, с. 98–101. [18] Воронец П. В. Преобразование уравнений движения с помощью линейных интегралов движе- ния (с приложением к задаче об n телах) // Изв. Киевск. ун-та, 1907, т. 47, № 1, с. IV.1–IV.82, № 2, с. IV.83–IV.180. [19] Синг Дж. Л. Классическая динамика. Москва: Физматгиз, 1963. 448 с. [Synge J. L. Classical dynamics // Handbuch der Physik: Vol. III/1 / S. Fl¨ ugge. Berlin: Springer, 1960. P. 1–225.] [20] Kane T. R. Dynamics of nonholonomic systems // J. Appl. Mech., 1961, vol. 28, no. 4, pp. 574–578. [21] Шаги-Султан И. З. Метод кинематических характеристик в аналитической механике. Алма- Ата: Наука, 1966. 85 с. Lagrange’s equations in nonholonomic mechanics Alexandr S. Sumbatov A. A. Dorodnitsyn Computing Center of RAS Vavilov str. 40, Moscow, 119991, Russia sumbatow@ccas.ru The question on possibility of writing the equations of motion of a nonholonomic system in the form of Lagrange’s equations of the 2nd kind for the minimal number of parameters is considered. The corresponding results of J. Hadamard and H. Beghin are discussed. It is proved that in the classic problem on rolling of a rigid body along a fixed plane without sliding the case when all three Chaplygin’s equations become Lagrange’s equations does not exist. For the same problem with two degrees of freedom the most general kind of nonholonomic constraints that provides the correct using Lagrange’s equations without multipliers, is established. Examples are given. MSC 2010: 70H03, 70F25 Keywords: constraints, the Lagrange equations of the 1st and 2nd kind, multipliers of constraints, rolling of a rigid body without sliding, possible displacements of a system Received November 6, 2012, accepted January 15, 2013 Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2013, vol. 9, no. 1, pp. 39–50 (Russian) НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА. 2013. T. 9. № 1. С. 39–50 |