Отнт. А. Ю. Босова Москва бином. Лаборатория знаний 10 класс Базовый уровень Учебник

• Название: А. Ю. Босова Москва бином. Лаборатория знаний 10 класс Базовый уровень Учебник
• Дата: 01.12.2022
• Размер: 6.18 Mb.
• Имя файла: informatika_10kl_bu_bosovall.pdf
• Тип: Учебник; #823257
• страница: 9 из 21

Глава3.представлениеинформациивкомпьютере
немного больше некоторой степени двойки) бывает удобно снова воспользоваться таблицей степеней двойки.
Например: 1096 10
= 1024 + 72 = 1024 + 64 + 8 = 10001001000 Здесь мы представили число в виде суммы степеней двойки сначала взяли максимально возможное значение, не превышающее исходное число (1024 < 1096), и нашли разность между исходным числом и этим значением (72). Затем выписали степень двойки, не превышающую эту разность и т. д. Когда исходное число было представлено в виде суммы, мы построили его двоичное представление, записав 1 в разрядах, соответствующих слагаемым, вошедшим в сумму, и 0 — во всех остальных разрядах.
11.3. перевод целого числа 
 из системы счисления с основанием p 
 в систему счисления  с основанием Каждый из нас может выполнять арифметические операции в привычной десятичной системе счисления. Выполнять такие же операции в других системах счисления человеку непривычно, а поэтому и неудобно.
Для того чтобы перевести целое число из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием q, достаточно) основание новой системы счисления выразить в исходной системе счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, равное нулю) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие алфавиту новой системы счисления) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.
При необходимости перевести целое число из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием q можно попытаться воспользоваться описанным выше алгоритмом. Другой способ состоит в том, чтобы свести всё к хорошо знакомым действиям в десятичной системе счисления перевести исходное число в десятичную систему счисления, после чего полученное десятичное число представить в требуемой системе счисления (рис. 3.3).

перевод чисел из одной системы в другую
§11
рис. 3.3. Схема перевода целого числа из системы счисления с основанием в систему счисления с основанием q через десятичную систему счисления
Пример 5. 1234 5
= 1 · 5 3
+ 2 · 5 2
+ 3 · 5 1
+ 4 · 5 0
= 194 10
= 522 6
11.4. перевод конечной десятичной дроби в систему счисления с основанием Для перевода конечной десятичной дроби в систему счисления с основанием q следует 1) последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведения на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа 2) полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие алфавиту новой системы счисления 3) составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.
Пример 6. Переведём число 0,1875 10
в двоичную систему счи- сления.
Выполним умножение числа 0,1875 10 на 2:
Операция
Результат
0,1875 · 2 =
0,3750 (1)
0,3750 · 2 =
0,7500 (2)
0,7500 · 2 =
1,5000 (3)
0,5000 · 2 =
1,0000 (Здесь жирным выделены цифры, участвующие в двоичном представлении дроби, а в скобках указан номер цифры в дроби 10
= 0,0011 2

114
Глава3.представлениеинформациивкомпьютере
11.5. быстрый перевод чисел 
 в компьютерных системах счисления
Из курса информатики основной школы вызнаете, что в компьютерных науках широко используются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления, благодаря чему их называют компьютерными. Между основаниями этих систем существует очевидная связь 16 = 2 4
, 8 = 2 Способ быстрого перевода основан на том, что каждой цифре числа в системе счисления, основание которой q кратно степени двойки, соответствует число, состоящее из n (q = 2
n
) цифр в двоичной системе счисления. Замена восьмеричных цифр двоичными тройками (триадами) и шестнадцатеричных цифр двоичными четвёрками (тетрадами) позволяет осуществлять быстрый перевод между этими системами счисления, не прибегая к арифметическим операциям.
Восьмеричная
цифра
Двоичная
триада
Шестнадцатеричная
цифра
Двоичная тетрада 000 0
0000 1
001 1
0001 2
010 2
0010 3
011 3
0011 4
100 4
0100 5
101 5
0101 6
110 6
0110 7
111 7
0111 8
1000 9
1001
A
1010
B
1011
C
1100
D
1101
E
1110
F
1111

перевод чисел из одной системы в другую
§11
Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q = 2
n
, достаточно 1) данное двоичное число разбить справа налево на группы по
n цифр в каждой 2) если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то её надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов) рассмотреть каждую группу как разрядное двоичное число и записать её соответствующей цифрой системы счисления с основанием q = Пример 7. Переведём число 11010100111 2 в восьмеричную систему счисления 2
— исходное число выделяем триады дополняем левую группу слева нулём;
3 . 2 . 4 . 7
— выписываем восьмеричные цифры 8
— результат.
Пример 8. Переведём число АС в двоичную систему счи- сления.
16АС
16
— исходное число — заменяем каждую цифру тетрадой убираем слева незначащие нули 2
— результат

116
Глава3.представлениеинформациивкомпьютере
Через двоичную систему счисления можно проводить быстрые переводы из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно (рис. рис 3.4. Схема перевода целых чисел из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную и обратно через двоичную систему счисления
Пример 9. Выполним перевод восьмеричного 67 252 8
числа в шестнадцатеричную систему счисления 8
— исходное число — заменяем каждую цифру триадой — разбиваем двоичную строку справа налево на тетрады — дополняем левую группу слева нулём;
6 . Е . А . А выписываем шестнадцатеричные цифры;
6ЕАА
16
— результат.
Аналогичные алгоритмы быстрого перевода существуют и для дробных чисел. Для того чтобы записать правильную двоичную дробь в системе счисления с основанием q = 2
n
, достаточно 1) двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой 2) если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то её надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов

перевод чисел из одной системы в другую 3) рассмотреть каждую группу как разрядное двоичное число и записать её соответствующей цифрой системы счисления с основанием q = Пример 10. Число 0,101100011 2
заменим равным ему шестнадцатеричным числом 2
— исходное число разбиваем двоичную строку слева направо на тетрады — дополняем правую группу справа нулями;
0,В . 1 . 8
— выписываем шестнадцатеричные цифры;
0,В18 16
— результат.
Попытайтесь самостоятельно сформулировать алгоритм быстрого перевода произвольного двоичного числа в восьмеричную систему счисления. Примените алгоритм к числу 11101001000,11010010 Пример 11. Выясним, сколько значащих нулей в двоичной записи восьмеричного числа 1601 Для ответа на этот вопрос достаточно знать двоичные триады, соответствующие восьмеричным цифрам от 0 дои выполнить быстрый перевод числа 1601 8
в двоичную систему счисления 8
= 001 110 000 001 2
= 1110000001 В двоичной записи 6 значащих нулей, а первые два нуля являются незначащими и не учитываются.
Пример 12. Среди четырёхзначных шестнадцатеричных чисел, двоичная запись которых содержит ровно 7 единиц, найдём:
а) наименьшее число;
б) наибольшее число.
Наименьшее четырёхзначное шестнадцатеричное число — это 1000 16
= 0001 0000 0000 0000 2
и его двоичное представление содержит всего одну единицу. Чтобы получить наименьшее

118
Глава3.представлениеинформациивкомпьютере
число, удовлетворяющее условию задачи, оставшиеся шесть единиц следует разместить в самых младших разрядах. Получим
1 0000 0011 1111 2
= 103F
16
. Чтобы получить наибольшее число, удовлетворяющее условию задачи, оставшиеся шесть единиц следует разместить в самых старших разрядах. Получим
1111 1110 0000 0000 2
= Е А сколько всего таких четырёхзначных шестнадцатеричных чисел, двоичная запись которых содержит ровно 7 единиц?
самое ГЛаВное
Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием q следует 1) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, равное нулю 2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие алфавиту новой системы счисления 3) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.
В компьютерных науках широко используются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления, благодаря чему их называют компьютерными. Между основаниями этих систем существует очевидная связь 16 = 2 4
, 8 = 2 Если основание системы счисления q кратно степени двойки, то любое число в этой системе счисления можно быстро перевести в двоичную систему счисления, выписав последовательно двоичные коды каждой из цифр, образующих исходное число. Замена восьмеричных цифр двоичными тройками (триадами) и шестнадцатеричных цифр двоичными чет- вёрками (тетрадами) позволяет осуществлять быстрый перевод между этими системами счисления, не прибегая к арифметическим операциям.
Вопросы и задания 1. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления:
а) 1025; б) 512; в) 600.

перевод чисел из одной системы в другую 2. Переведите целое число 1147 из десятичной системы счисления в системы счисления:
а) пятеричную;
б) восьмеричную;
в) шестнадцатеричную 3. Переведите двоичные числа в восьмеричную систему счисле- ния:
а) б) 1010,00100101.
4. Переведите двоичные числа в шестнадцатеричную систему счисления:
а) б) 1010,00100101.
5. Переведите числа в двоичную систему счисления:
а) 266 8
; б) 266 16 6. Переведите числа из восьмеричной системы счисления в шестнадцатеричную:
а) 12754; б) 1515.
7. Переведите числа из шестнадцатеричной системы счисления в восьмеричную:
а) 1АЕ2; б) 1С1С.
8. Сравните числа:
а) 125 16
и 111100010101 б) 757 8
ив) Аи. Сколько из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству 221 8
< C < 95 16
? Какие числа. Сколько значащих нулей в двоичной записи:
а) восьмеричного числа б) шестнадцатеричного числа А. Среди четырёхзначных восьмеричных чисел, двоичная запись которых содержит ровно 5 единиц, найдите:
а) наименьшее число;
б) наибольшее число. Среди трёхзначных шестнадцатеричных чисел, двоичная запись которых содержит ровно 7 нулей, найдите:
а) наименьшее число;
б) наибольшее число

120
Глава3.представлениеинформациивкомпьютере
13. Все буквенные слова, составленные из букв ОП, РТ, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Вот начало списка. ООООО
2. ООООП
3. ООООР
4. ООООТ
5. ОООПО
…
Какие слова находятся в этом списке нами м местах. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись десятичного числа
82 оканчивается на 5.
§ арифметические операции в позиционных системах счисления
Арифметические операции в позиционных системах счисления с основанием q выполняются по правилам, аналогичным правилам, действующим в десятичной системе счисления.
В начальной школе для обучения детей счёту используют таблицы сложения и умножения. Подобные таблицы можно составить для любой позиционной системы счисления сложение чисел 
 в системе счисления с основанием Рассмотрите примеры таблиц сложения в троичной (табл. 3.2), восьмеричной (табл. 3.4) и шестнадцатеричной (табл. 3.3) системах счисления

арифметические операции
§12
Таблица сложение в троичной системе счисления 1
2
1
1 2
10
2
2 10 Таблица сложение в шестнадцатеричной системе счисления+ 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0
0 1
2 3
4 5
6 7
8 9
A
B
C
D
E
F
1
1 2
3 4
5 6
7 8
9
A
B
C
D
E
F
10
2
2 3
4 5
6 7
8 9
A
B
C
D
E
F
10 11
3
3 4
5 6
7 8
9
A
B
C
D
E
F
10 11 12
4
4 5
6 7
8 9
A
B
C
D
E
F
10 11 12 13
5
5 6
7 8
9
A
B
C
D
E
F
10 11 12 13 14
6
6 7
8 9
A
B
C
D
E
F 10 11 12 13 14 15
7
7 8
9
A
B
C
D
E
F 10 11 12 13 14 15 16
8
8 9
A
B
C
D
E
F 10 11 12 13 14 15 16 17
9
9
A
B
C
D
E
F 10 11 12 13 14 15 16 17 18
A A
B
C
D
E
F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
B B
C
D
E
F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A
C C
D
E
F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A
1B
D D
E
F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A
1B
1C
E E
F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A
1B
1C 1D
F F 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1A 1B
1C 1D
1E

122
Глава3.представлениеинформациивкомпьютере
Таблица сложение в восьмеричной системе счисления 1
2 3
4 5
6 7
1
1 2
3 4
5 6
7 10
2
2 3
4 5
6 7
10 11
3
3 4
5 6
7 10 11 12
4
4 5
6 7
10 11 12 13
5
5 6
7 10 11 12 13 14
6
6 7
10 11 12 13 14 15
7
7 10 11 12 13 14 15 Чтобы в системе счисления с основанием q получить сумму S двух чисел A и B, надо просуммировать образующие их цифры по разрядам i справа налево если a
i
+ b
i
< q, то s
i
= a
i
+ b
i
, старший (i + й разряд не изменяется если a
i
+ b
i
≥ q, то s
i
= a
i
+ b
i
– q, старший (i + й разряд увеличивается на Примеры 0 0 2 0 2 3
+
1 2 3 4 5 8
+
F E 1 2 A 9 16 1 0 1 0 2 3
2 4 4 3 8
2 3 5 2 8 16 1 1 1 0 1 1 3
1 5 0 1 0 8
1 0 0 4 7 D 1 16
12.2. Вычитание чисел 
 в системе счисления с основанием Чтобы в системе счисления с основанием q получить разность
R двух чисел A и B, надо вычислить разности образующих их цифр по разрядам i справа налево если a
i
≥ b
i
, то r
i
= a
i
– b
i
, старший (i + й разряд не изменяется если a
i
< b
i
, то r
i
= a
i
– b
i
+ q, старший (i + й разряд уменьшается на 1 (выполняется заём в старшем разряде

арифметические операции
§12
Примеры:
–
1 0 0 1 1 0 3
–
1 7 3 4 5 8
–
F E 1 2 A 9 16 1 0 1 0 1 3
2 4 4 3 8
2 3 5 2 8 16 2 0 0 0 2 3
1 4 7 0 2 8
F B D D 8 1 16
12.3. Умножение чисел 
 в системе счисления с основанием Рассмотрите примеры таблиц умножения в троичной табл. 3.5), восьмеричной (табл. 3.6) и шестнадцатеричной табл. 3.7) системах счисления.
Таблица Умножение в троичной системе счисления 0
0
1
0 1
2
2
0 Таблица Умножение в восьмеричной системе счисления 0
0 0
0 0
0 0
1
0 1
2 3
4 5
6 7
2
0 2
4 6
10 12 14 16
3
0 3
6 11 14 17 22 25
4
0 4
10 14 20 24 30 34
5
0 5
12 17 24 31 36 43
6
0 6
14 22 30 36 44 52
7
0 7
16 25 34 43 52 61

124
Глава3.представлениеинформациивкомпьютере
Таблица Умножение в шестнадцатеричной системе счисления 0 1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
1 0 1 2
3 4
5 6
7 8
9
A
B
C
D
E
F
2 0 2 4
6 8
A
C
E
10 12 14 16 18 1A 1C 1E
3 0 3 6
9
C
F
12 15 18 1B 1E
21 24 27 2A 2D
4 0 4 8
C
10 14 18 1C 20 24 28 2C
30 34 38 3C
5 0 5
A
F
14 19 1E
23 28 2D 32 37 3C
41 46 4B
6 0 6
C
12 18 1E
24 2A 30 36 3C
42 48 4E
54 5A
7 0 7
E
15 1C 23 2A 31 38 3F
46 4D 54 5B 62 69
8 0 8 10 18 20 28 30 38 40 48 50 58 60 68 70 78
9 0 9 12 1B 24 2D 36 3F 48 51 5A 63 6C
75 7E 87
A 0 A 14 1E 28 32 3C 46 50 5A 64 6E 78 82 8C 96
B 0 B 16 21 2C 37 42 4D 58 63 6E 79 84 8F 9A A5
C 0 C 18 24 30 3C
48 54 60 6C
78 84 90 9C A8 B4
D 0 D 1A 27 34 41 4E 5B 68 75 82 8F 9C A9 B6 C3
E 0 E 1C 2A 38 46 54 62 70 7E 8C 9A A8 B6 C4 D2
F 0 F 1E 2D 3C 4B 5A 69 78 87 96 A5 B4 C3 D2 Рассмотрим алгоритм умножения многозначного числа на од- нозначное.
Чтобы в системе счисления с основанием q получить произведение многозначного числа A и однозначного числа b, надо вычислить произведения b и цифр, образующих число A по разрядам справа налево если a
i
· b < q, то m
i
= a
i
· b, старший (i + й разряд не изменяется если a
i
· b ≥ q, то m
i
= a
i
· b mod q, старший (i + й разряд увеличивается на a
i
· b div q (где div — операция целочисленного деления

арифметические операции
§12
Примеры:
1
1
1 2 3
6 7 5 1
×
2 0 2 3
×
2 4 6 8
×
A D 9 3 16 2
3 5
8 9
16 1 1 1 1 3
1 4 7 6 8
6 1 A 2 Умножение многозначного числа на многозначное число выполняется столбиком. При этом два множителя располагаются один под другим так, чтобы разряды чисел совпадали (находились водном столбце. Если один из множителей или оба множителя оканчиваются нулями, то числа записываются так, чтобы водном столбце оказались их самые младшие разряды с цифрами, отличными от нуля. Нули переносятся в итоговое произведение, а в поле записи поэтапных произведений не заносятся.
Поэтапные (разрядные) произведения складываются по разрядами под чертой записывается результат.
Примеры:
×É
2 0 2 0 3
É×
2 4 6 0 8
2 1 0 3
1 5 8
+
2 0 2 3
+
1 4 7 6 8
1 1 1 1 3
2 4 6 8
1 2 0 1 2 0 0 3
4 1 5 6 0 8
12.4. деление чисел 
 в системе счисления с основанием Деление нельзя свести к поразрядным операциям над цифрами, составляющими число.
Деление чисел в системе счисления с произвольным основанием выполняется также, как ив десятичной системе счисления.
Пример:
–
2 6 4 0 8
1 7 8
1 7 8
1 4 0 8
–
7 4 8
7 4 8
0

126

1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   21