Актуальные методы решения диофантовых уравнений. Актуальные методы решений диофантовых уравнений. Актуальные методы решений диофантовых уравнений

• Название: Актуальные методы решений диофантовых уравнений
• Анкор: Актуальные методы решения диофантовых уравнений
• Дата: 22.01.2023
• Размер: 69.1 Kb.
• Имя файла: Актуальные методы решений диофантовых уравнений.docx
• Тип: Документы; #898065

Актуальные методы решений диофантовых уравнений

Оглавление

Введение	3
Глава 1. Исторические аспекты решения диофантовых уравнений	4
Глава 2. Диофантовы уравнения и их свойства	5
Глава 3. Актуальные методы решения диофантовых уравнений первой степени	6
Заключение	9
Список литературы	10
Приложения	11

Введение

Впервые о Диофанте и его уравнениях мы услышали еще в 4 классе. Вполне естественно, что в этом возрасте интереса к столь трудным и таким непонятным на тот момент объектам математики я не проявила. Намного позднее с диофантовыми уравнениями мне пришлось столкнуться, принимая участие во всероссийской олимпиаде по математике Эйдос.

Актуальность исследования заключается в том, что подход Диофанта к решению данных уравнений особенно интересен. Способы решения его уравнений довольно просты, несмотря на то, что уравнения могут состоять из двух, трёх и более переменных. 

Проблема заключается в том, что в связи с отсутствием в школьной программе вопросов с решением диофантовых уравнений, школьники не могут решать материал итоговой государственной аттестации.

Гипотеза исследования: математическая подготовка школьников будет проходить успешнее, если раскрыть актуальные методы решения диофантовых уравнений.

Предмет исследования: диофантовы уравнения первой степени.

Цель работы: выявить актуальные методы решения диофантовых уравнений первой степени и выбрать наиболее рациональные методы их решения.

Задачи:

1. 
   Рассмотреть историю развития диофантовых уравнений 1 степени.
   
2. 
   Дать определение диофантовым уравнениям и рассмотреть их свойства.
   
3. 
   Рассмотреть и сравнить актуальные методы решения диофантовых уравнений 1 степени, а также установить межпредметные связи.
   

Глава 1. Исторические аспекты решения диофантовых уравнений

О подробностях жизни одного из древнегреческих математиков Диофанта Александрийского практически ничего неизвестно. Однако его труды имели большое значение для алгебры и теории чисел. В его книге «Арифметика» впервые встречаются уравнения, решения которых нужно найти на множестве целых чисел. Такие уравнения впоследствии получили название«диофантовых уравнений». 

Наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. Основное произведение Диофанта – «Арифметика» в тринадцати книгах. К всеобщему сожалению, до наших дней сохранились только первые шесть. «Арифметика» Диофанта представлена как ряд задач. В основном «Арифметика» посвящена решению уравнений. В первой из сохранившихся книг обсуждаются линейные уравнения; в остальных пяти рассматриваются различные виды квадратных уравнений, часто для нескольких неизвестных, а также некоторые специальные кубические уравнения. Характерная особенность состоит в том, что ответы всегда являются целыми или рациональными числами.

Задачи диофантовой «Арифметики» сводятся к уравнениям или к системам уравнений с целыми коэффициентами. Эти системы неопределенные, т.е. число уравнений в них меньше числа неизвестных переменных. Кроме того, решения требуется найти только целые, часто натуральные.

Конкретные задачи такого рода были решены еще в Древнем Вавилоне около 4 тысяч лет тому назад. Древнегреческий мыслитель Диофант, который жил около 2 тысяч лет тому назад, в своей книге «Арифметика» решил большое число таких и более сложных уравнений в целых числах и в сущности описал общие методы их решения.

Глава 2. Диофантовы уравнения и их свойства

Диофантовы уравнения – алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвестных в уравнениях больше числа уравнений.

Диофантовы уравнения обладают рядом свойств. Количество решений уравнения зависит от коэффициентов aи b. Приведем формулировки теорем о числе решений, на основании которых может быть составлен алгоритм решения неопределенных уравнений первой степени от двух переменных в целых числах.

Теорема 1. Если в уравнении aх + by = 1, (a,b) = 1, то уравнение имеет, по крайней мере, одно решение.

Теорема 2. Если в уравнении aх + by = с, (a, b) = d> 1 и c не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

Теорема 3. Если в уравнении aх + by = с, (a, b) = d> 1  иc  d, то оно равносильно уравнению a₁x + b₁y = c₁, в котором (a₁, b₁) = 1. 

Теорема 4. Если в уравненииax + by = c , (a, b) = 1, то все целые решения этого уравнения заключены в формулах: х=х₀с+bt , y=y₀с –at, где х₀, у₀ – целое решение уравнения aх+by=1, t– любое целое число.

Следует отметить, что каждая конкретная задача в целых числах может решаться с помощью разных методов.

Глава 3. Актуальные методы решений диофантовых уравнений 1 степени

Методы решения неопределенных уравнений составляют основной вклад Диофанта в математику. Уравнения, решаемые в целых числах, всегда притягивали интерес математиков и по праву считаются самым красивым разделом математики.

Долгое время ученые пытались найти общий способ решения диофантовых уравнений, но все тщетно. Известная «Десятая проблема Гильберта» – одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков. Она состоит в нахождении универсального метода целочисленного решения произвольного алгебраического диофантова уравнения. Доказательство алгоритмической неразрешимости этой задачи заняло около двадцати лет и в 1970 г. Ленинградский математик Матиясевич доказал, что такого общего способа быть не может. Методы решения неопределенных уравнений составляют основной вклад Диофанта в математику. Уравнения, решаемые в целых числах, всегда притягивали интерес математиков и по праву считаются самым красивым разделом математики.
1 способ: Метод перебора – применяется для решения простейших задач. Заключается в выражении одной переменной через другую и переборе возможных вариантов.

Задача 1.В парке прогуливаются люди с собаками. Вместе у них 20 ног и лап. Сколько людей и сколько собак в парке?

Решение. Составляется уравнение с двумя неизвестными переменными, в котором х – число собак, у – число людей:4х + 2у = 20, или 2х + у = 10.Выразим у через х:у = 10 – 2х.

Далее воспользуемся методом перебора:

Х	1	2	3	4
У	8	6	4	2

Значит, задача имеет четыре решения.

Ответ: (1; 8), (2; 6), (3; 4), (4; 2).

2 способ: Алгоритм Евклида. Этот метод заключается в уменьшении коэффициентов уравнения с помощью деления на наибольший общий делитель. Когда будут получены взаимно простые коэффициенты, находим частное большего и меньшего коэффициентов. Данная операция может повторятся многократно, до тех пор, пока в остатке не будет получена единица. Из последнего равенства выражаем единицу и возвращаемся к изначальному уравнению. С его помощью можно решить уравнение в целых числах 407х – 2816y = 33. Полное решение см. Приложение1

3 способ: Метод рассеивания.

В Индии, где неопределенные уравнения решались в связи с астрономическими запросами и календарными расчетами, ставился вопрос о нахождении именно целочисленных решений неопределенных уравнений. Намеки на общее решение диофантовых уравнений первой степени, т.е. вида

aх +by = с, встречаются впервые в трудах индийского астронома Ариабхатты. Общий метод для решения в целых числах неопределенных (диофантовых) уравнений первой степени с целыми коэффициентами был назван в Индии методом рассеивания (размельчения).

Данный способ еще называют – «методом спуска» и заключается в выражении одной переменной через другую, выделении целой части и вводе новой переменной, получаем новое уравнение, но с меньшими коэффициентами, до тех пор, пока не исчезнут дроби. Затем «поднимаемся вверх» и находим сразу общее решение. При решении задачи 3 новые переменные вводили 3 раза. Полное решение смотрите в приложении 2.

Задача 3. Для газификации жилого дома требуется проложить газопровод длиной 39м. Имеются трубы 5 м и 8 м длиной. Сколько требуется труб, чтобы не приходилось их разрезать при прокладке газопровода?

4 способ: Графический способ. Уравнение можно представить в виде линейной функции, выразив y. По ней чертится график и определяются точки, обе координаты которых являются положительными целыми числами.

Задача 4. Надо разлить 17 л жидкости в бутыли емкостью в 5 л и 7 л так, чтобы все использованные бутыли были полными. Сколько потребуется бутылей той и другой емкости?

У равнение 5x+7y=17 можно решить графическим методом, изобразив прямую 5x+7y= 17, и определив на этой прямой точки, обе координаты которых будут в данном случае натуральными числами. Рис. 1

Целые решения: (2;1),(9; –4), (16; –9),(–5;6),(–12;11).

Задача 5. Решить уравнение 5х–8у=1 геометрически при помощи окружности.

Отложим на окружности последовательно друг за другом равные дуги, составляющие -ю часть полной окружности. За 8 шагов получим все вершины правильного вписанного в окружность 8-угольника. При этом сделаем 5 полных оборотов. На 5-ом шаге получили вершину, соседнюю с начальной, при этом сделали 3 полных оборота и еще прошли -ю часть окружности, так что х = у + . Полное решение смотрите в приложении 3.


Заключение

В ходе исследования реализовали все поставленные задачи. Показали исторический аспект поиска решения диофантовых уравнений с древних времен до нашего времени. Рассмотрели ряд теорем, описывающих свойства диофантовых уравнений.

Уравнения первой степени, как мы увидели, решаются довольно просто. Из рассмотренных в ходе исследования методов, метод рассеивания оказался наиболее рациональным, он дает сразу общее решение, не сложный для понимания, не энергозатратный.

Теория решения диофантовых уравнений является классическим разделом элементарной математики. В ней не приходится писать сложные и громоздкие формулы, необходимо проводить лишь аккуратные рассуждения с использованием определенных понятий теории чисел и связанные в стройную логическую конструкцию.

Эту чисто абстрактную теорию можно использовать для построения алгоритмов, которые нужны для криптографии, чтобы зашифровывать и безопасно передавать секретные сообщения, а также снимать и класть деньги в банкоматах и т. п. Теория эта оказалась востребована на практике. В России есть целая Академия криптографии и научно-исследовательские организации, которые используют такие разработки.

Мы рассматривали только неопределенные уравнения первой степени. С уравнениями второй степени сложнее. Уравнениями третьей и больше степеней занимаются великие математики, потому что их решения слишком сложны и громоздки. В ближайшее время, планируем рассмотреть уравнения 2 степени.
Литература

1. 
   Бардушкин В.В., Кожухов И.Б., Прокофьев А.А., Фадеичева Т.П. Основы теории делимости чисел. Решение уравнений в целых числах. Факультативный курс. – М.: МГИЭТ(ТУ), 2003. – 224 с.
   
2. 
   Башмакова И. Г. Диофант и диофантовы уравнения.– М.: изд. «Наука», 1972. –68с.
   
3. 
   Бухштаб А. А., Теория чисел. – М.: Просвещение, 1966. –385 с.
   
4. 
   Деев М.Е. Методы решения олимпиадных задач на доказательство. // Информация и образование: границы коммуникаций (INFO 13): Сборник научных трудов № 5(13) / под ред. Темербековой А.А., Гальцевой Н.П. – Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2013. – 462с.
   
5. 
   Никифоровский В. А. В мире уравнений.–М.: изд. «Наука» 1987.– 176с.
   
6. 
   Серпинский В. О решении уравнений в целых числах. – М.: Физматлит, 1961.– 88 с.
   
7. 
   Шпилекова Л.Н. Методика решения диофантовых уравнений при подготовке школьников к олимпиадам. // Информация и образование: границы коммуникаций INFO 16: Сборник научных трудов № 8(16) / под ред. Темербековой А.А., Альковой Л.А. – Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2016. – 258с.
   

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Способ 2. Алгоритм Евклида.

Решить уравнение в целых числах 407х – 2816y = 33.

Воспользуемся составленным алгоритмом.

1. 
   Найдем наибольший общий делитель чисел 407 и 2816: 
   

2816 = 407·6 + 374;

407 = 374·1 + 33;

374 = 33· 11 + 11;

33 = 11·3

Следовательно (407,2816) = 11, причем 33 делится на 11 

2. 
   Разделим обе части первоначального уравнения на 11, получим уравнение 37х – 256y = 3, причем (37, 256) = 1 
   
3. 
   Найдем линейное представление числа 1 через числа 37 и 256. 
   

256 = 37·6 + 34;

37 = 34·1 + 3;

34 = 3·11 + 1

Выразим 1 из последнего равенства, затем последовательно поднимаясь по равенствам будем выражать 3; 34 и полученные выражения подставим в выражение для 1.

1 = 34 – 3·11 = 34 – (37 – 34·1) ·11 = 34·12 – 37·11 = (256 – 37·6) ·12 – 37· 11 = – 83·37 – 256·(–12)

Таким образом, 37·(–83) – 256·(–12) = 1, следовательно, пара чисел х₀ = – 83 и у₀ = – 12 есть решение уравнения 37х – 256y = 3. 

4. 
   Запишем общую формулу решений первоначального уравнения 
   x = – 83c + bt= – 83 3 – 256t = – 249 – 256t
   

y = – 12c–at =– 12 3– 37t = – 36 – 37t

где t - любое целое число.


ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Способ 3.Метод рассеивания.

Задача 2. Для газификации жилого дома требуется проложить газопровод длиной 39 м. Имеются трубы 5 м и 8 м длиной. Сколько требуется труб, чтобы не приходилось их разрезать при прокладке газопровода?

Решить способом измельчения в целых числах уравнение 5x + 8y = 39.

Решение:

1. Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент, и выразим его через другое неизвестное: x = (39 – 8y):5.

Выделим целую часть: x = 7 –y + (4 – 3y):5.

Все число будет целым, если целым окажется значение (4 – 3y):5.

Это возможно тогда, когда число (4 – 3y) без остатка делится на 5. Вводя дополнительную целочисленную переменную z, последнее уравнение запишем в виде: 4 –3 y = 5z.

Мы пришли к уравнению такого же типа, как и исходное уравнение, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его уже нужно относительно переменных y и z.

2. y= (4 – 5z): 3 = 1 – z + (1 – 2z):3

Аналогично рассуждая, запишем (1 – 2z) через новую целочисленную переменную и: 1–2z=3u

3. z = (1–3u):2=(1– u):2 – u;

1– u=2v

4. u=1 –2v - дробей больше нет, спуск закончен.

5. Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z, потом y и затем x.

z =(1– u):2 –u=(1–1+2v):2–1+2v= 3v–1,

z = 3v– 1.

y = (4–5z):3 = (4 – 5(3v – 1)):3=3– 5v,

y = 3 – 5v.

x = (39 – 8y) : 5 = (39 – 8(3 – 5v)) : 5 = 3 + 8v,

x=3+8v.

6. Формулы x=3+8v, y=3– 5v представляют общее решение исходного уравнения в целых числах.

7. Если необходимо получить только натуральные числа, то среди

всех целых решений нужно выбрать такие, для которых x>0, y>0, то есть 3+8v>0,3 – 5v>0.

Совместно эти неравенства могут выполняться лишь при v=0. В этом случае x=3, y=3

ПРИЛОЖЕНИЕ 3

Задача 5. Решим уравнение 5х–8у=1 геометрически.

Решение. Запишем частное решение уравнения (1).Запишем общее решение данного уравнения (1).

Отложим на окружности последовательно друг за другом равные дуги, составляющие -ю часть полной окружности. За 8 шагов получим все вершины правильного вписанного в окружность 8-угольника. При этом сделаем 5 полных оборотов. На 5-ом шаге получили вершину, соседнюю с начальной, при этом сделали 3 полных оборота и еще прошли -ю часть окружности, так что х = у + .Итак, Х_о = 5, у_о =3 является частным решением уравнения 5х – 8у = 1.

Частное решение уравнения (1): Х_о = 19 5=95; у_о =19 3=57.

Общее решение уравнения (1):    n   Z. Рис.2 …..