Программа учебной дисциплины "Математический анализ"
 Скачать 355.02 Kb.
|
|
Программа учебной дисциплины “Математический анализ” Утверждена Академическим советом ООП Протокол № от «28» августа 2018 г. Автор Салимова А.Ф., к.пед.н., доцент Число кредитов 6 Контактная работа (час.) 136 Самостоятельная работа (час.) 92 Курс 1 Формат изучения дисциплины Без использования онлайн курса I.ЦЕЛЬ, РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ И ПРЕРЕКВИЗИТЫ Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются: • формирование представлений о теоретических основах математического анализа и об областях практического приложения математических моделей; • формирование навыков работы с абстрактными математическими понятиями; • формирование умения демонстрировать знание и понимание основных определений, теорем, алгоритмов и методов решения задач по курсу; • формирование умений пользоваться методами математического анализа для формализации и решения прикладных задач, в том числе экономического содержания; • развитие навыков самостоятельной работы и умений находить и перерабатывать дополнительную информацию в данной предметной области; • обеспечение запросов других математических дисциплин; • подготовка к изучению современных курсов по экономической теории. В результате освоения дисциплины студент должен: • Знать: формулировки основных понятий и теорем математического анализа, необходимые для дальнейшего изучения дисциплин, предусмотренных базовым и рабочим учебными планами; • Уметь: интерпретировать основные понятия математического анализа на простых модельных примерах, применять методы дисциплины при решении задач, возникающих в других дисциплинах; • Иметь навыки: чтения учебной и научной литературы в данной предметной области; подбора информации из различных источников для занятий, а также применения современного инструментария дисциплины при решении задач, возникающих в других дисциплинах; самостоятельной работы по изучению теоретического материала курса и решению задач. Изучение дисциплины «Математический анализ» базируется на следующих дисциплинах: • Математика в объеме программы средней школы; • Линейная алгебра. Для освоения учебной дисциплины студенты должны владеть следующими знаниями и компетенциями: • знаниями основных понятий и теорем математики в объеме средней школы; • навыками решения типовых задач математики в объеме средней школы. 2 Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении следующих дисциплин: 1) теория вероятностей и математическая статистика; 2) эконометрика; 3) методы оптимальных решений; 4) теория игр; 5) математическая экономика. II. СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ Тема I. Предел и непрерывность функции одной переменной Множества, операции объединения, пересечения, дополнения. Отображения множеств (функции). Числовая прямая, расстояние между точками числовой прямой. Промежутки, окрестность точки, проколотая окрестность точки. Числовые функции. Область определения, множество значений функции. Элементарные функции. Предел функции одной переменной на бесконечности. Предел функции одной переменной в точке. Односторонние пределы. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Арифметические свойства пределов. Свойства операции предельного перехода. Первый и второй замечательные пределы. Сравнение функций. Символы о-малое и О-большое и их использование для раскрытия неопределенностей при вычислении пределов. Эквивалентные бесконечно малые. Непрерывность функции в точке и на множестве. Точки разрыва функции, их классификация. Арифметические свойства непрерывных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Тема II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной Понятие производной функции одной переменной в точке. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке. Понятие дифференцируемости функции в точке. Связь дифференцируемости функции одной переменной с ее непрерывностью. Экономическая интерпретация производной. Правила дифференцирования. Дифференцирование сложной функции. Формула логарифмического дифференцирования. Теорема о дифференцируемости и производной обратной функции. Таблица производных основных элементарных функций. Производная функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной неявно. Формула Лейбница для производных произведения двух функций. Понятие дифференциала функции в точке. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной в точке и их свойства. Понятие об экстремумах функции одной переменной. Точка локального экстремума функции одной переменной. Необходимое условие ее существования (теорема Ферма). Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя. Многочлен Тейлора и формула Тейлора для функций одной переменной с остаточным членом в формах Пеано и Лагранжа. Формулы Маклорена для основных элементарных функций. Использование формулы Тейлора для представления и приближенного вычисления значений функции. Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции на промежутке. Достаточные условия точки локального экстремума для функции одной переменной. 3 Выпуклые (вогнутые) функции одной переменной. Достаточные условия выпуклости (вогнутости). Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия точки перегиба. Асимптоты графика функции одной переменной. Общая схема исследования функции одной переменной и построение ее графика. Тема III. Дифференциальное исчисление функций многих переменных Арифметическое пространство n R . Расстояние между точками пространства. Неравенство треугольника. Окрестности точек, предельные и внутренние точки. Связные, несвязные, ограниченные, неограниченные множества. Замкнутые и открытые множества. Понятие функции многих переменных. Линии равного уровня. Определение предела функции многих переменных. Арифметические свойства пределов. Понятие непрерывности функции многих переменных в точке. Арифметические свойства непрерывных функций. Теорема о непрерывности сложной функции. Понятие частных производных функции многих переменных в точке. Определение дифференцируемости функции в точке. Связь дифференцируемости функции в точке с непрерывностью и существованием частных производных. Достаточное условие дифференцируемости функции в точке. Арифметические свойства дифференцируемых функций. Теорема о дифференцируемости сложной функции. Касательная плоскость к графику функции двух переменных в точке. Уравнение касательной плоскости. Дифференциал функции многих переменных в точке. Геометрический смысл первого дифференциала для функции двух переменных. Инвариантность формы первого дифференциала. Градиент функции в точке и производная по направлению. Геометрический смысл градиента функции в точке, его свойства. Частные производные и дифференциалы высших порядков функции многих переменных. Теорема о равенстве смешанных производных. Многочлен Тейлора. Формула Тейлора для функций многих переменных с остаточным членом в форме Пеано и Лагранжа. Понятие неявной функции. Теорема о существовании и непрерывности неявной функции, определяемой одним уравнением. Теорема о дифференцируемости неявной функции. Формула для производных неявной функции. Повторное дифференцирование неявной функции. Понятие системы неявных функций, определяемых системой уравнений. Условия их существования и дифференцируемости. Матрица Якоби. Якобиан. Тема IV. Классические методы оптимизации Локальный экстремум функций многих переменных. Необходимое условие локального экстремума. Знакоопределенность второго дифференциала. Достаточное условие локального экстремума функции многих переменных. Теорема об экстремуме неявной функции, определяемой уравнением и системой уравнений. Применение в экономических задачах. Условный экстремум функции многих переменных. Функция Лагранжа и множители Лагранжа для задачи на условный экстремум. Необходимое условие условного экстремума. Исследование достаточных условий условного экстремума. Применение в экономических задачах. Тема V. Интегральное исчисление функции одной переменной Понятие первообразной функции одной переменной на интервале. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Табличные интегралы. Замена переменной и формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле. 4 Понятие о рациональной функции. Элементарные (простейшие) дроби I и II рода. Правильные и неправильные рацинальные дроби. Выделение из неправильной рациональной дроби целой части в виде многочлена. Интегрирование рациональных функций. Основные классы функций, интегрирование которых сводится к интегрированию рациональных функций. Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование тригонометрических функций. Универсальная тригонометрическая подстановка. Понятие интегральной суммы. Верхняя и нижняя интегральные суммы. Понятие определенного интеграла и его геометрическая интерпретация. Свойства определенного интеграла. Теорема о среднем для определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной и формула интегрирования по частям для определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Геометрические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы 1 и 2 рода. Абсолютная и условная сходимость несобственного интеграла. Признаки сравнения несобственных интегралов от положительных функций. Тема VI. Интегрирование простейших дифференциальных уравнений Понятие дифференциального уравнения первого порядка. Понятие общего решения. Задача Коши. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, однородные, в полных дифференциалах. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольной постоянной. Уравнения Бернулли. Экономические задачи, сводящиеся к решению дифференциальных уравнений первого порядка. Дифференциальные уравнения старших порядков. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка. Экономические задачи, сводящиеся к решению дифференциальных уравнений второго порядка. Комплексные числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Действительная и мнимая часть комплексного числа. Модуль и аргумент комплексного числа. Решение квадратных уравнений. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами. Задача Коши. Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. Линейные разностные уравнения. Тема VII. Интегрирование функций многих переменных Понятие двойного интеграла и его геометрическая интерпретация. Свойства двойного интеграла. Сведение двойного интеграла к повторному. Изменение порядка интегрирования. Замена переменных в двойном интеграле. Переход в двойном интеграле к полярным координатам. Якобиан преобразования. Вычисление площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла. Геометрические приложения двойного интеграла. Тема IIX. Числовые, функциональные и степенные ряды Понятие о числовых рядах. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Сумма ряда. Необходимое условие сходимости ряда. Признаки сравнения для знакопостоянных рядов. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши. Эталонные ряды с положительными членами. Критерий Коши сходимости ряда. Понятие абсолютной и условной сходимости числового ряда. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. 5 Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Вычисление радиуса сходимости степенного ряда при помощи признаков Коши и Даламбера. Непрерывность суммы степенного ряда. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора (Маклорена). Разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций. III. ОЦЕНИВАНИЕ Преподаватель оценивает контрольные работы, домашнюю контрольную работу и экзаменационную работу студентов, а также выполнение текущих домашних заданий, в стобалльной шкале. По результатам первого полугодия формируется оценка 𝑂 𝐼 по следующему правилу: 𝑂 𝐼 = 0,45𝑂 к.р.1 + 0,45𝑂 к.р.2 + 0,1𝑂 акт.1 , где 𝑂 к.р.1 и 𝑂 к.р.2 есть результаты выполнения студентом аудиторных контрольных работ в первом и втором модулях соответственно, оценка 𝑂 акт.1 выставляется как среднее арифметическое всех оценок за все выданные домашние задания в первом полугодии, округленная до целого числа с помощью обычной арифметики округления. Оценка 𝑂 𝐼 переводится в стобалльную систему с помощью обычной арифметики округления до целого числа. По результатам второго полугодия формируется оценка 𝑂 𝐼𝐼 по следующему правилу: 𝑂 𝐼𝐼 = 0,45 min(𝑂 к.р.3 , 𝑂 д.к.р. ) + 0,45𝑂 к.р.4 + 0,1𝑂 акт.2 , где 𝑂 к.р.3 и 𝑂 к.р.4 есть результаты выполнения студентом аудиторных контрольных работ в третьем и четвертом модулях соответственно, оценка 𝑂 д.к.р. есть результат выполнения студентом домашней контрольной работы (варианты выдаются во втором модуле, работы собираются на первой неделе третьего модуля), оценка 𝑂 акт.2 выставляется как среднее арифметическое всех оценок за все выданные домашние задания во втором полугодии, округленная до целого числа с помощью обычной арифметики округления. Оценка 𝑂 𝐼𝐼 переводится в стобалльную систему с помощью обычной арифметики округления до целого числа. Далее вычисляется оценка 𝑂 итог. По следующей формуле: 𝑂 итог. = 0,2𝑂 𝐼 + 0,2𝑂 𝐼𝐼 + 0,6𝑂 экз. , где 𝑂 экз. – оценка за письменную экзаменационную работу (проводится 120 минут). Оценка 𝑂 итог. переводится в стобалльную систему с помощью обычной арифметики округления до целого числа. Результирующая оценка 𝑂 рез. по дисциплине получается путем перевода оценки 𝑂 итог. в десятибалльную шкалу, т.е. вычисляется значение 0,1𝑂 итог. с последующим округлением до целого числа с помощью обычной арифметики округления. Исключение составляют случаи, когда 𝑂 итог. ∈ [35; 39]. В этом случае результирующая оценка за курс равна 3 баллам в десятибалльной шкале. Элементы контроля, предусмотренные данной программой, не являются блокирующими. В диплом ставится результирующая оценка по учебной дисциплине. Данная программа не предусматривает возможность пересдачи неудовлетворительных оценок, полученных за любую из контрольных работ и домашних контрольных работ, а также возможность компенсировать оценки за эти элементы контроля, не полученные вследствие пропуска семинарского занятия по любой причине. В этом случае за соответствующий элемент контроля студенту выставляется 0 баллов. 6 IV. ПРИМЕРЫ ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ Типовой вариант контрольной работы №1 1. Пользуясь определением предела последовательности, покажите, что lim 𝑛→∞ 5𝑛+15 𝑛−6 = 5. Укакжите 𝑁(𝜀). 2. Вычислите пределы: а) lim 𝑛→∞ (4−𝑛) 3 −(2−𝑛) 3 (1−𝑛) 2 −(2+𝑛) 4 ; б) lim 𝑛→∞ 𝑛 √3𝑛 3 3 + √4𝑛 8 +1 4 (𝑛+√𝑛)√7−𝑛+𝑛 2 3. Пользуясь определением предела функции в точке, обоснуйте равенство, укажите 𝛿(𝜀): lim 𝑥→−3 2𝑥 2 +11𝑥+15 𝑥+3 = −1. 4. Вычислите пределы: а) lim 𝑥→−∞ 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑥 2 ; б) lim 𝑥→−1 𝑥 3 +3𝑥 2 +7𝑥+5 𝑥 2 −𝑥−2 ; в) lim 𝑥→+∞ 𝑥(√𝑥 4 + 7𝑥 + 2 − √𝑥 4 − 3𝑥 + 1); г) lim 𝑥→4 √16𝑥 3 −4 √𝑥+4−√2𝑥 ; д) lim 𝑥→±∞ √16𝑥 4 +2𝑥 2 +3 4 √𝑥 3 +𝑥 3 5. Вычислите пределы, используя первый и второй замечательные пределы, а также свойства эквивалентных бесконечно малых, из них следующие: а) lim 𝑥→0 45𝑥 2 sin 3𝑥∙sin 5𝑥 ; б) lim 𝑥→+∞ (1 + 6 𝑥 ) 𝑥/2 ; в) lim 𝑥→−1 (4𝑥 2 + 3𝑥 − 1) ∙ 𝑡𝑔 𝜋𝑥 2 ; г) lim 𝑥→0 ln (1+sin 2𝑥) sin 6𝑥 ; д) lim 𝑥→1 𝑥 3 −1 ln 𝑥 ; е) lim 𝑥→0 (2 − 5 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 ) 1/𝑥 2 6. Что означает равенство 𝑜(1) + 𝑜(1) = 𝑜(1) при 𝑥 → 0? Докажите это утверждение. 7. Докажите, что 𝑜(𝑥 2 ) ∙ 𝑜(𝑥 3 ) = 𝑜(𝑥 5 ) при 𝑥 → 0. 8. Укажите все значения γ, при которых 𝑜(𝑥 3 ) + 𝑜(𝑥 5 ) = 𝑜(𝑥 𝛾 ); 𝑥 → +0. 9. Не пользуясь ни правилом Лопиталя, ни формулой Тейлора, обоснуйте, что √1 − 𝑥 = 1 − 𝑥 2 − 𝑥 2 8 + 𝑜(𝑥 2 ), 𝑥 → 0. 10. Вычислите пределы, используя асимптотические формулы: а) lim 𝑥→0 sin 3𝑥−sin 2𝑥−𝑡𝑔 𝑥 𝑥 3 ; б) lim 𝑥→0 √1+2𝑥 3 −√1+3𝑥 𝑥 ; в) lim 𝑥→+∞ (√𝑥 2 + 7𝑥 + 2 − √𝑥 2 + 3𝑥 + 5). В пунктах а) и б) также вычислите пределы, используя правило Лопиталя. 11. Классифицируйте точки разрыва графика функции: а) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 𝑥 2 ; б) 𝑓(𝑥) = 𝑒 1/(𝑥−1) 𝑥+2 12. Напишите уравнения касательной и нормали к графику функции 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 в точке с абсциссой x=2. 13. Вычислите производную функции 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔√𝑥 − 1 в точке x=5. 14. Найдите производные следующих функций, не упрощая ответ: а) 𝑓(𝑥) = 𝑒 cos 𝑥 ∙ ( √𝑥 5 + ln 𝑥 3 ); б) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛 2 (2𝑥 4 ) √𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔3𝑥 2 ; в) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 𝑥+ √𝑥 4 +1 4 √𝑥 4 +1 4 −𝑥 15. Вычислите первый и второй дифференциалы функции 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 25, если x=0, dx=11. 7 16. Используя правило логарифмического дифференцирования, вычислите производные следующих функций: а) 𝑓(𝑥) = (𝑥 3 + cos 𝑥) √2𝑥+3 ; б) 𝑓(𝑥) = (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛√𝑥) 𝑐𝑡𝑔 2 5𝑥 17. Вычислите производную функции 𝑦(𝑥), заданной неявно уравнением 5𝑥 2 + 5𝑥𝑦 + 3𝑦 2 − 3𝑥 − 2𝑦 − 2 = 0. 18. Вычислите производную 𝑦 ′ (𝑥) функции 𝑦(𝑥), заданной параметрически: 𝑥(𝑡) = ln 𝑡𝑔 𝑡, 𝑦(𝑡) = 1 𝑠𝑖𝑛 2 𝑡 , 0 < 𝑡 < 𝜋 /2 при значении параметра 𝑡 0 = 𝜋/4. 19. Постройте график функции 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 (2𝑥 − 1) 2 с помощью производной первого порядка. Типовой вариант №2 контрольной работы №1 1. Вычислите предел lim 𝑛→∞ √4𝑛 2 +1+6𝑛 √𝑛 5 +𝑛+1 5 2. Пользуясь определением предела функции в точке, обоснуйте равенство, укажите 𝛿(𝜀): lim 𝑥→4 𝑥 2 −2𝑥−8 𝑥−4 = 6. 3. Вычислите пределы: а) lim 𝑥→1 (√arctg(𝑥 − 1)) arcsin 𝑥 ; б) lim 𝑥→1 𝑥 3 +2𝑥 2 −3𝑥 𝑥 2 −3𝑥+2 ; в) lim 𝑥→27 √𝑥 3 −3 4−√𝑥−11 4. Вычислите пределы, используя первый и второй замечательные пределы, а также свойства эквивалентных бесконечно малых, из них следующие: а) lim 𝑥→0 sin (𝑥 3 +𝑥 2 ) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥 3 −𝑥 2 ) ; б) lim 𝑥→+∞ ( 2𝑥+1 2𝑥+5 ) 3𝑥 ; в) lim 𝑥→𝜋 sin 3𝑥 sin 2𝑥 ; г) lim 𝑥→0 (1 + tg 2 𝑥) 1/𝑥 2 5. Укажите все значения γ, при которых 𝑜(𝑥 3 ) + 𝑜(𝑥 8 ) = 𝑜(𝑥 𝛾 ); 𝑥 → +0. 6. Вычислите предел, используя асимптотические формулы: lim 𝑥→0 sin 2𝑥+√1+4𝑥−𝑒 5𝑥 𝑥 7. Вычислите предел, используя правило Лопиталя: lim 𝑥→0 𝑒 𝑥 −ln(1+5𝑥)−1 𝑥−sin 𝑥 8. Классифицируйте точки разрыва графика функции: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −9 𝑥(𝑥+1) 9. Напишите уравнение касательной к графику функции 𝑓(𝑥) = 2𝑥 ∙ 𝑒 −𝑥 в точке 𝑥 = 0. 10. Вычислите производную функции 𝑓(𝑥) = arctg 3𝑥 в точке 𝑥 = 2. 11. Найдите производные следующих функций, не упрощая ответ: а) 𝑓(𝑥) = (3 −𝑥 + 𝑥 3 ) tg 4𝑥 ; б) 𝑓(𝑥) = (√𝑥 ∙ ln 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + √8𝑥 − 1) 4 12. Вычислите первый и второй дифференциалы 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 3 , если 𝑥 = 1000, 𝑑𝑥 = 2. 13. Используя правило логарифмического дифференцирования, вычислите производную функции 𝑓(𝑥) = (√3x − 5 + arcsin 3𝑥) ln (2𝑥+3) 14. Вычислите производную функции 𝑦(𝑥), заданной неявно уравнением 12𝑥 3 − 5𝑥 2 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 3𝑥 + 𝑦 − 2 = 0. 15. Вычислите производную 𝑦 ′ (𝑥) функции 𝑦(𝑥), заданной параметрически: 𝑥(𝑡) = 𝑡+2 𝑡 2 ; 𝑦(𝑡) = √𝑡 3 + 1 при значении параметра 𝑡 0 = 2. 16. Постройте график функции 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 9 с помощью производной первого порядка. Типовой вариант контрольной работы №2 8 1. Изобразите линии равного уровня функции 𝑢(𝑥; 𝑦) = min (𝑥 2 + 𝑦 2 ; 1 − 2𝑥𝑦). 2. Вычислите первый полный дифференциал функции 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥−𝑦 𝑥+𝑦+𝑧 в точке 𝑀 0 (1, 2, 1). В этой точке найдите вектор градиента и производную по направлению вектора 𝑙⃗ = (3; −4; 0). 3. Исследуйте на экстремум функцию 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 + 𝑦 3 − 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 − 𝑦 2 4. Исследуйте на экстремум функцию 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 при условии 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑥. 5. Найдите производные сложной функции, если 𝑢 = 𝑥 𝑦+4𝑡 ; 𝑥 = 𝑡𝑣 2 ; 𝑦 = 𝑣 𝑡 3 ; 𝜕𝑢 𝜕𝑣 =? 𝜕𝑢 𝜕𝑡 =? 6. Найдите 𝑧" 𝑥𝑦 в точке 𝑀 0 (2, 0, 0) для функции, заданной неявно уравнением 𝑧 − 𝑥 2 + 4𝑒 𝑦+𝑧 = 0. 7. Вычислите производные 𝑦′ 𝑥 и 𝑦" 𝑥𝑥 функции 𝑦(𝑥), заданной параметрически: 𝑥 = 𝑡 + sin 𝑡; 𝑦 = 3 − cos 𝑡. Вычислите 𝑦′ 𝑥 и 𝑦" 𝑥𝑥 при 𝑡 = 0. 8. Найдите n-ую производную функции: 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1) 2 ∙ sin 4𝜋𝑥. Укажите значение 𝑓 (5) (1). 9. Вычислите предел с помощью правила Лопиталя: lim 𝑥→2 3− √4𝑥 2 +5𝑥+1 3 𝑥 2 +2𝑥−8 10. Вычислите предел с помощью асимптотических формул: lim 𝑥→0 𝑥∙𝑒 −2𝑥 −ln(1+3𝑥)+2 sin 𝑥 √1+4𝑥 2 +cos 3𝑥−2 11. Проведите полное исследование и постройте график функции 𝑓(𝑥) = √𝑥 3 − 3𝑥 2 3 Типовой вариант контрольной работы №3 Вычислите интегралы: 1. ∫ cos 𝑥 √sin 2 𝑥 3 𝑑𝑥. 2. ∫ 𝑑𝑥 1+cos 2 𝑥 . 3. ∫ ln 𝑥 𝑥 4 𝑑𝑥 𝑒 2 𝑒 4. ∫ 3𝑥 2 +8𝑥+6 (𝑥 2 +16)(𝑥+5) 𝑑𝑥. 5. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями 𝑦 = −𝑥 2 + 4𝑥 + 1, 𝑦 − 𝑥 − 1 − 0. 6. 𝑦 ′ = (𝑒 𝑥 +3)𝑡𝑔 2 4𝑦 𝑒 𝑥 7. 𝑥 𝑦 ′ − 𝑦 = √𝑦 2 − 8𝑥 2 8. 𝑥 2 𝑦 ′ − 4𝑥 2 − 𝑦 2 = 3𝑥𝑦, 𝑦(1) = 0. 9. 𝑥 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑦 2 ln 𝑥. 10. Исследуйте на экстремум функцию 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 3 − 2𝑦 3 − 3𝑥 + 6𝑦. 11. Исследуйте на экстремум функцию 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 при условии 𝑥 2 = 2𝑦. 12. Найдите частные производные 𝜕𝑓 𝜕𝑥 , 𝜕𝑓 𝜕𝑦 , 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥 2 , 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑦 2 , 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑦 для каждой функции, заданной неявно уравнением 2𝑥 2 + 2𝑦 2 + 𝑓 2 + 8𝑓𝑦 − 𝑓 + 8 = 0. Исследуйте эту функцию на экстремум. Найдите вектор градиента и производную функции f по направлению вектора 𝑙⃗ = (− 3 5 ; 4 5 ) в точке 𝐴(0; −2). Типовой вариант контрольной работы №4 Найдите решения дифференциальных уравнений: 9 1. 𝑦 ′ = 2√ 𝑥 𝑦 3 − 𝑦 𝑥 2. 𝑥 𝑦 ′ = 3𝑦 + 𝑥 4 1+𝑥 2 , 𝑦(1) = ln 2 2 3. 𝑦"𝑦 = 2(𝑦′) 2 , 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 1. 4. 𝑥 + 𝑦"√1 + 𝑥 2 = 1 √1+𝑥 2 5. Решите задачу Коши 𝑦" − 2𝑦′ + 5𝑦 = 0, 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = −7 и вычислите для решения этой задачи значение 𝑦 ( 𝜋 4 ). Исследуйте на сходимость несобственные интегралы 6. ∫ 𝑑𝑥 √𝑥 4 +𝑥 5 √𝑥+ln(cos 𝑥+2) 5 ; +∞ 1 ∫ 𝑑𝑥 √𝑡𝑔 𝑥 6 +𝑥 3 √ln(1+2 sin 3𝑥) 4 1 0 Вычислите (с полным объяснением) несобственный интеграл 7. ∫ 𝑑𝑥 𝑥 3 −3𝑥 2 −4𝑥+12 +∞ 3 8. Исследуйте на сходимость числовые ряды: ∑ √𝑛 3 + 4 3𝑛 2 + √𝑛 8 3 − 1 ; ∞ 𝑛=1 ∑ (𝑛!) 2 2 𝑛 2 ; ∑ 1 ln(𝑛 + 1) √(𝑛 + 1) 2 + 1 ; ∑ 2 𝑛 𝑛 2 𝑛 + 3 ∞ 𝑛=1 ∞ 𝑛=1 ∞ 𝑛=1 9. Исследуйте на сходимость знакопеременные числовые ряды: ∑ 𝑛 2 + 4 (−3) 𝑛 ; ∑(−1) 𝑛+1 arcsin 1 2𝑛 ∞ 𝑛=1 ∞ 𝑛=1 10. Найдите область сходимости функционального ряда ∑ 𝑛 3 𝑥 𝑛 5 𝑛 +1 ∞ 𝑛=1 11. Вычислите двойной интеграл ∬ 𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦, 𝐷 = {(𝑥; 𝑦): 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, 2 − √4 − 𝑥 2 ≤ 𝑦 ≤ 2} . 𝐷 Экзаменационная контрольная работа по математическому анализу (вариант для самоподготовки) Найдите производные функций (ответ не упрощайте) 1. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (4𝑙𝑛 5 (𝑐𝑡𝑔√𝑥)) ; 𝑓(𝑥) = (√3 −𝑥 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 4𝑥 + √2𝑥 3 ) 5 sin(𝑥 2 ) 2. Вычислите производные 𝑦′ 𝑥 и 𝑦" 𝑥𝑥 функции 𝑦(𝑥), заданной параметрически: 𝑥 = cos 4𝑡; 𝑦 = 3 − cos 2𝑡. Вычислите 𝑦′ 𝑥 и 𝑦" 𝑥𝑥 при 𝑡 = 𝜋 8 3. Вычислите пределы lim 𝑥→0 𝑥∙𝑒 −2𝑥 −ln(1+3𝑥)+2 sin 𝑥 √1+4𝑥 2 +cos 3𝑥−2 ; lim 𝑥→2 3− √4𝑥 2 +5𝑥+1 3 𝑥 2 +2𝑥−8 10 4. Исследуйте на экстремум функцию 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑒 2𝑦 (𝑦 + 𝑥 2 + 𝑥). 5. Исследуйте на экстремум функцию 𝑓(𝑥; 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 3𝑦 2 + 5 при условии 𝑥 + 𝑦 = 4. 6. Найдите производные функции 𝑢(𝑥; 𝑦; 𝑧) = 𝑥 3 + 𝑦 2 − 𝑦𝑧 + 2𝑦𝑧 в точке 𝑀 0 (1; 0; 2) по направлению вектора 𝑴 𝟎 𝑴, если 𝑀(−1; −1; 0), а также производную в точке 𝑀 0 по направлению градиента. 7. Найдите решение уравнения (3𝑥 2 + 𝑦 cos(𝑥𝑦))𝑑𝑥 + (4𝑦 3 + 𝑥 cos(𝑥𝑦))𝑑𝑦 = 0. Вычислите интегралы 8. ∫ 𝑒 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑥 1+𝑥 2 𝑑𝑥. 1 0 9. ∫ 𝑒 𝑥 sin 𝑒 𝑥 ln 2 0 𝑑𝑥. 10. ∫ 𝑙𝑛 3 𝑥 𝑑𝑥. 𝑒 1 11. Вычислите несобственный интеграл ∫ 𝑥 2 −1 (𝑥 3 +4𝑥 2 +4𝑥) 𝑑𝑥. +∞ 1 12. Исследуйте на сходимость числовой ряд ∑ 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛( 1 𝑛2 ) √𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑛 4 +𝑛 5 √𝑛 2 +sin 𝑛 3 ∞ 𝑛=1 ; исследуйте на сходимость несобственный интеграл ∫ tg (√𝑥)𝑑𝑥 √ln(1+𝑠𝑖𝑛 6 2𝑥)+𝑥 5 ∙√𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑥 3 +𝑥 3 5 0,1 0 13. Вычислите двойной интеграл ∬ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦, 𝐷 = {𝑥 2 + 𝑦 2 ≥ 1, 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 9, 𝑦 ≥ 𝑥 √3 , 𝑦 ≤ 𝑥√3} . 𝐷 Решите уравнения 14. 𝑦 ′ + 𝑦 𝑡𝑔 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 4 𝑥 = 0, 𝑦(0) = 1. 15.( 𝑥 + 3𝑦)𝑑𝑥 = (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦. 16. 𝑦 ′ − 4𝑥𝑦 = 𝑒 2𝑥 2 +𝑥 17. 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑦 2 ln 𝑥. Решите задачи Коши 18. 𝑦𝑦" + 5𝑦 4 (𝑦′) 4 = 3(𝑦′) 2 , 𝑦(−2) = −1, 𝑦′(−2) = 1. 19. 𝑥𝑦 2 𝑦" + 5𝑥 4 (𝑦′) 3 = 3𝑦 2 𝑦′ + 𝑥𝑦(𝑦′) 2 , 𝑦(−2) = −4, 𝑦′(−2) = 1. 20.Решите задачу Коши 𝑦" + 4𝑦′ + 5𝑦 = 0, 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 3 и вычислите для решения этой задачи значение 𝑦 ( 𝜋 2 ). V. РЕСУРСЫ 5.1.Основная литература 1. Высшая математика для экономистов (под ред. проф. Кремера Н.Ш.). – М.: ЮНИТИ, 2001. (или любое другое издание). 2. Шипачев В.С. Математический анализ. М.: Высшая школа, 2001. 3. Бурмистрова Е.Б., Лобанов С.Г. Математический анализ и дифференциальные уравнения. М.: Академия, 2010. 5.2. Дополнительная литература 1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.II, III − М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001 (или любое другое издание). 11 2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. ‒ М.: «Издательство Астрель», 2002 (или любое другое издание). 3. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х. Математический анализ, М.: Изд-во Моск. Ун-та, 2004. 4. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ в двух томах. М.: Дрофа, 2006. 5. Егоров В.И., Салимова А.Ф. Определенный и кратные интегралы. Элементы теории поля. – М.: Физматлит, 2004. 6. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям – М.: Наука, 2000. 7. Математический анализ. Примеры и задачи / под ред. А.Ф. Салимовой, Ч.1. М.: ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», 2010. 8. Математический анализ. Примеры и задачи / под ред. А.Ф. Салимовой, Ч.2. М.: ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», 2010. 9. Математический анализ. Примеры и задачи / под ред. А.Ф. Салимовой, Ч.3. М.: ВУНЦ ВВС «ВВА им. проф. Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина», 2011. 5.3. Программное обеспечение № п/п Наименование Условия доступа 1. Microsoft Windows 8.1 Professional RUS Из внутренней сети университета (договор) 2. Microsoft Office Professional Plus 2010 Из внутренней сети университета (договор) 5.4.Профессиональные базы данных, информационные справочные системы, интернет-ресурсы (электронные образовательные ресурсы) № п/п Наименование Условия доступа Профессиональные базы данных, информационно-справочные системы 1. Консультант Плюс Из внутренней сети университета (договор) 2. Электронно-библиотечная система Юрайт URL: https://biblio-online.ru/ Интернет-ресурсы (электронные образовательные ресурсы) 1. Открытое образование URL: https://openedu.ru/ 5.5.Материально-техническое обеспечение дисциплины Учебные аудитории для лекционных занятий по дисциплине обеспечивают использование и демонстрацию тематических иллюстраций, соответствующих программе дисциплины в составе: − ПЭВМ с доступом в Интернет (операционная система, офисные программы, антивирусные программы); − мультимедийный проектор с дистанционным управлением. |