Актуализация знаний

• Название: Актуализация знаний
• Дата: 07.04.2023
• Размер: 1.17 Mb.
• Имя файла: 21.05mat.19ts.pdf
• Тип: Урок; #1044881

Урок 181.Практическая работа.Угол между прямой и плоскостью
ЦЕЛИ:
отработка знаний, умений и навыков по нахождению угла между прямой и плоскостью; умение строить такие углы.
Тип урока.Практическая работа.
ХОД УРОКА:
АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ
УЧАЩИХСЯ
Вопросы:
1. По рисунку назовите: перпендикуляр (АД), основание перпендикуляра(Д), наклонную к плоскости α(РА), проекцию наклонной на плоскость α(РД)
2. Сравните AP и AD. (AP>AD, так как
перпендикуляр меньше любой наклонной).
3. Что называется расстоянием от точки А до плоскости α
?(длина перпендикуляра АД)
4. Сформулировать теорему о трёх перпендикулярах (Прямая, проведённая в плоскости через
основание наклонной перпендикулярно к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к
самой наклонной.)
5. Сформулировать теорему, обратную теореме о трёх перпендикулярах (Прямая,
проведённая в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна
и к её проекции)
6.Вспомним понятие проекции точки на плоскость.
Вопросы:
1. Как построить проекцию точки на плоскость?(из данной точки на данную плоскость проводим перпендикуляр)
2. Что является проекцией точки М на плоскость α? (точка К,МК -перпендикуляр))

3. Что является проекцией точки N на плоскость α? (сама точка N)
Определение: Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведённого из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости.
7. Проекцией прямой а на плоскость α, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая.
8.Вспомним определение: Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.
Это угол АРD.
Вопрос:
А что, если а
или а
?
Сделать чертеж.
(а, )=90 0
(а, )=0 0
Тренировочный модуль задач. Списываем задачи 1 и 2 в тетрадь.
Задача 1:
В параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
- ABCD – квадрат со стороной, равной 2 см. Все боковые грани – прямоугольники, B
1
D=5 см. Найдите углы между B
1
D и плоскостью ABC и между
B
1
D и плоскостью DD
1
C
1
Р
Решение:
угол между B
1
D и плоскостью ABC есть угол BDB
1.

1. ABCD – квадрат. По теореме Пифагора BD
2
=2 2
+2 2
=8; BD=2
;
2.Из прямоугольного треугольника BDB
1:
cos BDB
1
= ВD/DB
1=
2
/5=0,4
;
BDB
1
=55 0
33(угол находим по таблице косинусов).
3. Аналогично из прямоугольного треугольника B
1
DC
1:
sin B
1
DC
1
=B
1
C
1/.
B
1
D=2/5=0,4;
B
1
DC
1
=23 0
35(угол находим по таблице синусов).
Задача 2:
Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, проведены две наклонные, образующие с плоскостью углы в 45 0
, а между собой угол в 60 0
. Определить расстояние между концами наклонных.
Решение:
1. Треугольники ACH и СHB прямоугольные и углы САН= СВН=45
о
СН=АН=НВ=а
2. По теореме Пифагора СА=СВ=а
;
3. В треугольнике АВС угол АСВ=60
о и АС=СВ
треугольник АВС равносторонний
АВ= а
;
ЗАДАНИЕ
.1.Списываем задачи 1 и 2 в тетрадь
2.Решить самостоятельно задачу:Отрезок длиной 10м пересекает плоскость, концы его находятся на расстояниях 2м и 3м от плоскости.Найти угол между данным отрезком и плоскостью.
3. Выучить определение угла между прямой и плоскостью.
Литература: Геометрия. 10-11 классы: учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни. Атанасян Л. С.
Дата сдачи-21.05. 20г на почту
[e-mail]
или скан-фото тетради на WhatsApp [phone]

Урок 182, 183. Практическая работа: «Угол между плоскостями»
Цель урока: научиться применять знания для решения задач стереометрии.
Тип урока: практическая работа.
Ход урока.
1.Списываем определение в тетрадь: п усть данные плоскости пересекаются. (См. рисунок
№4)
Рисунок №4.
Проведём третью плоскость, перпендикулярную линии пересечения плоскостей. Плоскость пресекает данные плоскости по двум прямым. Так вот:
«угол между этими прямыми называется углом между данными плоскостями».
- Как провести третью плоскость, перпендикулярную линии пересечения? Исходной теоремой, на которую мы будем опираться - это признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Итак, алгоритм нахождения угла между плоскостями:
1. Находим линию пересечения плоскостей.
2. Через точку на линии пересечения в каждой плоскости проводим прямые, перпендикулярные линии пересечения. Они однозначно задают секущую плоскость, которая по признаку перпендикулярности прямой и плоскости будет перпендикулярна линии пересечения.
3. Угол между прямыми а и в - есть угол между плоскостями.
Решаем задачи 1 и 2 в тетради.
Задача1. Через вершину острого угла прямоугольного треугольника АВС проведён перпендикуляр АD к его плоскости. Угол АВС=30°. Вычислить угол между плоскостями
BAD и CAD
Решение:
1. ∆АВС, угол C = 90°,угол АВС = 30°, значит угол САВ = 60°
2. (BAD) ∩ (CAD) = DA. По условию DA ┴ (АВС), АС ┴ DA и ВА ┴ DА (DВА) ∩ (АВС) =

AB; (DАС) ∩ (АВС) = АС, значит по определению угла между плоскостями угол ВАС искомый и угол ВАС = 30°.
Задача2. Дано: ΔАВС, ∠С = 90°, АС лежит в плоскости α, угол между плоскостями α и ABC равен 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см (рис. 4).Найти: расстояние от точки В до плоскости α.
Решение: Построим ВК ⊥ α. Тогда КС - проекция ВС на эту плоскость. ВС ⊥ АС по условию, значит, по теореме о трех перпендикулярах, КС ⊥ АС. Отсюда следует, что ∠ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника, ∠ВСК = 60°. Из
ΔВСА по теореме Пифагора:
Из ΔВКС:
Ответ: 6√3 см.
Задача3.(решить самостоятельно).Дан куб АВСDА1B1C1D1. Вычислить угол между плоскостями: АDD1и АВС.
Домашнее задание. Выучить определение угла между плоскостями
Литература: Геометрия. 10-11 классы: учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни. Атанасян Л. С.
Дата сдачи-21.05. 20г на почту
[e-mail]
или скан-фото тетради на WhatsApp [phone]

Урок №184,185.Практическая работа. Геометрические
преобразования в пространстве.
Цель. Изучить:
 понятие «движение» в пространстве;
 свойства движений в пространстве;
 виды движений в пространстве;
 отличия движений в пространстве от движений на плоскости.
Тип урока: практическая работа.
Теоретический материал для изучения.
1. Определение движения в пространстве
Допустим, что каждой точке А пространства поставлена в соответствие точка А
1 пространства. При этом каждая точка А
1
поставлена в соответствие какой-то точке А.
Тогда говорят, что задано отображение пространства на себя. При этом точка А перешла в точку А
1
. А
1
- образ точки А.
Преобразованием пространства называется взаимно-однозначное отображение пространства на себя.
Два преобразования называются равными, если образы любой точки при этих преобразованиях совпадают.
Точка А называется неподвижной точкой при некотором преобразовании f, если при этом преобразовании она отображается на себя.
Фигура F называется неподвижной фигурой при некотором преобразовании f, если при этом преобразовании она отображается на себя.
Преобразование пространства, которое каждую точку отображает на себя, называется тождественным преобразованием. Оно обычно обозначается Е. При

тождественном преобразовании все точки и все фигуры пространства являются неподвижными.
Для любых двух преобразований можно рассмотреть третье, которое получается последовательным применением этих преобразований. Например, если преобразование f отображает точку М на точку М', а преобразование g отображает точку М' на точку M'', то преобразование f°g отображает точку М на точку M'': f°g(М)=g(f(M))=M''. f°g - композиция преобразований f и g.
Под движением пространства понимается отображение пространства на себя, при котором любые две точки A и B переходят (отображаются) в некие точки A
1
и B
1
так, что |AB|=|A
1
B
1
|.
Иными словами, движение пространства — это отображение пространства на себя, сохраняющее расстояния между точками. Так же, как и для движения на плоскости, можно доказать, что при движении в пространстве
- прямые переходят в прямые,
- полупрямые — в полупрямые,
- отрезки — в отрезки,
- сохраняются углы между прямыми.
Новое свойство движения в пространстве: движение переводит плоскости в плоскости.
В пространстве, так же как и на плоскости, две фигуры называются равными, если они совмещаются движением.
2. Виды движений.
Центральная симметрия.
Центральная симметрия в пространстве задается и определяется так же, как и на плоскости

Определение:
Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно точки O, называется
центральной симметрией пространства относительно точки O. При этом точка O
отображается на себя и называется центром симметрии.
Рисунок 1 – Центральная симметрия
На рисунке точка О – центр симметрии, АО=А
1
О, ВО=В
1
О, СО=С
1
О, DО=D
1
О (по определению точки, симметричной данной).
Центральная симметрия имеет только одну неподвижную точку – центр
симметрии.
Сформулируем некоторые свойства центральной симметрии:
1) Прямая, проходящая через центр симметрии, отображается на себя.
2) Прямая, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей прямую.
3) Плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя (то есть является неподвижной плоскостью этой центральной симметрии).
4) Плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость.
3. Осевая симметрия (симметрия относительно прямой):
Определение:

Точка M' пространства, не лежащая на прямой m, называется симметричной точке М относительно прямой m, если отрезок ММ' перпендикулярен этой прямой и делится ею пополам.
Определение:
Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно прямой m, называется
осевой симметрией пространства относительно прямой m. Прямая m отображается на себя и называется осью симметрии.
Рисунок 2 – Осевая симметрия
Неподвижные точки осевой симметрии - любая точка прямой m.
Неподвижные прямые осевой симметрии:
1) сама прямая m
2) любая прямая, перпендикулярная прямой m
Неподвижные плоскости осевой симметрии:
1) любая плоскость, проходящая через прямую m
2) любая плоскость, перпендикулярная прямой m.
Зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости):
Определение:

Точка M' пространства, не лежащая на плоскости α, называется симметричной точке
М относительно плоскости α, если отрезок ММ' перпендикулярен этой плоскости и делится ею пополам.
Определение:
Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства отображается на точку, симметричную ей относительно плоскости α, называется
зеркальной симметрией пространства относительно плоскости α. Плоскость α
отображается на себя и называется плоскостью симметрии.
Рисунок 3 – Зеркальная симметрия
Неподвижные точки зеркальной симметрии - любая точка плоскости α.
Неподвижные прямые зеркальной симметрии:
1) любая прямая плоскости α
2) любая прямая, перпендикулярная плоскости α
Неподвижные плоскости зеркальной симметрии:
1) сама плоскость α
2) любая плоскость, перпендикулярная плоскости α.
Параллельный перенос (точки переносятся на данный вектор):

Рисунок 4 – параллельный перенос
Определение Пусть дан вектор .Преобразование пространства, при котором каждая точка пространства M, отображается на такую точку M', что выполняется равенство
, называется параллельным переносом на вектор .
Перенос на нулевой вектор является тождественным преобразованием.
Параллельный перенос отображает прямую на параллельную ей прямую либо на себя; плоскость на параллельную ей плоскость либо на себя.
Неподвижных точек параллельный перенос на ненулевой вектор не имеет.
Неподвижными прямыми при параллельном переносе на вектор являются прямые, параллельные этому вектору.
Неподвижными плоскостями при параллельном переносе на вектор являются плоскости, параллельные этому вектору.
Поворот на данный угол вокруг данной оси:
Определение:
Поворотом пространства на угол φ вокруг прямой n называется такое преобразование пространства, при котором любая точка прямой остается

неподвижной и в любой плоскости, перпендикулярной прямой n, осуществляется поворот этой плоскости на угол φ вокруг точки ее пересечения с прямой n.
Рисунок 5 – Поворот вокруг прямой
Неподвижными точками являются любая точка оси вращения.
Неподвижной прямой является ось поворота.
Неподвижной плоскостью является любая плоскость, перпендикулярная оси поворота.
Поворот вокруг оси на угол 180 0
является осевой симметрией.
Задание. Из теоретического материала ответить письменно на
вопросы.
1.Что называется движением в пространстве;
3.Назвать виды движений в пространстве;
2.Назвать свойства движений в пространстве;
4. Что называется тождественным преобразованием.
5.Подумайте,имеет ли тело человека симметрию. Если да, то какую?
Литература: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. :
Просвещение, 2017. – 255, сс. 121-126.
Дата сдачи-21.05. 20г на почту
[e-mail]
или скан-фото тетради на WhatsApp [phone]

Урок 186. Практическая работа. Параллельное
проектирование
Цель урока: формирование знаний о параллельное проектирование, дать представление об изображении пространственных фигур на плоскости.
Тип урока: практическая работа.
Ход урока.
Теоретический материал для изучения.
Параллельное проектирование и его свойства
Для изображения пространственных фигур в стереометрии пользуются параллельным проектированием. Что это такое?
Пусть дано произвольная плоскость α, точка А (рис. 83) и прямая h, которая пересекает плоскость α. Проведем через точку А прямую, которая параллельна h, она пересекает плоскость α в некоторой точке А1. Найденную таким образом точку А; называют параллельной проекцией точки А на плоскость α в направлении h. Прямую h называют проектирующей прямой, плоскость α - плоскостью проекции.
Чтобы построить проекцию какой-либо фигуры, надо спроектировать на плоскость проекции каждую точку данной фигуры (рис. 84).
Приведем некоторые свойства параллельного проектирования.
Теорема.
Если отрезки, которые проектируются, не параллельны проектирующей прямой, то
при параллельном проектировании:

1) отрезки изображаются отрезками;
2) параллельные отрезки изображаются параллельными отрезками или отрезками
одной прямой;
3) отношение длин параллельных отрезков и отрезков одной прямой сохраняется.
Доказательство .
1) Все прямые, которые проектируют точки отрезка АВ лежат в одной плоскости β, которая пересекает плоскость α по прямой А1В1 (рис. 85). Следовательно, проекцией отрезка есть отрезок, причем произвольная точка С отрезка АВ изображается точкой С1 отрезка А1В1.
2) Пусть отрезки АВ и CD, которые проектируются, параллельные. Все прямые, которые их пересекают и параллельные h, заполняют или части одной плоскости (рис. 86), или параллельных плоскостей (рис. 87).
Эти части плоскостей пересекают плоскость а соответственно или по отрезкам одной прямой, или по параллельным отрезкам А1В1 и С1D1.
3) Если отрезки АВ и СВ, которые проектируют, размещены на одной прямой (см. рис. 85), то по теореме о пропорциональных отрезках имеем: А1С1 : С1B1 = АС : СВ.
Если отрезки АВ и CD параллельны, а их проекции А1B1 и C1D1 лежат на одной прямой (см, рис. 86), то АВВ2A2 - параллелограмм. В этом случае A1B1 : C1D1 = A2B2 : CD = AB : CD.

Наконец, если проекции А1В1 и С1D1 данных отрезков АВ и CD не лежат на одной прямой (см. рис. 87), то построим параллелограмм CDKB. Его проекция - параллелограмм СDKВ. Итак, имеем: А1В1 : C1D1 = А1В1 : В1К1 = АВ : ВК = АВ : CD.
Задание. Из теоретического материала ответить письменно на
вопросы.
1. При каком положении отрезка относительно плоскостей проекции его проекция: а) равна самому отрезку; б) есть точка?
2. Отрезок проецируется параллельно на плоскость. Как проектируется середина отрезка на эту плоскость?
3. Может ли проекция отрезка быть больше отрезка, который проектируют?
4. Могут не параллельные прямые проектироваться в параллельные прямые?
5. Как расположены точки А и В относительно плоскости CDD1C1 (рис. 88)?
6. Плоскость фигуры не параллельна направлению проектирования. В какую фигуру проектируется: а) треугольник; б) параллелограмм?
7.Записать в тетрадь определение:
Изображением фигуры называется любая фигура, подобная параллельной проекции данной фигуры на некоторую плоскость.
Литература: Геометрия. 10-11 классы: учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни. Атанасян Л. С.
Дата сдачи-21.05. 20г на почту
[e-mail]
или скан-фото тетради на WhatsApp [phone]

Урок 187. Практическая работа. Прямые,
плоскости в пространстве.
Цель урока: применение знаний к решению задач.
Тип урока: практическая работа.
Выполнить задания 1и 2 письменно в тетради.
Задание.1 Отрезок А1B1 - параллельная проекция отрезка АВ на плоскость α (рис. 89). Точка С лежит на отрезке АВ. Укажите, какие из приведенных утверждений правильные, а какие - неправильные: а) проекция точки С на плоскость α не принадлежит отрезку А1B1; б) отрезки АВ и А1В1 не лежат в одной плоскости; в) если AC : BC = 2 : 3, то А1C1 : С1В1 = 2 : 3; г) если АС = СВ, то А1С1 = 2С1В1; д) если АС = 3 см, АВ =12 см, то А1С1 : А1В1 =1: 4.
Задание2.
Постройте сечение куба
ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки А, С и середину отрезка А1В1. Найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см
Литература: Геометрия. 10-11 классы: учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни. Атанасян Л. С.
Дата сдачи-21.05. 20г на почту
[e-mail]
или скан-фото тетради на WhatsApp [phone]

Урок188.Многогранники.Вершины, ребра, грани
многогранника.
Цель: формирование знаний .
Тип урока: изучение нового материала.
Ход урока.
Определение многогранника
Определение. По верхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.
Примеры многогранников
Рассмотрим следующие примеры многогранников:
1. Пирамида, например, тетраэдр ABCD – это поверхность, составленная из четырех треугольников: АВС, ADB,
BDC и ADC (рис. 1).
Рис. 1 2. Параллелепипед ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
– это поверхность, составленная из
шести
параллелограммов (рис. 2).(например,и
куб, у которого каждая грань квадрат, а ребра
все равны.)
Рис. 2
Основные элементы многогранников
Основными элементами многогранника являются грани, ребра, вершины.
Грани – это многоугольники, составляющие многогранник.
Ребра – это стороны граней.
Вершины – это концы ребер.

Рассмотрим тетраэдр ABCD (рис. 1). Укажем его основные элементы.
Грани: треугольники АВС, ADB, BDC, ADC.
Ребра: АВ, АС, ВС, DC, AD, BD.
Вершины: А, В, С, D.
Рассмотрим параллелепипед ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
(рис. 2).
Грани: параллелограммы АА
1
D
1
D, D
1
DСС
1
, ВВ
1
С
1
С, АА
1
В
1
В, ABCD, A
1
B
1
C
1
D
1
.
Ребра: АА
1
, ВВ
1
, СС
1
, DD
1
, AD, A
1
D
1
, B
1
C
1
, BC, AB, A
1
B
1
, D
1
C
1
, DC.
Вершины: A, B, C, D, A
1
,B
1
,C
1
,D
1
.
Площадь поверхности многогранника
.
Определение. Площадью полной поверхности называется сумма площадей
всех его граней. Обозначается S
полн
.
Домашнее задание. 1.Нарисовать многогранник и назвать его элементы.
2.Куб имеет ребро 2м. Найдите полную поверхность куба.
Литература: Геометрия. 10-11 классы: учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни. Атанасян Л. С.
Дата сдачи-21.05. 20г на почту
[e-mail]
или скан-фото тетради на WhatsApp [phone]