Алгебра высказываний
 Скачать 3.05 Mb.
|
|
Основы логики Алгебра высказываний Автор: Сергеев Евгений Викторович МОУ СОШ №4 г. Миньяра Челябинской области sergeev73@mail.ru http://shk4-minyar.ucoz.ru Алгебра высказываний Алгебра высказываний была разработана для того, чтобы определять истинность или ложность составных высказываний, не вникая в их содержание Логические переменные Логические переменные – простые высказывания, содержащие только одну мысль. Обозначаются буквами латинского алфавита: A, B, C… Логические переменные могут принимать лишь два значения: «ИСТИНА» (1) или «ЛОЖЬ» (0) Логические переменные Например, два простых высказывания: А = «2 2 = 4» истина (1) В = «2 2 = 5» ложь (0) являются логическими переменными А и В В алгебре высказываний высказывания обозначаются именами логических переменных , которые могут принимать лишь два значения: « ИСТИНА » (1) или « ЛОЖЬ » (0) В алгебре высказываний над логическими переменными (над высказываниями) можно производить определенные логические операции , в результате которых получаются новые высказывания Составные высказывания Высказывания, состоящие из нескольких простых суждений и содержащие в себе более, чем одну простую мысль, называются логическими функциями Обозначаются F(A,B,C…) Также могут принимать значения «ИСТИНА» или «ЛОЖЬ» в зависимости от того, какие значения имеют входящие в их состав логические переменные и от действий над ними Логические операции Конъюнкция (логическое умножение, «И») Дизъюнкция (логическое сложение, «ИЛИ») Инверсия (логическое отрицание, «НЕ») Импликация (логическое следование, «Если А , то В ») Эквивалентность (логическое равенство, « А тогда и только тогда, когда В ») Объединение двух или нескольких высказываний в одно с помощью союза «И» называется операцией логического умножения , или конъюнкцией Логическая функция, полученная в результате конъюнкции , истинна тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него логические переменные Конъюнкция. Определите истинность логической функции 1) «2 2 = 5» И «3 3 = 10» 2) «2 2 = 5» И «3 3 = 9» 3) «2 2 = 4» И «3 3 = 10» 4) «2 2 = 4» И «3 3 = 9» Истинна только функция (4) Запись конъюнкции на формальном языке алгебры высказываний F(A,B) = A & B или F(A,B) = A B Также может встретиться запись, типа: F(A,B) = A * B или F(A,B) = A and B Значение логической функции определяется по ее таблице истинности Таблица истинности показывает какие значения принимает логическая функция при всех возможных значениях логических переменных Таблица истинности для конъюнкции A B A B 2 2 = 5 3 3 = 10 ЛОЖЬ 2 2 = 5 3 3 = 9 ЛОЖЬ 2 2 = 4 3 3 = 10 ЛОЖЬ 2 2 = 4 3 3 = 9 ИСТИНА Таблица истинности для конъюнкции A B A B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Объединение двух или нескольких высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ» называется операцией логического сложения , или дизъюнкцией Логическая функция, полученная в результате дизъюнкции , истинна тогда, когда истинна хотя бы одна из входящих в него логических переменных Дизъюнкция. Определите истинность логической функции 1) «2 2 = 5» ИЛИ «3 3 = 10» 2) «2 2 = 5» ИЛИ «3 3 = 9» 3) «2 2 = 4» ИЛИ «3 3 = 10» 4) «2 2 = 4» ИЛИ «3 3 = 9» Ложна только функция (1), остальные истинны Запись дизъюнкции на формальном языке алгебры высказываний F(A,B) = A B Также может встретиться запись, типа: F(A,B) = A + B или F(A,B) = A or B Таблица истинности для дизъюнкции A B A B 2 2 = 5 3 3 = 10 ЛОЖЬ 2 2 = 5 3 3 = 9 ИСТИНА 2 2 = 4 3 3 = 10 ИСТИНА 2 2 = 4 3 3 = 9 ИСТИНА Таблица истинности для дизъюнкции A B A B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Присоединение частицы «НЕ» к высказыванию называется операцией логического отрицания , или инверсией Логическое отрицание ( инверсия ) делает истинное высказывание ложным, а ложное – истинным [логическая отрицательная единица, перевертыш] Инверсия Пусть A = «2 2 = 4» – истинное высказывание, тогда F(A) = «2 2 ≠ 4» – ложное высказывание Запись инверсии на формальном языке алгебры высказываний F(A) = ¬A или F(A) = Ā Также может встретиться запись, типа: F(A) = not А Таблица истинности для инверсии А ¬А 0 1 1 0 Таблицы истинности основных логических функций Логическое умножение A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 A B 0 0 0 1 Логическое сложение Логическое отрицание A 0 1 ¬A 1 0 A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 А В 0 1 1 1 Дополнительные логические функции Импликацию и эквивалентность можно выразить через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание, поэтому их называют дополнительными логическими функциями: Импликация: А → В = ¬A В или А В = ¬A В или А В = ¬A В Эквивалентность: А ↔ В = (¬A В) (¬B A) или А В = (¬A В) (¬B A) или А ≡ В = (¬A В) (¬B A) Импликация Объединение двух высказываний, из которых первое является условием, а второе – следствием из него, называется импликацией (логическим следованием) Импликация Импликация ложна тогда и только тогда, когда условие истинно, а следствие ложно Пример: Если выучишь материал, то сдашь зачет Это высказывание ложно только тогда, когда материал выучен, а зачет не сдан, т.к. сдать зачет можно и случайно, например если попался единственный знакомый вопрос или удалось воспользоваться шпаргалкой Таблица истинности для импликации A B A → B 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Эквивалентность Эквивалентность – это логическая операция, объединяющая два простых высказывания в одно составное и которое является истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно либо истинны, либо ложны. Таблица истинности для эквивалентности A B A B 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Переместительный Дизъюнкция: X Y ≡ Y X Конъюнкция: X Y ≡ Y X Основные законы алгебры высказываний Сочетательный Дизъюнкция: X (Y Z) ≡ (X Y) Z Конъюнкция: X (Y Z) ≡ (X Y) Z Основные законы алгебры высказываний Распределительный Дизъюнкция: X (Y Z) ≡ X Y X Z Конъюнкция: X (Y Z) ≡ (X Y) (X Z) Основные законы алгебры высказываний Правила де Моргана Дизъюнкция: ¬(X Y) ≡ ¬X ¬Y Конъюнкция: ¬(X Y) ≡ ¬X ¬Y Основные законы алгебры высказываний Идемпотенции Дизъюнкция: X X ≡ X Конъюнкция: X X ≡ X Основные законы алгебры высказываний Поглощения Дизъюнкция: X (X Y) ≡ X Конъюнкция: X (X Y) ≡ X Основные законы алгебры высказываний Склеивания Дизъюнкция: (X Y) (¬X Y) ≡ Y Конъюнкция: (X Y) (¬X Y) ≡ Y Основные законы алгебры высказываний Переменная со своей инверсией Дизъюнкция: X ¬X ≡ 1 Конъюнкция: X ¬X ≡ 0 Основные законы алгебры высказываний Операция с константами Дизъюнкция: X 0 ≡ X, X 1 ≡ 1 Конъюнкция: X 0 ≡ 0, X 1 ≡ X Основные законы алгебры высказываний Двойного отрицания ¬(¬X) ≡ X Основные законы алгебры высказываний Порядок действий 1. Действия в скобках 2. Отрицание 3. Конъюнкция 4. Дизъюнкция 5. Импликация 6. Эквивалентность |