ЛАБ_Программно-аппаратный комплекс в сейсморазведке (1). Алгоритмы решения задач сейсморазведки
 Скачать 1.43 Mb.
|
|
МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Российский государственный геологоразведочный университет имени Серго Орджоникидзе» (МГРИ) Факультет геологии и геофизики нефти и газа Кафедра геофизики Романов В.В. АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ СЕЙСМОРАЗВЕДКИ Учебно-методическое пособие Москва, 2022 2 УДК 550.83 Рекомендовано Учёным советом факультета Геологии и геофизики нефти и газа в качестве учебно-методического пособия для обучающихся по направлению подготовки 09.03.03 Прикладная информатика(прикладной бакалавриат). Протокол № 4 от 24.05.2022 г. Автор Романов В.В. — доцент кафедры геофизики Российского государственного геологоразведочного университета имени Серго Орджоникидзе (МГРИ). Рецензент Новиков П.В. - кандидат технических наук, заведующий кафедрой геофизики Российского государственного геологоразведочного университета имени Серго Орджоникидзе (МГРИ). Романов В.В. Алгоритмы решения задач сейсморазведки. — М.: МГРИ, 2022. – 35 с. Учебно-методическое пособие адресовано обучающимся по направлению подготовки по направлению подготовки 09.03.03 Прикладная информатика (прикладной бакалавриат). Учебно-методическое пособие предназначено для студентов, изучающих дисциплину «Программно-аппаратный комплекс в сейсморазведке». В пособии дано подробное описание порядка выполнения лабораторных работ, описаны теоретические основы обработки результатов измерений. © Романов В.В. © ФГБОУ ВО «Российский государственный геологоразведочный университет имени Серго Орджоникидзе» (МГРИ), 2022 3 1ЛР Колебательное движение Цель работы Получить понимание особенностей механического колебания. Термины и определения • Частица — бесконечно малая часть горной породы, обладающая массой — материальная точка. • Устойчивое равновесие — состояние, при котором частица, отклонённая от положения равновесия, будет стремится вернуться к нему. • Смещение u, мкм — вектор, показывающий положение частицы относительно положения устойчивого равновесия. На плоскости имеет две компоненты — x, y. • Движение — изменение смещения частицы во времени. • Скорость v, м/с— быстрота изменения смещения во времени. Знак скорости указывает направление движения — вдоль выбранной оси (+) или в обратную сторону(–). 𝑣 𝑥 = 𝛥𝑢 𝑥 𝛥𝑡 ; 𝑣 𝑦 = 𝛥𝑢 𝑦 𝛥𝑡 • Равномерное движение — движение с постоянной скоростью и направлением. • Колебательное движение — попеременное и разнонаправленное движение. • График колебаний — зависимость колебательной величины (смещения или скорости) от времени. • Траектория — линия, вдоль которой движется колеблющаяся частица. • Сигнал – переменная во времени величина, несущая информацию. Переменная величина — уровень сигнала, время — аргумент. • Фаза φ, рад — угол, выражающий состояние колеблющейся частицы в заданный момент времени. Равные фазы колебания различаются на 2π. • Начальная фаза φ 0 , рад — — состояние колеблющейся частицы в нулевой момент времени. 4 • Периодичность — повторяемость фаз колебаний. • Период T, с— время одного полного колебания, за которое фаза сменяется на равную ей фазу. • Частота f, Гц — количество колебаний в секунду. Величина, обратная периоду. 𝑓 = 1 𝑇 • Круговая частота 𝜔, рад/с — скорость изменения фазы во времени. 𝜔 = ∆𝜑 𝛥𝑡 = 2𝜋 𝑇 = 2𝜋𝑓 • Амплитуда A, мкм — максимальное значение компоненты смещения • Гармоническое колебание — колебательное движение, совершаемое по гармоническому закону: 𝑢 = 𝐴 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑 0 ) = 𝐴 𝑠𝑖𝑛 𝜑 • Сдвиг фазы Δφ — разность фаз двух колебаний. Колебания с нулевым фазовым сдвигом называются синфазными. Дано Частица совершает колебательное движение с амплитудой A, мкм и частотой f, Гц. Задание Вычислить и построить графики колебательного движения и траектории частицы при движении по прямой линии и по окружности. Ход решения 1) Вычислить и занести в таблицу основные параметры колебательного движения (Таблица 1.1): Таблица 1.1 Параметры колебательного движения Параметр Значение А, мкм f, Гц 5 𝜔 , рад/с T, мс 2) Вычислить и построить графики колебаний для компонент смещения u x , u y частицы горной породы, совершающей колебательное движение по прямой линии(Рисунок 1.1). Время изменять от 0 c шагом в 2 мс, пока частица не вернётся в первоначальное состояние. 𝑢 𝑥 = 𝐴 sin (𝜔𝑡 + 𝜋 2 ) 𝑢 𝑦 = 𝐴 sin (𝜔𝑡 + 𝜋 2 ) 3) Вычислить и построить графики колебаний для компонент смещения u x , u y частицы горной породы, совершающей движение по окружности(Рисунок 1.2). Время изменять от 0 с шагом в 2 мс, пока частица не вернётся в первоначальное состояние. 𝑢 𝑥 = 𝐴 sin (𝜔𝑡 + 𝜋 2 ) 𝑢 𝑦 = 𝐴 sin(𝜔𝑡) 4) Построить траектории для п 1 и 2 (Рисунок 1.1, 1.2). 5) Вычислить и указать — сдвиг фазы для п. 1–2. 𝛥𝜑 = 𝜑 𝑦 − 𝜑 𝑥 6 Рисунок 1.1 — Графики колебаний и траектория при движении по прямой 7 Рисунок 1.2— Графики колебаний и траектория при движении по окружности Контрольные вопросы 1. Колебательные величины. 2. Особенности колебательного движения. 3. График колебаний и траектория. 4. Параметры гармонического колебания. 8 2ЛР Затухающее колебательное движение Цель работы Овладеть технологией расчёта импульса колебательного движения. Задачи Вычислить импульс Берлаге. Термины и определения • Трасса — то же, что и график колебательного движения. • Велосиграмма — трасса, на которой отображена зависимость колебательной скорости от времени. 𝑣 = 𝑓(𝑡) • Импульс — затухающее колебательное движение. • Дискретный сигнал — сигнал, значения которого определены через постоянный промежуток времени — шаг дискретизации Δt, мс. • Отсчёт — значение дискретного сигнала. • Амплитуда А —максимальный по модулю отсчёт импульса: 𝐴 = 𝑠 𝑀𝐴𝑋 • Параметр затухания импульса α — относительная безразмерная величина, определяющая скорость убывания экстремальных значений импульса. • Коэффициент затухания импульса β, c -1 — величина, определяющая скорость убывания экстремальных значений импульса. 𝛽 = 𝛼𝑓 • Уравнение Берлаге — определяет импульс сейсмической волны с нулевым временем вступления. 𝑠 = 𝑡 ⋅ 𝑒 −𝛽𝑡 ⋅ sin 𝜔𝑡 • Длина импульса L И , мс — интервал времени от начала импульса до полного прекращения колебаний. • Количество отсчётов импульса N И — количество отсчётов, приходящихся на импульс: 9 𝑁 И = 𝐿 И 𝛥𝑡 + 1 • Индекс отчёта i — номер отсчёта, индексация начинается с нуля. • Время записи отсчёта t i : 𝑡 𝑖 = 𝛥𝑡 ⋅ 𝑖 • Нормирование импульса — приведение импульса к заданной амплитуде А. Все отсчёты импульса умножаются на коэффициент k: 𝑘 = 𝐴 𝐴 0 𝑠′ = 𝑠 ⋅ 𝑘 А 0 — амплитуда сигнала до нормирования Дано Импульс с амплитудой A и частотой f. Длина импульса L И = 4,0·T, параметр затухания α = 2,2, шаг дискретизации Δt = 1 мс. Колебательная величина — скорость v, единица измерения — мкм/с. Задание 1. Представить параметры импульса в табличной форме. 2. Вычислить и построить импульс сейсмической волны. Ход решения 1. Вычислить параметры импульса Берлаге — период, коэффициент затухания, круговую частоту. 2. Определить количество отсчётов импульса N И 3. Вычислить значения импульса Берлаге, нормировать импульс к амплитуде 4. Построить полученную велосиграмму. Отчетные материалы 1. Таблица параметров импульса (Таблица 2.1): Таблица 2.1 Параметры импульса Параметр Значение 𝜔, рад/с T, мс 10 Δt, мс L И , мс N И 𝛽, с -1 2. Велосиграмма импульса (Рисунок 2.1). Рисунок 2.2— Велосиграмма импульса Берлаге Контрольные вопросы 1. Назовите параметры дискретного сигнала. 2. Напишите уравнение Берлаге. Какие величины в него входят? 11 3ЛР Сейсмограмма прямой волны Цель работы Овладеть технологией расчёта сейсмограммы волны. Задачи 1. Вычислить опорный импульс, годограф и амплитудный график прямой волны; 2. Вычислить и построить сейсмограмму прямой волны. Термины и определения • Сейсмическая волна — распространение энергии колебаний частиц горных пород в пространстве. Во всякой точке, до которой дошла волна, наблюдается импульс. Для возбуждения волны необходим источник, для записи колебаний — сейсморазведочная станция и несколько сейсмоприёмников. Сейсмоприёмники преобразуют колебательное движение частиц в электрический сигнал, а станция управляет сбором информации от сейсмоприёмников. Электрические сигналы одновременно передаются на станцию по каналам связи, например по многожильному кабелю — сейсморазведочной косе. • Источники и приёмники располагают на линии, называемой профилем в пунктах с известными координатами х П . Источник волны размещается в пункте возбуждения ПВ и имеет координату х ПВ . Сейсмоприёмник размещается в пункте приёма и имеет координату х ПП • Пара источник/приёмник — система из источника и приёмника, используемая для записи трассы, содержащей импульс сейсмической волны. Параметры пары: o Координата ПВ — х ПВ o Координата ПП — х ПП o Удаление l, м — разность координат ПП и ПВ 𝑙 = 𝑥 ПВ − 𝑥 ПП o Дистанция d, м — расстояние между ПВ и ПП, модуль удаления: 12 𝑑 = |𝑥 ПВ − 𝑥 ПП | = |𝑙| • Приёмная линия — линия, содержащая N одновременно работающих сейсмоприёмников. Параметры линии: o Шаг приёма Δx ПП , м — расстояние между соседними пунктами приёма. o Порядок приёмной линии N — количество ПП в линии. o Длина приёмной линии L П , м— расстояние между крайними пунктами приёма линии. 𝐿 П = (𝑁 − 1)𝛥𝑥 ПП • Координата ПП в приёмной линии х ППk (k — номер ПП). 𝑥 ПП𝑘 = 𝑥 ПП1 + (𝑘 − 1)𝛥𝑥 ПП • Расстановка — система из источника и приёмной линии. В расстановку входит N пар источник/приёмник с общей координатой ПВ, результатом работы расстановки является сейсмограмма — совокупность N трасс. • Скорость V, м/с — расстояние, преодолеваемое волной за 1 с. • Траектория волны — линия, вдоль которой распространяется волна от ПВ к ПП. • Пройдённый путь r, м — длина траектории волны. • Время вступления t 1 , с — время прихода волны в пункт приёма, также время начала колебательного движения. 𝑡 1 = 𝑟 𝑉 • Годограф — график зависимости времени вступления волны от координаты пункта приёма. Уравнение годографа: 𝑡 1 = 𝜓(𝑥 ПП ) • Прямая волна — сейсмическая волна, распространяющаяся от источника к приёмнику по наиболее короткой траектории — прямой линии. Уравнение годографа прямой волны: 𝑡 1 = 𝑑 𝑉 13 • Амплитудный график — зависимость амплитуды волны от координаты пункта приёма. 𝐴 = 𝜓(𝑥 ПП ) • Уравнение амплитудного графика для прямой волны (A ПВ — амплитуда волны в источнике): 𝐴 = 𝐴 ПВ 𝑑 • Относительное время τ, с — время, отсчитываемое от вступления волны 𝜏 = 𝑡 − 𝑡 1 • Длина записи L З , с — время регистрации сигналов от сейсмоприёмников. • Смещение по аргументу сигнала — перемещение сигнала по оси времени без изменения отсчётов. Смещение реализуется заменой аргумента на относительное время: 𝑠 = 𝜏 ⋅ 𝑒 −𝛽𝜏 ⋅ sin 𝜔𝜏 • Колебания, создаваемые сейсмической волной, не могут начаться до её вступления, отсюда: 𝜏 ≥ 0 𝑠(𝜏 < 0) = 0 • Опорный импульс — импульс волны, нормированный к амплитуде 1 и без смещения по аргументу. • Смещение по уровню сигнала — добавление ко всем отсчётам сигнала постоянного значения 𝑠 𝑖 = 𝑠 𝑖 + 𝐶 Дано Импульс с частотой f, длиной L И = 2,5·T, параметром затухания α = 3,5. Шаг дискретизации Δt = 1 мс. Амплитуда волны в источнике А ПВ = 10 5 мкм/с, скорость волны V. Координата х ПВ = –100 м, первого ПП в линии х ПП1 = 0 м, шаг приёма Δх ПП = 100 м, порядок приёмной линии N = 6. 14 Задание 1. Построить опорный импульс сейсмической волны. 2. Построить годограф и амплитудный график. 3. Построить сейсмограмму прямой волны. Ход решения 1. Вычислить импульс Берлаге, определить его амплитуду A 0 , нормировать к 1. 2. Вычислить годограф и амплитудный график прямой волны, максимальную амплитуду на сейсмограмме А MAX и максимальное время вступления t MAX 3. Найти масштабный множитель M для трасс сейсмограммы: 𝑀 = 1 𝐴 𝑀𝐴𝑋 ⋅ 𝐴 0 4. Определить необходимую длину записи L З и количество отсчётов в трассе N T : 𝐿 З = 𝑡 𝑀𝐴𝑋 + 𝐿 И 𝑁 Т = 𝐿 З 𝛥𝑡 + 1 5. Вычислить отсчёты трасс сейсмограммы: 𝑠 𝑖𝑘 = 𝑀 · 𝐴 𝑘 · 𝜏 𝑖 ⋅ 𝑒 −𝛽𝜏 𝑖 ⋅ sin 𝜔𝜏 𝑖 + 𝑘 Отчетные материалы 1. Опорный импульс Берлаге (Рисунок 3.1). 15 Рисунок 3.1— Опорный импульс 2. Таблица параметров волны на сейсмограмме (Таблица 3.1). Таблица 3.1 Параметры волны на сейсмограмме x ПВ , м k x ПП , м l, м d, м t 1 , с t 1 , мс A, мкм/с 1 2 3 4 5 6 3. Годограф прямой волны (Рисунок 3.2). 4. Амплитудный график прямой волны (Рисунок 3.3). 5. Сейсмограмма прямой волны (Рисунок 3.4). 16 Рисунок 3.2— Годограф прямой волны Рисунок 3.3— Амплитудный график прямой волны 17 Рисунок 3.4 — Сейсмограмма прямой волны. Годограф выделен пунктирной линией. Контрольные вопросы 1. Что такое волна? 2. Для чего предназначены — источник, сейсмоприёмник, сейсморазведочная станция и коса? 3. Пара источник/приёмник. Её параметры. 4. Что такое расстановка, из чего она состоит, параметры расстановки? 5. Что такое прямая волна, какой у неё годограф и амплитудный график? 6. В чем особенности регистрации одной трассы и сейсмограммы? 18 4ЛР Сейсмограмма отражённой волны Цель работы Овладеть технологией расчёта сейсмограммы отражённых волн. Задачи 1. Вычислить опорный импульс, годограф и амплитудный график отражённой волны; 2. Вычислить и построить сейсмограмму отражённой волны. Термины и определения • Однородная среда — среда, в которой скорость сейсмических волн всюду одинакова. Скорость сейсмических волн в однородной среде называется истинной скоростью. • Неоднородная среда — среда с непостоянным значением истинной скорости. • Слой — часть неоднородной среды с относительным постоянным значением истинной скорости. Слой сверху и снизу слой ограничен плоскими поверхностями — сейсмическими границами. Верхняя граница слоя называется кровлей, нижняя — подошвой. • Слоистая среда — модель неоднородной среды, состоящая из N однородных слоёв. Слои нумеруются сверху вниз, j — номер слоя. Границы также нумеруются сверх вниз, номер границы совпадает с номером слоя, подошвой которого она является. Количество границ равно N–1. • Глубина границы H j — кратчайшее расстояние от поверхности до границы. • Мощность слоя h j — кратчайшее расстояние между кровлей и подошвой слоя: ℎ 𝑗 = 𝐻 𝑗 − 𝐻 𝑗−1 ℎ 1 = 𝐻 1 19 • Пластовая скорость V j — среднее значение истинной скорости в пределах слоя. • Акустическая жёсткость слоя γ j — произведение пластовой скорости на плотность слоя. 𝛾 𝑗 = 𝑉 𝑗 ⋅ 𝜌 𝑗 • Сейсмическая граница — поверхность, на которой резко изменяется пластовая скорость или акустическая жёсткость. • Скоростная граница — граница, на которой изменяется пластовая скорость. 𝑉 𝑗+1 ≠ 𝑉 𝑗 • Отражающая граница — граница, на которой изменяется акустическая жёсткость. 𝛾 𝑗+1 ≠ 𝛾 𝑗 • Луч — линия, вдоль которой распространяется энергия волны. В однородной среде или слое луч имеет форму прямой. • Угол луча α — угол, откладываемый от нормали, опущенной на сейсмическую границу в направлении распространении волны. 20 • Отражённая волна — сейсмическая волна, образованная на отражающей границе. Её лучевая схема состоит из двух лучей — падающего и отражённого, которые соответственно характеризуются углами падения и отражения. Угол отражения равен углу падения. • Пройденный путь волны, отражённой от первой границы 𝑟 = √4𝐻 1 2 + 𝑙 2 • Уравнение годографа волны, отражённой от первой границы 𝑡 1 = √𝑡 01 2 + ( 𝑙 𝑉 1 ) 2 • Время нормального отражения t 0 — время вступления отражённой волны, измеренной парой источник/приёмник с нулевым удалением. Для первой отражающей границы: 𝑡 01 = 2𝐻 1 𝑉 1 • Уравнение амплитудного графика для прямой волны (A ПВ — амплитуда волны в источнике): 𝐴 = 𝐾 𝐴 ПВ 𝑟 = 𝐾 𝐴 ПВ √4𝐻 1 2 + 𝑙 2 • Коэффициент отражения K — коэффициент, определяющий уменьшение амплитуды волны при отражении. 𝐾 𝑗 = 𝛾 𝑗 − 𝛾 𝑗+1 𝛾 𝑗 + 𝛾 𝑗+1 • Уравнение Гарднера — эмпирическая зависимость между плотностью и пластовой скоростью. 21 𝝆 = 𝟑𝟎𝟗 ⋅ 𝑽 𝟎,𝟐𝟓 Дано Импульс с частотой f, длиной L И = 3·T, параметром затухания α = 3,0. Шаг дискретизации Δt = 1 мс. Амплитуда волны в источнике А ПВ = 10 5 мкм/с. Среда двухслойная, заданная параметрами — H 1 , V 1 , V 2 . Координата х ПВ = 250 м, первого ПП в линии х ПП1 = 0 м, шаг приёма Δх ПП = 100 м, порядок приёмной линии N = 6. Задание 1. Построить опорный импульс сейсмической волны. 2. Построить годограф и амплитудный график. 3. Построить сейсмограмму. Отчетные материалы 1. Опорный импульс Берлаге. 2. Параметры слоистой модели (Таблица 4.1) Таблица 4.1 Параметры слоистой модели j H, м h, м V, м ρ, кг/м 3 γ, кг/(м 2 ·с) K 1 2 3. Таблица параметров волны (Таблица 4.2). Таблица 4.2 Параметры волны на сейсмограмме x ПВ , м k x ПП , м l, м d, м t 1 , с t 1 , мс A, мкм/с 1 2 3 4 5 6 4. Годограф отражённой волны (Рисунок 4.1). 22 Рисунок 4.1— Годограф отражённой волны 5. Амплитудный график отражённой волны (Рисунок 4.2). Рисунок 4.2— Амплитудный график отражённой волны 6. Сейсмограмма отражённой волны (Рисунок 4.2). 23 Рисунок 4.3 — Сейсмограмма отражённой волны. Годограф выделен пунктирной линией. Контрольные вопросы 1. Опишите структуру и параметры слоистой модели. 2. Что такое пластовая скорость и акустическая жёсткость? 3. Виды сейсмических границ. 4. Образование отражённой волны. 5. Годограф отражённой волны. 6. Амплитудный график отражённой волны. 24 5ЛР Спектр сейсмического сигнала Цель работы Получить навыки преобразований Фурье. Задачи Выполнить прямое и обратное преобразования Фурье. Термины и определения • Гармоника — элементарный сигнал, определяемый гармоническим уравнением: 𝑦(𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜑) где А—амплитуда гармоники, 𝜑 — начальная фаза гармоники. • Прямое преобразование Фурье — определение параметров гармоник, из которых складывается сигнал. • Спектр — результат прямого преобразования Фурье, зависимость параметра гармоники (амплитуды или начальной фазы) от её частоты. • Амплитудный спектр — зависимость амплитуд гармоник от их частот. 𝐴 = 𝜓(𝑓) • Фазовый спектр — зависимость начальных фаз гармоник от их частот. 𝜑 = 𝜓(𝑓) • Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) — преобразование Фурье дискретного сигнала. • Частота гармоники f k , Гц — дискретная величина, вычисляется по формуле: 𝑓 𝑘 = 𝑘 ⋅ 𝑓 1 • Индекс гармоники k — изменяется в пределах: 𝑘 = 0. . 𝑁 2 • Частота Найквиста f N , Гц — частота, относительно которой высокие частоты аналогового сигнала отражаются в область низких частот, складываясь с ними. 25 𝑓 𝑁 = 1 2𝛥𝑡 • Опорная частота спектра f 1 , Гц — частота гармоники с индексом 1, также шаг дискретизации частот гармоник: 𝑓 1 = 1 𝑁𝛥𝑡 • Амплитуда и начальная фаза гармоники A k , φ k , 𝑎 𝑘 = 1 𝑁 ∑ 𝑠(𝑡 𝑖 ) 𝑁−1 𝑖=0 cos 𝑊 𝑖𝑘 действительная компонента комплексной амплитуды гармоники 𝑏 𝑘 = 1 𝑁 ∑ 𝑠(𝑡 𝑖 ) 𝑁−1 𝑖=0 sin 𝑊 𝑖𝑘 мнимая компонента комплексной амплитуды гармоники 𝑊 𝑖𝑘 = 2𝜋 𝑁 𝑖𝑘 𝐴 𝑘 = √𝑎 𝑘 2 + 𝑏 𝑘 2 𝜑 𝑘 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 −𝑏 𝑘 𝑎 𝑘 При вычислениях фазы гармоники использовать функцию Excel или одного из языков программирования ATAN2(X, Y), где X = a k , Y = -b k . Фазовый спектр может содержать разрывы с амплитудой ±180° и ±360°, которые нужно устранить при построении спектра. 26 Амплитуда разрыва вычитается из всех значений фазы, следующих за разрывом. • Обратное преобразование Фурье — восстановление значений сигнала по спектру. 𝑠(𝑡 𝑖 ) = 𝑎 0 + 2 ∑( 𝑎 𝑘 cos 𝑊 𝑖𝑘 + 𝑏 𝑘 sin 𝑊 𝑖𝑘 ) 𝑁 2 −1 𝑘=1 + 𝑎 𝑁 2 cos(𝜋𝑖) Дано Импульс Берлаге, заданный амплитудой A, мкм/с частотой f, параметром затухания α. Длина импульса — 2T, шаг дискретизации Δt = 1 мс. Задание 1. Построить импульс Берлаге. 2. Построить амплитудный и фазовый спектр. 3. Выполнить обратное преобразование Фурье, убедиться, что его результат не отличается от исходного импульса. Отчётные материалы 1. Импульс Берлаге. 2. Амплитудный и фазовый спектры. 3. Результат обратного преобразования Фурье. 27 Контрольные вопросы 1. Что такое гармоника? Назовите параметры гармоники. 2. Что является результатом прямого преобразования Фурье? 3. В чём заключается обратное преобразование Фурье? 28 6ЛР Теория упругости Цель работы Изучить основные положения теории упругости. Задачи 1. Изучить основные виды деформаций — объёмные, сдвиговые и поворотные. 2. Вычислить все пары упругих констант, дилатацию и давление, скорости продольных и поперечных волн. 3. Определить компоненты тензоров напряжения и деформации. Термины и определения • Элемент — бесконечный малый элемент твёрдого тела, с 6 парами сторон (dx, dy, dz), 12 парами вершин и 6 парами граней (X, Y, Z) ортогональных сторонам. Тело представляется идеально-упругим, однородным и изотропным. Форма элемента определяется углами между сторонами, а объём — длинами сторон. До деформации элемент имеет форму куба, то есть его стороны равны между собой, а углы равны 90°. • Деформация ε — относительное изменение геометрического параметра элемента, тензорная величина. Причиной деформации является ненулевое относительное смещение вершин элемента. 𝜀 𝑖𝑗 = 𝜕𝑢 𝑖 𝜕𝑗 • в числителе — компонента вектора смещения (i = x .. z ), в знаменателе — деформированная сторона элемента(j = x .. z ). 29 𝜀 = { 𝜀 𝑥𝑥 𝜀 𝑥𝑦 𝜀 𝑥𝑧 𝜀 𝑦𝑥 𝜀 𝑦𝑦 𝜀 𝑦𝑧 𝜀 𝑧𝑥 𝜀 𝑧𝑦 𝜀 𝑧𝑧 } • Линейная деформация 𝜀 i=j — изменение длины стороны. При линейной деформации направления компоненты смещения и стороны совпадают: 𝜀 𝑥𝑥 = 𝜕𝑢 𝑥 𝜕𝑥 ; 𝜀 𝑦𝑦 = 𝜕𝑢 𝑦 𝜕𝑦 ; 𝜀 𝑧𝑧 = 𝜕𝑢 𝑧 𝜕𝑧 • Удлинение — положительная линейная деформация. Сжатие — отрицательная линейная деформация. • Продольная деформация 𝜀 xx — линейная деформация стороны dx. 𝜀 𝑥𝑥 = 𝛥𝑢 𝑥 𝑑𝑥 → 𝜕𝑢 𝑥 𝜕𝑥 • Поперечная деформация 𝜀 yy, 𝜀 zz — линейная деформация сторон dy или dz: 𝜀 𝑦𝑦 = 𝜕𝑢 𝑦 𝜕𝑦 ; 𝜀 𝑧𝑧 = 𝜕𝑢 𝑧 𝜕𝑧 • Дилатация 𝛳 — относительное изменение объёма элемента под действием комбинации линейных деформаций: 𝛳 = 𝜀 𝑥𝑥 + 𝜀 𝑦𝑦 + 𝜀 𝑧𝑧 = 𝜕𝑢 𝑥 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝑦 𝜕𝑦 + 𝜕𝑢 𝑧 𝜕𝑧 • Объёмная деформация — комбинация линейных деформаций, вызывающая изменение объема элемента: 𝛳 ≠ 0 30 • Всесторонняя деформация 𝜀 — объёмная деформация, комбинация трёх равных линейных деформаций. 𝜀 = 𝜀 𝑥𝑥 + 𝜀 𝑦𝑦 + 𝜀 𝑧𝑧 ; 𝛳 = 3𝜀 • Угловая деформация — деформация, сопровождаемая изменением направления стороны элемента. 𝛼 = 𝜕𝑢 𝑦 𝜕𝑥 ; 𝛽 = 𝜕𝑢 𝑥 𝜕𝑦 • Сдвиговая деформация 𝜀 i≠j — комбинация угловых деформаций, вызывающая изменение формы элемента. 𝜀 𝑥𝑦 = 1 2 (𝛼 + 𝛽) = 1 2 ( 𝜕𝑢 𝑦 𝜕𝑥 + 𝜕𝑢 𝑥 𝜕𝑦 ) • Поворотная деформация 𝜔 — комбинация угловых деформаций, вызывающая вращение диагонали элемента. 𝜔 𝑧 = 1 2 (𝛼 − 𝛽) = 1 2 ( 𝜕𝑢 𝑦 𝜕𝑥 − 𝜕𝑢 𝑥 𝜕𝑦 ) 31 • Чистая деформация — комбинация линейных и угловых деформаций, при которых изменяется объём и форма элемента, но не происходит поворот его диагоналей: 𝛽 = 𝛼 → 𝜔 𝑧 = 1 2 (𝛼 − 𝛽) = 0 𝛽 = 𝛼 → 𝜀 𝑥𝑦 = 𝜕𝑢 𝑦 𝜕𝑥 = 𝜕𝑢 𝑥 𝜕𝑦 𝜀 𝑦𝑥 = 𝜀 𝑥𝑦 ; 𝜀 𝑥𝑧 = 𝜀 𝑧𝑥 ; 𝜀 𝑦𝑧 = 𝜀 𝑧𝑦 • Напряжение p, Па —тензорная величина, давление, возникающее в гранях элемента под действием механической силы F. Компоненты тензора напряжения: 𝑝 𝑖𝑗 = 𝐹 𝑖 𝑆 𝑗 • Нормальное напряжение p i=j — напряжение, возникающее в грани элемента под действием силы, направленной под нормали к этой грани. 32 𝑝 𝑥𝑥 = 𝐹 𝑥 𝑆 𝑋 ; 𝑝 𝑦𝑦 = 𝐹 𝑦 𝑆 𝑌 ; 𝑝 𝑧𝑧 = 𝐹 𝑧 𝑆 𝑍 • Продольное нормальное напряжение p xx — нормальное напряжение, возникающее в грани X: 𝑝 𝑥𝑥 = 𝐹 𝑥𝑥 𝑆 𝑋 • Поперечное нормальное напряжение p yy, p zz — нормальное напряжение, возникающее в гранях X, Y: 𝑝 𝑦𝑦 = 𝐹 𝑦 𝑆 𝑌 ; 𝑝 𝑧𝑧 = 𝐹 𝑧 𝑆 𝑍 • Касательное напряжение p ij — напряжение, возникающее в грани элемента под действием силы, направленной по касательной к этой грани. • Давление P, Па — скалярная величина,среднее арифметическое от трёх нормальных напряжений: 𝑃 = 1 3 (𝑝 𝑥𝑥 + 𝑝 𝑦𝑦 + 𝑝 𝑧𝑧 ) • Тензор напряжения p 𝑝 = { 𝑝 𝑥𝑥 𝑝 𝑥𝑦 𝑝 𝑥𝑧 𝑝 𝑦𝑥 𝑝 𝑦𝑦 𝑝 𝑦𝑧 𝑝 𝑧𝑥 𝑝 𝑧𝑦 𝑝 𝑧𝑧 } 𝑝 𝑦𝑥 = 𝑝 𝑥𝑦 ; 𝑝 𝑥𝑧 = 𝑝 𝑧𝑥 ; 𝑝 𝑦𝑧 = 𝑝 𝑧𝑦 • Закон Гука — деформация, возникающая в элементе, пропорциональна действующему напряжению. Для идеально–упругих тел выполняется абсолютно: 𝑝 = 𝑘𝜀; 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 • Обобщенный закон Гука представлен уравнениями: 𝑝 𝑥𝑥 = 𝜆𝛳 + 2𝜇𝜀 𝑥𝑥 𝑝 𝑦𝑦 = 𝜆𝛳 + 2𝜇𝜀 𝑦𝑦 𝑝 𝑧𝑧 = 𝜆𝛳 + 2𝜇𝜀 𝑧𝑧 𝑝 𝑥𝑦 = 2𝜇𝜀 𝑥𝑦 𝑝 𝑥𝑧 = 2𝜇𝜀 𝑥𝑧 33 𝑝 𝑦𝑧 = 2𝜇𝜀 𝑦𝑧 • Константы Ламе λ, μ, Па — две независимые упругие постоянные, входящие в обобщённый закон Гука. • Модуль Юнга Е, Па — модуль продольной деформации, способность элемента сопротивляться линейным объёмным деформациям. 𝐸 = 𝑝 𝑥𝑥 𝜀 𝑥𝑥 = 𝑝 𝑦𝑦 𝜀 𝑦𝑦 = 𝑝 𝑧𝑧 𝜀 𝑧𝑧 𝐸 = 𝜇(3𝜆 + 2𝜇) 𝜆 + 𝜇 • Коэффициент Пуассона 𝜎— отношение поперечной и продольной деформаций, возникающих под действием продольного напряжения. Изменяется в пределах от 0 до 0,5. 𝜎 = − 𝜀 𝑦𝑦 𝜀 𝑥𝑥 = − 𝜀 𝑧𝑧 𝜀 𝑥𝑥 𝜎 = 𝜆 2(𝜆 + 𝜇) • Модуль всестороннего сжатия K, Па выражает способность тела сопротивляться изменению объёма: 𝐾 = 𝑃 𝜃 𝐾 = 𝜆 + 2 3 𝜇 34 • Модуль сдвига G, Па выражает способность тела сопротивляться сдвиговым деформациям: 𝐺 = 𝑝 𝑥𝑦 2𝜀 𝑥𝑦 = 𝑝 𝑥𝑧 2𝜀 𝑥𝑧 = 𝑝 𝑦𝑧 2𝜀 𝑦𝑧 𝐺 = 𝜇 • Продольная волна P — сейсмическая волна, вызывающая колебательное движение частиц вдоль направления распространения. В упругой среде продольные волны вызывают чистую деформацию, без поворотов диагоналей элементов. Скорость продольной волны находится по формуле (ρ — плотность горной породы): 𝑉 𝑃 = √ 𝜆 + 2𝜇 𝜌 • Поперечная волна S — сейсмическая волна, вызывающая колебательное движение частиц перпендикулярно направлению распространения. В упругой среде поперечные волны вызывают малые повороты диагоналей элементов, без объемных и сдвиговых деформаций. Скорость поперечной волны находится по формуле: 𝑉 𝑆 = √ 𝜇 𝜌 Дано Элемент упругой среды в форме куба, сторона dx = 2 см. На грань X действует сила F 1 {F xx , F yx, F zx }, на грань Y сила F 2 {F xy , F yy, F zy }, на грань Z — сила F 3 {F xz , F yz, F zz }. Известно, что F xy = F xz = F yz = F g .Вещество элемента характеризуется двумя константами Ламе — λ, μ и плотностью ρ. Задание 1. Вычислить все компоненты тензора напряжения и представить его в виде матрицы. 35 2. Вычислить все пары упругих констант, а также ожидаемые скорости продольных и поперечных сейсмических волн. Оценить правильность расчётов. 3. Вычислить все компоненты тензора деформации и представить его в виде матрицы. 4. Изобразить элемент в вертикальном сечении, увеличив все деформации в 100 раз. Отчетные материалы 1. Тензор напряжения в виде: Тензор напряжения p, МПа x y z x y z P, МПа 2. Значения упругих констант и скорости сейсмических волн в табличном виде. 3. Тензор деформаций в виде: Тензор деформации 𝜀, 10 -4 x y z x y z 𝛳 𝜔 z 4. Деформированный элемент упругой среды в масштабе. Контрольные вопросы 1. Виды деформаций. Дилатация. 2. Упругие константы. 3. Виды напряжений. Давление. 4. Закон Гука. 5. Связь упругих модулей и скоростей волн. 6. Как изменится содержание тензоров напряжения и деформации, если среда станет жидкой? |