Метод пространства состояний. Лабораторная 1. Амурский государственный университет
 Скачать 228.68 Kb.
|
|
Министерство образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение Высшего образования АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ (ФГБОУ ВО «АмГУ») Факультет информатики и информатики Кафедра информационных и управляющих систем Направление подготовки 09.03.01 – Информатика и вычислительная техника Почта – kostia.sosnin@gmail.com ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 «Метод пространства состояний» 2022 Исполнитель Студент 953-об ___________________ (подпись, дата) К.Е. Соснин Проверил ___________________ (подпись, дата) Е.Л. Еремин Цель: изучение понятия пространства состояния и способа прямого программирования. Выполнение работы: Параметры в соответствии с вариантом 17: k= 3.2; T1 = 1; T2= 2.2; 1. В соответствии с вариантами заданий (табл. Л1.1), с помощью прямого преобразования Лапласа запишите передаточную функцию соответствующего дифференциального уравнения 𝑇 1 𝑑 3 𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 3 + 𝑇 2 𝑑 2 𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 2 + 5𝑦(𝑡) = 𝑘 𝑑 2 𝑢(𝑡) 𝑑𝑡 2 + 𝑑𝑢(𝑡) 𝑑𝑡 исходное дифференциальное уравнение. Применим преобразование Лапласа: 𝑇 1 𝑠 3 𝑦(𝑠) + 𝑇 2 𝑠 2 𝑦(𝑠) + 5𝑦(𝑠) = 𝑘𝑠 2 𝑢(𝑠) + 𝑠𝑢(𝑠) Преобразуем это уравнение к виду 𝑦(𝑠) = 𝑊(𝑠) ∗ 𝑢(𝑠) 𝑊(𝑠) = 𝑅(𝑠) 𝑄(𝑠) = 𝑦(𝑠) 𝑢(𝑠) = 𝑘𝑠 2 + 𝑠 𝑇 1 𝑠 3 + 𝑇 2 𝑠 2 + 5 𝑦(𝑠) = 𝑘𝑠 2 + 𝑠 𝑇 1 𝑠 3 + 𝑇 2 𝑠 2 + 5 𝑢(𝑠) 2. На основании полученного в п.1 результата, используя метод прямого программирования, представьте ее математическое описание исследуемой функции в векторно-матричном виде, записав при этом все необходимые числовые значения матриц и векторов. Запишем уравнение в виде, в котором каждое слагаемое числителя и знаменателя делится на максимальную степень знаменателя с соответствующим коэффициентом y(p) = 𝑘 𝑇 1 𝑠 −1 + 1 𝑇 1 𝑠 −2 1 + 𝑇 2 𝑇 1 𝑠 −1 + 5 𝑇 1 𝑠 −3 𝑢(𝑝) Введем обозначение E(s) = 𝑢(𝑠) 1 + 𝑇 2 𝑇 1 𝑠 −1 + 5 𝑇 1 𝑠 −3 E(s) = u(s) − 𝑇 2 𝑇 1 𝑠 −1 + 5 𝑇 1 𝑠 −3 Тогда y(𝑠) = ( 𝑘 𝑇 1 𝑠 −1 + 1 𝑇 1 𝑠 −2 )𝐸(𝑠) Составим систему { E(s) = u(s) − 𝑇 2 𝑇 1 𝑠 −1 + 5 𝑇 1 𝑠 −3 y(𝑠) = ( 𝑘 𝑇 1 𝑠 −1 + 1 𝑇 1 𝑠 −2 )𝐸(𝑠) Можно построить структурную схему Рисунок 1 – Структурная схема системы { 𝑥̇ 1 = 𝑥 2 𝑥̇ 2 = − 5 𝑇 1 𝑥 1 − 𝑇 2 𝑇 1 𝑥 2 + 𝑢 𝑦 = ( 𝑘 𝑇 1 + 1 𝑇 1 )𝑥 1 Запишем значения элементов матриц A, B, C, D 𝐴 = 0 1 − 5 𝑇 1 − 𝑇 2 𝑇 1 𝐵 = 0 1 𝐶 𝑇 = 𝑘 𝑇 1 1 𝑇 1 𝐷 = 0 3-4. Используя программную среду MATLAB, задайте передаточную функцию, полученную в п.1, путем ввода ее числителя и знаменателя; получите векторно-матричное описание передаточной функции с помощью встроенного оператора MATLAB tf2ss. Сравните числовые значения матриц и векторов передаточной функции, полученные аналитическим и программным способом. Листинг программы k = 3.2; T1 = 1; T2 = 2.2; num = [k 1] den = [T1 T2 5] [A,B,C,D] = tf2ss(num,den) Рисунок 2 – Результат выполнения программы Числовые значения, полученные аналитическим путем, совпадают со значениями полученными программно 5-6. Используя преобразование Лапласа, получите вторую стандартную форму записи в векторно-матричном виде. Подставьте числовые значения матриц в выражение, полученное в п.6 и получите выражение передаточной функции. Сравните результат с передаточной функцией из п.1. Определим векторно-матричный аналог второй формы записи (для простоты рассмотрим случай D = 0) { 𝑠𝑥(𝑠) = 𝐴𝑥(𝑠) + 𝐵𝑢(𝑠) 𝑦(𝑠) = 𝐶 𝑇 𝑥(𝑠) Выполним ряд преобразований над первым уравнением системы 𝑠𝑥(𝑠) = 𝐴𝑥(𝑠) + 𝐵𝑢(𝑠) (𝑠𝐸 − 𝐴)𝑥(𝑠) = 𝐵𝑢(𝑠) 𝑥(𝑠) = (𝑠𝐸 − 𝐴) −1 𝐵𝑢(𝑠) Выражение передаточной функции в векторно-матричной форме 𝑦(𝑠) = 𝐶 𝑇 (𝑠𝐸 − 𝐴) −1 𝐵𝑢(𝑠) 𝑊(𝑠) = 𝑦(𝑠) 𝑢(𝑠) = 𝐶 𝑇 (𝑠𝐸 − 𝐴) −1 𝐵 = 𝐶 𝑇 (𝑠𝐸 − 𝐴) + 𝐵 det(𝑠𝐸 − 𝐴) = 𝑘𝑠 2 + 𝑠 𝑇 1 𝑠 3 + 𝑇 2 𝑠 2 + 5 Передаточные функции получились одинаковыми 7-8. С помощью оператора MATLAB ss2tf переведите полученное в п.3 векторно-матричное описание исследуемой функции в эквивалентную запись в виде числителя и знаменателя передаточной функции. Сравните полученный результат с результатами, полученными в п.1 и п.6. Листинг программы k = 3.2; T1 = 1; T2 = 2.2; num = [k 1] den = [T1 T2 5] [num1,den1]=ss2tf(A,B,C,D) Рисунок 3 – Результат работы программы. |