Аналитическая геометрия
![]()
|
Аналитическая геометрия Аналитическая геометрия изучает геометрические объекты по их уравнениям. MS Excel предоставляет широкие возможности визуализации различных уравнений. В Excel наиболее удобно осуществлять построение кривых на плоскости и поверхностей в пространстве. Декартова система координат Для описания точек геометрических объектов с помощью чисел и написания уравнений задают систему координат. Существуют различные системы координат: декартова, полярная, криволинейная и другие. Будем рассматривать наиболее употребительную — декартовую систему координат на плоскости. Декартова система координат может быть прямоугольной и косоугольной. В дальнейшем будем рассматривать декартову прямоугольную систему. На плоскости это две взаимно перпендикулярные числовые оси (рис. 1.1). ![]() Рис. 1.1. Декартова система координат на плоскости Декартовыми координатами точки на плоскости называется упорядоченная пара чисел, являющихся проекциями точки на оси координат. Запись: М(х; у), где х — первая координата, абсцисса, у —вторая координата, ордината. Декартова прямоугольная система координат в пространстве — это три взаимно перпендикулярные числовые оси (рис. 1.2). ![]() Рис. 1.2. Декартова система координат в пространстве Декартовыми координатами точки в пространстве называется упорядоченная тройка чисел, являющихся проекциями точки на оси координат. Запись: М(х; у; z), где х — абсцисса, у — ордината, z — аппликата. Линии на плоскости Уравнением линии на плоскости Оху называются уравнения F(x,у) = 0 или у = f(х), которым удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии и не удовлетворяют координаты всякой точки не лежащей на ней. Если дано уравнение, то можно сказать, что линия, определенная уравнением в некоторой системе координат, это геометрическое место точек (ГМТ), координаты которых удовлетворяют уравнению. Уравнение прямой на плоскости в декартовых координатах может записываться по-разному, в зависимости от условий. 1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом у = kx + b. Здесь: k = tgα — угловой коэффициент прямой, α — угол наклона прямой к оси х, b — ордината точки пересечения прямой с осью у (рис. 1.3). ![]() Рис. 1.3. Прямая в декартовых координатах 2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку (х1; y1) в данном направлении (с данным углом наклона к оси х) у - y1, = k(x - х1). 3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки (х1; y1) и (х2; у2). ![]() 4. Уравнение прямой «в отрезках» (рис. 1.4). ![]() ![]() Рис. 1.4. Прямая, отсекающая на осях отрезки a и b 5. Общее уравнение прямой: Ах + By + С = 0. Упражнения 1. Построить прямую параллельную оси абсцисс (Ох) и пересекающую ось ординат (Оу) в точке A(0; 2) в диапазоне х € [-3; 3] с шагом Δ = 0,5. 2. Построить биссектрису I—III координатных углов декартовой системы координат в диапазоне х € [-3; 3] с шагом Δ = 0,5. 3. Построить прямую 3х + 2у - 4 = 0 в диапазоне х € [-1; 3] с шагом Δ = 0,25. 4. Построить прямую, пересекающую ось ординат в точке A(0; 2), а ось абсцисс в точке В(3; 0), в диапазоне х € [-1; 4] с шагом Δ = 0,25. 5. Построить прямую, проходящую через начало координат и точку A(2; 3), в диапазоне х € [-1; 4] с шагом Δ = 0,25. 6. Построить прямую, проходящую через точки A(0; 3) и В(2; 2) в диапазоне х € [-1; 4] с шагом Δ = 0,25. 7. Построить прямую с условным коэффициентом а = 3/5 и проходящей через точку К(-1; 2) в диапазоне х € [-1; 3] с шагом Δ = 0,25. 8. Построить прямую, проходящую через две данные точки: М(3; -7) и N(-2; 4) в диапазоне х € [-3; 3] с шагом Δ = 0,25. 9. Построить прямую, заданную общим уравнением: ℓ:3х-5y+15 = 0в диапазоне х € [-1; 3] с шагом Δ = 0,25. 10. Построить прямую, проходящую через точку A(2; -4), параллельно прямой ℓ: 2х-3y + 1 = 0в диапазоне х € [-1; 3] с шагом Δ = 0,25. Даны точки A(-4; 0), B(1; -3), С(4; -2). Построить прямую ℓ, проходящую через А и параллельно ВС в диапазоне х € [-1; 3] с шагом Δ = 0,25. |