B и КрасноЧерные деревья Лекция 19 План лекции
 Скачать 0.66 Mb.
|
B и Красно-Черные деревьяЛекция 19План лекцииB деревья
Вставка и удаление вершины Красно-черные деревья Определение Вставка вершины Сравнение в АВЛ деревьями Связь КЧ и B деревьев B деревьяB деревья – сбалансированные деревья для быстрого доступа к информации на устройствах с прямым доступом Рудольф Бэйер (R. Bayer) Эдвард МакКрейт (E. McCreight) 1970 Страничная организация памяти Файловые системы, например, Windows NTFS Обработка больших массивов данных B деревьяВсе листья находятся на одной глубине Существует целое число t >= 2 -- степень B дерева, что
Корень имеет от 2 до 2*t прямых потомков Каждая вершина хранит ключи, разграничивающие ключи, хранящиеся в ее поддеревьях Сколько ключей может хранить вершина В дерева? Корень В дерева? Все ключи В дерева принадлежат одному линейно упорядоченному множеству Пример B дереваКакая степень этого В дерева? M D H Q T X B C F G N P J K L R S V W Y Z Пример использования – страничная организация памятиЛист B дерева = физический блок памяти
Совокупность внутренних вершин В дерева = «таблица трансляции адресов» Хранится в специальных регистрах процессора и специальной области памяти Ключи = логические адреса нулевых байтов физических блоков Пример использования – управление страничной памятьюПоиск физического блока, хранящего байт с логическим адресом А
Поиск листа В дерева с ключом, равным остатку от деления А на размер физического блока Добавление нового физического блока в пространство логических адресов Вставка листа в В дерево B деревья -- определенияВершина В дерева называется полной, если число ее непосредственных потомков равно удвоенной степени В дерева В дерево степени 2 называется 2-3-4 деревом
Теорема о высоте B дереваДля любого B дерева высоты h и минимальной степени t ≥ 2, хранящего n ≥ 1 ключей, выполнено неравенство Высота B дерева с n-вершинами есть O(log n), но основание логарифма для B дерева гораздо больше, что примерно в log t раз сокращает количество обращений к диску Что такое глубина вершины? Что такое высота (уровень) вершины? Пример определения на Сиtypedef struct b_tree_t {int n; // количество ключей int *key; // key[0]struct b_tree_t **child; // непосредств. потомки} b_tree;Обозначим x->child[i] через Ci(x)Поиск в В деревеДано В дерево и ключ К Найти вершину, содержащую К В каждой вершине х сравниваем К с n(x) ключами из x и продолжаем поиск в соотв. n(x)+1 потомков Алгоритм поискаПоиск в B дереве похож на поиск в двоичном дереве Разница в том, что в вершине x мы выбираем один вариант из n(x)+1, а не из двух Процедура поиска получает на вход указатель х на корень поддерева и ключ k, который мы ищем в этом поддереве Если процедура обнаруживает в дереве ключ k, то она возвращает пару (y, i), где у - вершина, i - порядковый номер указателя, для которого keyi(y) = k Иначе операция возвращает NULL Поиск в В деревеB_tree_search(x,k){int i = 0;while (i < n(x) && k > keyi(x)) i++; if (iif (leaf(x)) return NULL;else{return B_tree_search(Ci(x),k);}}Добавление элемента в B деревоПроцедура B_tree_insert (T, k) – добавляет элемент k в B дерево T, пройдя один раз от корня к листу На это требуется время O(h), если высота дерева равна h По ходу дела с помощью процедуры B_tree_Split_child разделяются вершины, которые являются полными и которые имеют неполного родителя В результате, доходим до неполного листа, куда и добавляем новый элемент Разбиение вершины B дереваДобавление элемента в B дерево – более сложная операция по сравнению с бинарными деревьями Ключевым местом является разбиение полной (с 2t-1 ключами ) вершины на две вершины, имеющие по t-1 ключей в каждой При этом ключ-медиана keyt1(y) отправляется к родителю x вершины y и становится разделителем двух полученных вершин Это возможно, если вершина х неполна Если y – корень, то высота дерева увеличивается на 1 Разбиение вершины B дерева…N W… P Q R S T U V … N S W … P Q R T U V x y= Ci(x) y= Ci(x) z= Ci+1(x) Keyi-1(x) Keyi(x) Keyi-1(x) Keyi(x) Keyi+1(x) Ci(x)- указатель на i-го ребенка в x Минимальная степень t=4. Делим вершину y на две: y и z Ключ медиана S вершины y переходит к ее родителю x Ключи, больше S, переписываются в нового ребенка z вершины x // Входные данные // неполная внутренняя вершина х, число i и // полная вершина y: y = Сi(x) // (cчитаем, что x и y уже в ОП)B_tree_SPLIT_Child (x, i, y){ // z – создать узел;(файл, отвести место) leaf(z) = leaf(y); n(z) = t-1; for(j = 0; j < t-1; j++) keyj(z) = keyj+t(y); if (!leaf(y))for(j = 0; j < t; j++) Cj(z) = Cj+t(y); n(y) = t-1;for (j = n(x)+1; j ≤ i; j--) Cj+1(x) = Cj(x);Ci+1[x] = z;for (j = n(x); j ≤ i; j--) keyj+1(x) = keyj(x);keyi(x) = keyj(y);n(x) = n(x)+1;// Переписать вершины: y, z, x}// Вершина y имела 2t детей// после разбиения в ней осталось t детей// Остальные t детей стали детьми новой вершины z// добавление в дерево с корнемB_tree_insert (T, k){r = root(T); if (n(r)== 2t-1) {// s = выделяем память/файл для нового узла;root(T)= s; //он становится корнем leaf(s)= 0;n(s)= 0;C1(s)= r;B_tree_split_child (S, 1, r);B_tree_insert_nonfull (s, k);//добавляет} else// элемент в k в поддерево с корнем в неполной вершинеB_tree_insert_nonfull (r, k);}Добавление элемента в неполную вершинуB_tree_insert_nonfull (r, k) рекурсивно вызывает себя, при необходимости, выполнив разделение Если вершина x – лист, то ключ k в него добавляется Иначе k добавляется к поддереву, корень которого является ребенком x Для этого определяется нужный ребенок вершины x Если ребенок – полная вершина, то он разделяется B_tree_insert_nonfull(x, k){ i = n(x); if (leaf(x)) { // ключ вставляется в лист while (i ≥ 0 && k < keyi(x)){keyi+1(x)=keyi(x);i--;} keyi+1(x) = k; n(x) = n(x)+1;} else {// поиск нужного ребенкаwhile( i ≥ 0 && k < keyi(x)) i--;i = i+1;if (n(Ci(x)) == 2t-1) {// если ребенок–полная вершинаB_tree_split_child (x, i, Ci(x));// разделениеif (k > keyi(x)) i = i+1;}B_tree_ insert_nonfull (Ci(x), k);}Удаление элемента из B дереваP C G M T X D E F J K L A B N O Q R S Y Z U V (а) начальное дерево t = 3 P C G M T X D E J K L A B N O Q R S Y Z U V (б) удалена F из листа P C G M T X D E J K L A B N O Q R S Y Z U V P C G L T X D E J K A B N O Q R S Y Z U V (в) удалена M из внутренней вершины, ребенок которой имеет не менее t элементов Если ребенок, следующий за удаляемым ключом, имеет не менее t элементов, поступаем аналогично (в) P C G L T X D E J K A B N O Q R S Y Z U V P C L T X D E J K A B N O Q R S Y Z U V (г) удалена G, ее дети имеют по t-1 ключу P C L T X D E J K A B N O Q R S Y Z U V х C L P T X E J K A B N O Q R S Y Z U V (д) удалена D, в вершине х нет ключа D и t = 2 C L P T X E J K A B N O Q R S Y Z U V (д’) уменьшение высоты дерева E L P T X J K A B N O Q R S Y Z U V (е) удалена C B деревья
Вставка и удаление вершины Красно-черные деревья Определение Вставка вершины Сравнение в АВЛ деревьями Связь КЧ и B деревьев Красно-чёрное деревоRudolf Bayer 1972 Симметричные двоичные B деревьяЛеонидас Гибас и Роберт Седжвик 1978 КЧ деревьяКрасно-чёрное дерево – это дерево двоичного поиска, обладающее следующими КЧ свойствамиВсе листья чёрные и не содержат данных Все потомки красных узлов чёрные – нет двух красных узлов подряд На всех путях от корня к листьям число чёрных узлов одинаково и равно чёрной высоте дерева Пример КЧ дерева (Википедия)Высота и число узлов в КЧ деревеЕсли h - чёрная высота дерева, то количество узлов не менее 2h − 1
Что останется от КЧ дерева, если красные вершины "втянутся" в черных предков? Как выглядит двоичное дерево, у которого все листья находятся на одной глубине? Если h - высота дерева, то количество узлов не менее 2(h−1)/2 Если количество узлов N, высота дерева не больше 2log2N + 1 Вставка узла в КЧ дерево -- схемаЧтобы вставить узелНаходим двоичным поиском место, куда его следует добавить Новый узел добавляем как красный узел с двумя чёрными листьями После этого восстанавливаем красно-чёрные свойства -- перекрашиваем узлы и поворачиваем поддеревья, если необходимо Вставка узла -- листВставка красного узла с двумя черными NULL-потомкамиВсе листья чёрные – сохраняется Все потомки красных узлов чёрные – нет двух красных узлов подряд – может нарушиться На всех путях от корня к листьям число чёрных узлов одинаково – сохраняется Цвет отца и дяди меняется на черный Цвет деда меняется на красный КЧ свойства (возможно) нарушились на 2 уровня выше -- повторяем уже для деда узла В самом конце корень красим в черный цвет
Красно-красный конфликт устраняется перекрашиванием После перекраски нужно проверить деда нового узла (узел B), поскольку он может оказаться красным отец дядя Новый узел -- левый сын своего отца
Цвет деда меняется на красный Дерево поворачивается направо вокруг отца нового узла КЧ свойство восстановлено, вставка закончена Новый узел -- правый сын своего отца Дерево поворачивается налево вокруг отца нового узла Далее см. пред. случай Вставка узла – отец красный, дядя черный, левый сынотец дядя Вставка узла – отец красный, дядя черный, правый сынДалее как на пред. слайдеотец дядя X B A C X B A C Сравнение с АВЛ деревомОбозначим N(h) = минимальное число узлов в дереве высоты hN(h) для АВЛ дерева
N(h) растёт как последовательность Фибоначчи – почему? Следовательно, N(h) = Θ(λh), где N(h) для красно-чёрного дерева Свойство 3 красно-чёрных деревьев ==> При том же количестве узлов КЧ дерево м. б. выше АВЛ дерева, но не более чем в раз Сравнение с АВЛ деревомПоиск и вставка для АВЛ дерева м.б. быстрее, чем для КЧ дерева
Удаление из КЧ дерева м. б. быстрее, чем из АВЛ дерева КЧ дерево – достаточно 2 или менее поворотов АВЛ дерево – возможно понадобится поворот в каждом узле на пути от удаляемого листа до корня Связь КЧ и B деревьевB деревья с t=2 можно перестроить в КЧ деревья так
Вершина с двумя потомками черная и переносится в КЧ дерево без изменений -- почему нет вершин с одним потомком? Вершина с тремя потомками черная, первый потомок черный и присоединяется непосредственно, а другие два -- через соединительный красный узел Вершина с четырьмя потомками черная, черные потомки присоединяются через два красных соединительных узла В исходном B дереве (так как оно сбалансировано) все пути от корня до любого листа имеют одинаковую длину По построению очевидно, что длина любого пути в КЧ дереве возрастает не более чем в два раза Использование в библиотеке стандартных шаблонов С++ (STL)АВЛ-деревья 1961 -- первые сбалансированные деревья Красно-чёрные деревья 1978 Библиотека стандартных шаблонов STL языка C++ использует сбалансированные деревья для реализации множества и ассоциативного массива Кто автор STL и в какой стране он родился? ЗаключениеB деревья
Вставка и удаление вершины Красно-черные деревья Определение Вставка вершины Сравнение в АВЛ деревьями Связь КЧ и B деревьев Удаление узла из КЧ дереваЕсли удаляемый узел красный все правила сохраняются и все прекрасно Если же удаляемый узел черный, требуется значительное количество кода, для поддержания дерева частично сбалансированным Как и в случае вставки в красно-черное дерево, здесь также существует несколько различных случаев При высоте 2 и размере страницы 8Кб это дерево содержит > миллиарда ключей и позволяет адресовать 8Тб данных1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 …. 1001 …. 1001 ….. 1001 …. 1001 ……… …… 1 вершина – 1000 ключей 1001 вершина – 1001000 ключей 1 002 001 вершина -1 002 001 000 ключей B деревьяI am occasionally asked what the B in B-Tree means. I recall it as a lunchtime discussion that you never in your wildest dreams imagine will one day have deep historical significance. We wanted the name to be short, quick to type, easy to remember. It honored our employer, Boeing Airplane Company, but we wouldn't have to request permission to use the name. It suggested Balance. Rudolf Bayer was the senior researcher of the two of us. We had been admiring the elegant natural balance of AVL Trees, but for reasons clear to American English speakers, the name BM Tree was a non-starter. I don't recall one meaning standing out above the others that day. Rudolf is fond of saying that the more you think about what the B could mean, the more you learn about B-Trees, and that is good. (2012) У таких деревьев, как правило, только корень находится в ОП, остальное дерево – на диске Диск разбит на сектора (дорожки на сектора) Обычно записывают или считывают сектор целиком Время доступа, чтобы подвести головку к нужному месту на диске, может быть достаточно большим Как только головка диска установлена, запись или чтение происходит довольно быстро Часто получается, что обработка прочитанного занимает меньше времени, чем поиск нужного сектора Важно количество обращений к диску! Определение B дерева 1/3В каждой вершине x хранятся
Если x – внутренняя вершина, то она также содержит n(x)+1-указателей: C0, C1,…, Cn(x) на ее детей Определение B дерева 2/3Ключи keyi[x] служат границами, разделяющими значения ключей в поддеревьях: k0 ≤ key0[x] ≤ k1 ≤ key2[x] ≤... ≤ keyn[x]-1[x] ≤ Kn[x], где ki - множество ключей, хранящихся в поддереве с корнем Ci[x] Создание корня B дереваB_tree *B = (B_tree*) malloc (sizeof(*B));B->n = 1;B->key = (int*) malloc (B->n*sizeof(int));B->key[0] = 'M';B->child = NULL;M D H Q T X Создание B дереваB->child = (B_tree**)malloc(sizeof(B_tree*)*2);B->child[0]=(B_tree*)malloc(sizeof(B_tree));B->child[1]=(B_tree*)malloc(sizeof(B_tree));x=B->child[0];x->n=2;x->key=(int*)malloc(x->n*sizeof(int));x->key[0]='D';x->key[1]='H';X->child=NULL;// Аналогичные действия для вершины: QTX// Как это сделать цивилизованно?M D H Q T X Возможна реализация, где каждая вершина является отдельным файлом В общем случае имеются операции
Disk_Write(x) – запись на диск |