Инженерная графика.Задачник. Баздеров Геннадий Анатольевич. Инженерная графика Элек тронный ресурс методические указания
 Скачать 14.83 Mb.
|
|
Пересечение сферы с плоскостью Любая плоскость пересекает сферу по окружности. Однако эти окружности проецируются на плоскости проекций в виде эл- липса, и только, если они лежат в плоскости уровня, в окружно- сти. Для построения точек на поверхности сферы через имею- щуюся проекцию точек M 2 , N 2 следует проводить вырожденную проекцию вспомогательной окружности расположенной в плос- 72 кости уровня (отрезок прямой). Строят другую проекцию этой окружности (окружность с радиусом равным расстоянию от оси Рис. 5.1 сферы до очерковой образующей). На полученной проекции вспомогательной окружности будут лежать искомые проекции 73 точек M 1 , N 1 (рис. 5.1). Если точка лежит на очерковой образую- щей сферы (С 2 , D 2 ), то другая ее проекция лежит на экваторе (C 1 , D 1 ) . Если же точка лежит на экваторе (E 2, F 2 ), то другая ее проек- ция лежит на очерковой образующей (E 1 , F 1 ). Построив достаточ- ное количество таких точек, получим проекцию эллипса. Малая ось эллипса определяется отрезком C 1 D 1 . Положение и величина большой оси эллипса определятся точками А 2 , В 2 , А 1 , В 1 Пересечение конической поверхности с плоскостью Замечательным свойством конической поверхности является то, что на ней представлены все возможные кривые второго по- рядка. Рассекая конус плоскостями того или иного направления, мы получим (рис 5.2): 1 – эллипс, если секущая плоскость пересекает все обра- зующие конуса на конечном расстоянии; 2 – окружность как более частный случай эллипса; 3 – точку как случай вырождения эллипса; 4 – параболу, если секущая плоскость параллельна одной из образующих конуса; 5 – прямую, если секущая плоскость проходит через обра- зующую конуса (точнее пару совпавших прямых); 6 – гиперболу, если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса; 7 – две пересекающиеся прямые, если секущая плоскость проходит через эти образующие (через вершину конуса). Для построения проекций точек на поверхности конуса че- рез имеющуюся проекцию точки проводят его образующие (пря- мые или окружности). Строят проекции этих образующих, а на них проекции точек. Для построения проекций линии на поверхности конуса не- обходимо построить достаточное количество точек этой линии как точки принадлежащие поверхности конуса. 74 Рис. 5.2 Рассмотрим пример построения эллипса на поверхности ко- нуса. Начнём с построения точек 1 и 2, лежащих на очерковых образующих конуса (рис. 5.3). Для построения этих точек не нужно дополнительно проводить образующие конуса, т. к. можно использовать сами очерковые образующие. Точки 3 и 4 легко по- строить на профильной проекции, а затем перенести на горизон- тальную. Воспользуемся тем свойством, что они расположены симметрично по отношению к осям конуса и их ординаты на плоскостях π 1 и π 3 равны. 5 1 2 3 4 7 6 75 Рис. 5.3 Для построения точек 5 и 6 (рис. 5.4), проведём через них окружность. Построим её горизонтальную проекцию, и на ней построим горизонтальные проекции этих точек. Профильные проекции точек найдём на основании известного свойства о ра- венстве ординат. 4 3 4 1 3 1 76 Точки 7 и 8 можно построить подобно точкам 5 и 6. Можно получить проекции этих точек, проведя через них вспомогатель- ные прямые (рис. 5.4). На горизонтальных проекциях этих пря- мых строим горизонтальные проекции этих точек, а по ним про- фильные. Рис. 5.4 8 3 7 3 6 3 5 3 R – радиус вспомогатель- ной окружности 7 2 ≡8 2 5 2 ≡6 2 8 1 7 1 6 1 5 1 R 77 Для получения проекций кривой, полученные точки соеди- няем с учётом видимости на проекциях (рис. 5.5). Рис. 5.5 Аналогичные построения позволяют построить на поверх- ности конуса гиперболу и параболу. Пересечение цилиндрической поверхности с плоскость В сечении цилиндра плоскостью линии пересечения могут быть: 1– эллипс, если секущая плоскость не параллельна и не перпендикулярна к образующим цилиндра. 78 Рис. 5.6 79 2 – окружность, если секущая плоскость перпендикулярна к образующим (оси вращения) цилиндра. 3 – две образующие, если секущая плоскость параллельна образующим (оси вращения). Определение натуральной величины фигуры сечения На рис. 5.6 секущая плоскость рассекает конус по гипербо- ле. Плоская фигура сечения ограничивается гиперболой и прямой линией АВ, по которой секущая плоскость пересекает основание конуса. Для построения натуральной величины фигуры сечения, вводим новую плоскость проекций параллельно секущей плоско- сти и перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций, т. е. преобразуем плоскость фигуры в плоскость уровня. Из имею- щихся точек построения на кривой проведем линии связи пер- пендикулярно к новой оси проекций. По линиям связи от новой оси отложим высоты этих точек, взяв их на второй проекции. По- лученные точки соединим. Построенная таким образом плоская фигура будет равна ее натуральной величине. Лист 2 Построение линий пересечения поверхностей во многом за- висит от положения заданных геометрических образов в про- странстве. Различают задачи в которых один из заданных образов проецирующий по отношению к плоскостям проекций и задачи в которых оба заданных образа общего положения. Если один из образов проецирующий, задача решается на основании ранее названного алгоритма (см. с. 35, 36, 71). Если оба заданные образа общего положения, задача реша- ется либо путем преобразования одного из образов в проеци- рующий, либо с использованием вспомогательных секущих по- верхностей посредников. В качестве таких посредников берут плоскости или сферы. Рассмотрим примеры решения задач на пересечение двух поверхностей. 80 Пример 1. Построить линию пересечения прямого кругово- го цилиндра со сферой (рис.5.7). Рис. 5.7 Цилиндр занимает горизонтально проецирующее положе- ние. Следовательно, горизонтальная проекция линии пересечения 81 совпадает с вырожденной горизонтальной проекцией цилиндра. Нужно построить фронтальную проекцию линии пересечения как линию на поверхности сферы. Построение начинают с характерных точек кривой. Перво- начально строят точки на очерковых образующих цилиндра (А и В) и сферы (C и D). Затем строят самую близкую точку Е и са- мую дальнюю F. Чтобы построить самую высокую точку M и са- мую низкую N, проводят плоскость через оси вращения заданных поверхностей, в которой и лежат эти точки. Далее строят необхо- димое количество дополнительных точек. Пример 2. Построить линию пересечения двух цилиндров (рис. 5.8). Вертикально расположенный цилиндр горизонтально про- ецирующий, но построение точек линии пересечения на фрон- тальной проекции горизонтально расположенного цилиндра за- труднительно. Для решения задачи преобразуют горизонтально располо- женный цилиндр в проецирующий на профильную плоскость. Точки линии пересечения на фронтальной проекции строят по их горизонтальной и профильной проекциям. Характерными точками линии пересечения цилиндров бу- дут: самыми высокими М и М ′ , самыми низкими N и N ′ . Эти же точки являются границами видимости на фронтальной проекции. На чертеже (рис. 5.8) показано построение промежуточной точки К 2 по проекциям К 3 и К 1 . Проекции всех других точек линии пе- ресечения строят аналогичным образом. 82 Рис. 5.8 Пример 3. Построить линию пересечения сферы с конусом (рис. 5.9). Для нахождения точек линии пересечения, удобно исполь- зовать горизонтальные секущие плоскости. Такие плоскости бу- дут рассекать конус и сферу по окружностям. В пересечении этих окружностей определятся точки общие для двух поверхностей – точки линии пересечения. Чтобы определить диапазон проведения таких плоскостей необходимо построить самую высокую и самую низкую точки линии пересечения. Для этого проводят плоскость Т через ось вращения конуса и центр сферы. Эта плоскость пересечет конус 83 по образующим S1, а сферу по окружности, радиус которой равен радиусу сферы. Искомые точки E и F определятся на пересечении этих линий. Рис. 5.9 84 Проекции точек E и F определяют вращением секущей плоскости Т вокруг оси конуса до положения параллельного фронтальной плоскости проекций. Строят фронтальные проекции окружности пересечения сферы с плоскостью Т и образующей S1в их новом положении (S 2 1′ 2 и окружность с радиусом R, про- веденная из центра O′ 2 ). Точки E′ 2 и F′ 2 находятся на пересечении S 2 1′ 2 с окружностью, проведенной из центра O′ 2 , а по ним строят точки E 2 и F 2 на фронтальной проекции образующей S 2 1 2 Проекции точек E и F можно определить методом перемены плоскостей проекций, проведя новую плоскость проекций парал- лельно секущей плоскости Т. Для определения границ видимости линии пересечения на горизонтальной проекции (точек C и D) проводят горизонталь- ную плоскость Q, проведя ее через центр сферы О. Эта плоскость пересечет сферу по экватору, а конус по окружности радиуса R′. Точки C 1 и D 1 определятся на пересечении горизонтальных про- екций этих окружностей. По горизонтальным проекциям точек C 1 и D 1 строят их фронтальные проекции C 2 и D 2 , лежащие на фрон- тальном следе плоскости Q. Все точки линии пересечения, распо- ложенные выше плоскости Q, на горизонтальной проекции будут видимыми. Для определения видимости линии пересечения на фрон- тальной проекции определяют горизонтальные проекции точек K 1 и L 1 , которые находятся на пересечении главного меридиана сферы с горизонтальной проекцией линии пересечения. Фрон- тальные проекции этих точек (K 2 и L 2 ) строятся по принадлежно- сти. Построение промежуточных точек показано на примере на- хождения точек 3 и 4 с помощью горизонтальной плоскости U. Плоскость U пересекает конус и сферу по окружностям, которые проецируются на горизонтальную плоскость проекций без иска- жения. На пересечении этих окружностей определяют горизон- 85 тальные проекции точек 3 1 и 4 1 , фронтальные проекции этих то- чек 3 2 и 4 2 находят на фронтальном следе плоскости U. Пример 4. Построить линию пересечения цилиндра и кону- са (рис. 5.10). Задачу целесообразно решать методом концентрических сфер-посредников. Этот метод основывается на теореме: Любая сфера пересекает соосную с ней поверхность вращения по ок- ружностям. Метод концентрических сфер-посредников применяется при условии, что обе пересекающиеся поверхности являются поверх- ностями вращения оси которых пересекаются и лежат в плос- кости параллельной одной из плоскостей проекций. Построение начинают с точек пересечения очерковых обра- зующих цилиндра и конуса A, B, C, D. Эти точки определяют границу видимости линии пересечения на фронтальной проек- ции. За центр сфер принимают точку пересечения осей вращения заданных поверхностей. Для определения диапазона изменения величин радиусов сфер, определяют радиусы сфер R max и R min Радиус R max равен расстоянию от центра сфер до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих заданных поверхностей. В данном примере R max = О 2 А 2 Радиус сферы R min определяется как радиус большей из сфер, вписанных в каждую из заданных поверхностей. Для опре- деления радиусов таких сфер из центра сфер О 2 проводят перпен- дикуляры к очерковым образующим каждой из данных поверх- ностей. Величина большего из полученных перпендикуляров бу- дет соответствовать R min . В данном примере R min = О 2 1 2 Сфера с минимальным радиусом касается поверхности ци- линдра по окружности 1-1, а коническую поверхность пересекает по двум окружностям 2-2 и 2′-2′. Точки Е, Е′ и N, N′ пересечения 86 этих окружностей будут точками искомой линии пересечения по- верхностей. Рис. 5.10 Для построения других точек линии пересечения проводят несколько концентрических сфер с центром в точке О 2 , при этом радиусы сфер-посредников должны определяться зависимостью 87 R max R ≥ R min . На рис. 5.10 проведена сфера радиуса R которая пересекает цилиндрическую поверхность по окружностям 3-3 и 3′-3′, а коническую по окружности 4-4. В пересечении этих ок- ружностей найдены точки К, К′ и Р, Р′. Задача решается на фронтальной проекции. Для построения горизонтальной проекции линии пересечения, эту линию строят как линию, принадлежащую одной из данных поверхностей. В приведенном примере удобно воспользоваться параллелями ко- нуса, так как они на горизонтальную плоскость проекций про- ецируются без искажений. ЗАНЯТИЕ 6 (2 часа) Раздел 4. Тема 4.6. Решения задач на пересечение геометрических образов общего положения [3,4,6,8,13]. Цель занятия. Приобретение навыков построения линий пересечения геометрических образов общего положения. Реше- ние задач. Условия задач и упражнений 1. Постройте точку пересечения прямой с плоскостью. Укажите возможные способы решения этой задачи. Определите видимость прямой. А 1 А 2 С 2 В 2 С 1 В 1 c 1 c 2 c 1 α П2 α П1 c 2 2) 1) 88 2. Построить точки пересечения прямой с поверхностью. 2) 1) c 1 c 1 c 2 c 2 О 1 О 2 S 1 S 2 А 1 В 1 S 1 S 2 c 1 c 2 4) В 2 А 2 3) 89 3. Построить линию пересечения плоскостей 4. Построить линию пересечения многогранника с плоскостью β П2 α П2 α П1 β П1 2) C 2 А 1 В 1 С 1 А 2 n 2 m 2 B 2 n 1 m 1 1) m 2 n 2 m 1 n 1 S 2 C 2 B 2 A 2 A 1 S 1 C 1 b 1 α П2 α П1 a 2 b 2 c 2 a 1 c 1 B 1 1) 2) 90 5. Построить сечение поверхности плоскостью 6. Построить линию пересечения поверхностей S 1 S 2 n 1 n 2 m 2 m 1 O 2 O 1 α П1 α П2 O 1 1) O 2 S 2 B 1 B 2 C 2 S 1 S 2 A 2 C 1 A 1 2) S 1 91 7. Построить линию пересечения поверхностей. Самостоятельная работа Выполнение домашнего задания Дз 2. Решение позиционных и метрических задач (продолжение) [3,4,6,8,13]. ЗАНЯТИЕ 7 (2 часа) Раздел 5. Темы 5.7. Решение задач на измерение расстояний [3,4,6,8,13]. Цель занятия. Приобретение навыков решения метриче- ских задач. Решение задач. Условия задач и упражнений 1. Определить натуральную величину отрезка прямой и углы его наклона к плоскостям проекций. А 1 В 2 В 1 А 2 92 2. Определить расстояние от точки до прямой 3. Определить кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми. 4. Определить расстояние от точки до плоскости. 3) 2) 1) c 2 c 2 c 2 c 1 c 1 c 1 А 2 А 2 А 1 А 1 А 1 А 2 n 2 m 2 m 1 n 1 А 2 А 2 А 1 А 1 B 2 C 2 D 2 B 1 C 1 D 1 α П2 α П1 2) 1) 93 5. Определить расстояние между параллельными плоскостями. Самостоятельная работа Выполнение домашнего задания Дз 2. Решение позиционных и метрических задач (продолжение) [3,4,6,8,13]. ЗАНЯТИЕ 8 (2 часа) Раздел 5. Тема 5.8. Решение задач на измерение углов и опреде- ление натуральной величины и формы плоских фигур [3,4,6,8,13]. Письменный опрос (Т2). Цель занятия. Приобретение навыков решения метриче- ских задач. Решение задач. 1) 2) α П1 α П2 А 2 B 2 C 2 А 1 B 1 C 1 f 2 h 2 h 1 f 1 m 2 m 1 n 2 n 1 |