Кеңістіктегі жазықтық теңдеуі_3лекция (2). Берілген нкте арылы тетін, берілген вектора перпендикуляр жазытыты тедеуі
 Скачать 1.53 Mb.
|
|
Кеңістіктегі жазықтық теңдеуі Қарапайым беттердің бір түрі жазықтық.  кеңістіктегі жазықтықты әр түрлі түрде беруге болады. Олардың әрқайсысына сәйкес теңдеулері болады.Берілген нүкте арқылы өтетін, берілген векторға перпендикуляр жазықтықтың теңдеуі. кеңістігінде  жазықтығы  нүктесімен және осы жазықтыққа перпендикуляр  векторымен берілген. жазықтығының теңдеуін қорытып шығарайық. Жазықтықтан кез-келген  нүктесін алайық және  векторын құрайық.
М нүктесі жазықтығында қалай орналассада  және векторлары өзара перпендикуляр болады, сондықтан олардың скаляр көбейтіндісі нөлге тең:  , яғни
жазықтығының кез-келген нүктесі (1) теңдеуін қанағаттандырады, ал жазықтығында жатпайтын нүктелер қанағаттандырмайды. (олар үшін  ), яғни  .(1) теңдеу берілген. нүктесі арқылы өтетін,  нормаль векторына перпендикуляр жазықтықтың теңдеуі деп аталады.  ,  , және  координаталарына байланысты жазықтықтың теңдеуі бірінші дәрежелі болады. векторы жазықтықтың нормаль векторы деп аталады. Жазықтықтың жалпы теңдеуі , , және үш белгісізді бірінші дәрежелі теңдеуді қарастырайық:
Осы теңдеуді  коэффициенттерінің бірдей нөлге тең емес болсын, мысалы,  , онда (2) теңдеуін былайша жазуға болады:
(3) және (2) теңдеулерін салыстырып, біз (2) және (3) теңдеулері нормаль векторы бар.  нүктесі арқылы өтетін жазықтықтың теңдеулері екенін көрініп тұр.(2) теңдеуі координаталар жүйесіндегі қандай да бір жазықтықты анықтайды. (2) теңдеуі жазықтықтың жалпы теңдеуі деп аталады. Жазықтықтың жалпы теңдеуінің дербес жағдайы Егер  болса, онда жазықтық  түрінде болады. Бұл теңдеуді  нүктесі қанағаттандырады. Демек бұл жағдайда жазықтық координаталардың бас нүктесі арқылы өтеді. Егер  болса, онда жазықтық  .  нормаль векторы  осіне перпендикуляр болады. Демек, жазықтық осіне параллель; егер  болса, онда  осіне параллель; егер  болса, онда  осіне параллель болады.  болса, онда жазықтық нүктесі арқылы өтіп жазықтығына параллель болады, яғни  жазықтығы осі арқылы өтеді. Тура осылайша  және  жазықтықтары сәйкес және осьтері арқылы өтеді.Егер  онда, (2) теңдеуі  түріне келеді, яғни  . Бұл  жазықтығына параллель жазықтық. Тура осылайша,  және  жазықтықтары сәйкес,  және  жазықтықтарына параллель жазықтықтарды анықтайды. 5.  болса, онда (2) теңдеуі  түріне келеді, яғни  . Бұл жазықтығының теңдеуі. Тура осылайша,  - жазықтығының теңдеуі,  - жазықтығының теңдеуі.Берілген үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі Кеңістікте бір түзудің бойында жататын үш нүкте бір ғана жазықтықты анықтайды. Бір түзуде жатпайтын  ,  және  нүктелері арқылы өтетін жазықтығының теңдеуін табайық.Жазықтықтан қалауымызша кез-келген  нүктесін алайық және  ,  ,  векторларын құрайық. Бұл векторлар жазықтығында жатады, олар компланарлы векторлар. Векторлардың компланар шартын қолданып (олардың аралас көбейтіндісі нөлге тең),  , аламыз, яғни
(4) теңдеуі берілген үш нүкте арқылы өтетін жазықтықтың теңдеуі. Жазықтықтың кесінділер арқылы берілген теңдеуі Жазықтық , және осьтерін  ,  және  кесінділерін қияды, яғни ол  ,   нүктелері арқылы өтеді. Осы нүктелердің координаталарын (4) теңдеуіне қойып, келесі анықтауышты аламыз
Анықтауышты ашып  аламыз, яғни  немесе
(5) теңдеуі координаталар осьтеріндегі жазықтық кесінділер бойынша теңдеуі деп аталады. Бұл теңдеу жазықтықтарды салғанда қолданған ыңғайлы. Жазықтықтың нормаль теңдеуі ОК=р болсын, болсын онда  бірлік векторының  остерімен жасайтын бұрыштары  және  болады. Онда  жазықтықпен кез-келген  нүктесін алып, оны координаталар басымен қосайық. Сонда  векторын аламыз:
(6) –теңдеуі векторлық формадағы жазықтықтың нормаль теңдеуі деп аталады.  және векторларының координаталары белгісіз, (7) теңдеуін
(7) теңдеуі координаталық формадағы жазықтықтың нормаль теңдеуі. (2) жазықтықтың жалпы теңдеуін (7) нормалдық теңдеуіне келтіруге болады, яғни (2) теңдеудің екі жағында нормалдық теңдеу  нормалдық көбейткішке көбейтеміз, мұндағы таңбасы жазықтықтың жалпы теңдеуінің  бос мүшесінің қарама-қарсы таңбасы алынады. Жазықтықтар. Негізгі есептері Екі жазықтық арасындағы бұрыш. Екі жазықтықтың параллель және перпендикуляр болу шарттары  және  жазықтығы берілсін.
және жазықтықтарының арасындағы бұрыш осы жазықтықтарынан құралған екі жақты бұрыш ұғымымен түсіндіріледі. және жазықтықтарының арасындағы бұрыш, осы жазықтықтардың  және  нормаль векторларының арасындағы бұрышқа тең. Сондықтан  немесе
Сүйір бұрышты табу үшін осы теңдіктің оң жағын модульге аламыз. Егер және жазықтықтары перпендикуляр болса (73, а суретті қара), онда олардың нормаль векторлары перпендикуляр болады, яғни  (және керісінше). Онда  ,
яғни  . Бұл теңдік екі және жазықтықтарының перпендикуляр болу шарты. Егер және жазықтықтары параллель болса, онда олардың  және  нормаль векторлары параллель болады. Онда олардың координаталары пропоционал болады:  . Бұл және жазықтықтарының параллель болу шарты. Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық.  нүктесі мен жазықтығы  теңдеуімен берілсін.  нүктесінен жазықтығына дейінгі  арақашықтығы келесі формула арқылы анықталады
Кеңістіктегі түзудің теңдеулері Түзудің векторлық теңдеуі Кеңістіктегі түзудің теңдеуі. Түзудің кез-келген нүктесі және осы түзуге параллель  векторымен анықталады. векторы түзудің бағыттауыш векторы деп аталады.  түзуі өзінің нүктесімен және  бағыттауыш векторымен берілсін. Түзудің бойынан кез-келген нүктесін белгілеп алайық. және  нүктелерінің радиус векторларын  және арқылы белгілейік. , , үш векторы
қатынасымен байланысты. түзуінің бойында жатқан векторы бағыттауыш векторына параллель, сондықтан  , мұндағы  параметр деп аталатын скалярлық көбейткіш, ол түзудің М нүктесінен тәуелді әр түрлі мәндер қабылдайды. (2) формуласын
түрінде жазуға болады. Бұл шыққан теңдеуді түзудің векторлық теңдеуі деп аталады. Түзудің параметрлік теңдеуі  ,  ,  ескере отырып (2) теңдеуін
түрінде жазуға болады. Бұдан
теңдігі шығады. Бұл теңдеуді түзудің параметрлік теңдеуі деп атайды. Түзудің канондық теңдеуі векторы түзуінің бағытауыш векторы, ал нүктесі осы түзуде жататын нүктесі. түзуінің бойындағы нүктесін нүктесімен қосып, векторына параллель векторын жүргіземіз. Сондықтан,  және пропорционал болады:
(4) теңдеуі түзудің канондық теңдеуі деп аталады. Екі нүкте арқылы өтетін кеңістіктегі түзудің теңдеуі және нүктелері арқылы өтетін түзуі берілсін. Бағыттауыш векторы ретінде  векторын алуға болады, яғни  Демек,  . Түзу нүктесі арқылы өтетін болғандықтан, (4) теңдеуі бойынша,  түзуінің теңдеуі келесі түрде болады
(5) теңдеуі берілген екі нүкте арқылы өтетін түзудің теңдеуі деп аталады.  Түзудің жалпы теңдеуі Кеңістіктегі түзудің теңдеуі параллель емес екі жазықтық қиылсықанда пайда болған сызық арқылы беріледі
теңдеулер жүйесін қарастырайық. Бұл жүйенің әрбір теңдеуі жазықтықты анықтайды. Егер жазықтықтар параллель емес болса ( және ) векторларының координаталары пропорционал болмайды.) онда (6) жүйесі, координаталары осы жүйенің әрбір теңдеуін қанағаттандыратын, кеңістіктегі геометриялық орны болатын түзуін анықтайды. (6) жалпы теңдеуінен (5) канондық теңдеу түріне келтіруге болады. (12.15) жүйесіндегі теңдеулеріндегі координаталардың кез-келген біреуін нөлге теңестіріп, түзуінің нүктесінің координаталарын табамыз (мысалы, ). түзуі және  векторларына перпендикуляр болғандықтан, түзуінің бағыттауыш векторы ретінде  векторлық көбейтіндісін алуға болады:
Ескерту: Түзудің бойынан кез-келген екі нүктесін алып, (6) теңдеуін қолданып, түзудің канондық теңдеуін оңай шығарып алуға болады. мысал.  теңдеуімен берілген түзуінің канондық теңдеуін жазу керек. Шешуі: деп алып,  жүйесін шешеміз.  нүктесін табамыз. деп алып  жүйесін шешеміз. түзуінің  екінші нүктесін табамыз.  және  нүктелері арқылы өтетін түзуінің теңдеуін жазамыз: .Кеңістіктегі түзу сызық. Негізгі есептер Түзулердің арасындағы бұрышы. Түзулердің параллель және перпендикуляр болу шарттары  және  түзулері  және  теңдеулерімен берілсін.
косинусы формуласы бойынша келесі теңдеу  немесе
және түзулерінің сүйір бұрышын табу үшін (12.16) теңдеуінің алымын модульмен алу керек. Егер және түзулері перпендикуляр болса, онда  . Осыдан (7) бөлшегінің алымы нөлге тең, яғни  .Егер және түзулері параллель болса, онда оның бағыттауыш  және  векторлары параллель болады. Демек, бұл векторлардың координаталары пропорционал болады, яғни  .12.2-мысал.  және  түзулері арасындағы бұрышты табу керек. Шешуі:  екені белгілі, ал  мұндағы  ,  , бұдан  .  болғандықтан,  . Екі түзудің бір жазықтықта жату шарты және түзулері және канондық теңдеуімен берілген.
Векторлардың компланарлы болу шарты бойынша, олардың аралас көбейтінділері нөлге тең болады:  , яғни
Осы шарт орындалғанда және түзулері бір жазықтықта жатады, яғни қиылсады, егер  болса, ал параллель болады, егер ║ болса. Кеңістіктегі түзу мен жазықтық Түзу мен жазықтықтың арасындағы бұрыш. Түзу мен жазықтықтың параллель, перпендикуляр болу шарты жазықтығы теңдеуімен түзуі  теңдеуімен берілсін. Түзу мен жазықтық арасындағы бұрышы деп, оның жазықтыққа түсірілген проекциясы мен түзудің арасындағы екі сыбайлас бұрыштың кез-келген біреуін айтады.  деп жазықтығы мен түзуі арасындағы бұрышты, ал  деп  нормаль векторы мен  бағыттауыш векторы арасындағы бұрышты белгілейік. Сонда  ,  деп есептеп синус бұрышын табамыз.  .  болғандықтан
Егер түзуі жазықтығына параллель болса, онда және  векторлары перпендикуляр болады, сондықтан  , яғни
Бұл түзу мен жазықтықтың параллель болу шарты.  түзуі жазықтығына перпендикуляр болса, онда және векторлар параллель болады Сондықтан
түзу мен жазықтықтың перпендикуляр болу шарты. Түзудің жазықтықпен қиылсу шарты. Түзудің жазықтыққа тиісті болу шарты
түзуінің
жазықтығымен қиылсу нүктесін табу керек болсын. Ол үшін (11) және (10) теңдеулер жүйесін шешу керек. Ол үшін (11) түзудің теңдеуін параметрлік түрде жазамыз:
 ,  және өрнектерінің мәндерін (10) жазықтықтың теңдеуіне қойып  немесе
теңдеуін аламыз. Егер түзуі жазықтыққа параллель болмаса, яғни  , онда (12) теңдеуінен  параметрін табамыз:
Содан соң -ның табылған мәнін түзудің параметрлік теңдеуіне қойып, түзудің жазықтықпен қиылсу нүктесін табамыз. Енді ║ , яғни  болған жағдайды қарастырамыз:а) Егер  болса, онда түзуі жазықтыққа парллель және қиылспайды (онда (12.20) теңдеуінің шешімі болмайды, яғни  , мұндағы  ).б) Егер  болса, онда (12) теңдеуі  болады. -ның кез-келген мәні оны қанағаттандырады және түзудің кез-келген мәні оны қанағаттандырады және түзудің кез-келген нүктесі түзу мен жазықтықтың қиылсу нүктесі болады. Онда түзу жазықтыққа тиісті деп қортындылаймыз. Осылайша,
теңдіктері орындалса, онда ол түзудің жазықтыққа тиісті болу шарты болады. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
.
.
.
.
.
,
,
,
.
.
.
.
.
.
.
,
.
және 
бағыттауыш векторларының арасындағы бұрышымен анықталады. (78 суретті қара). Сондықтан бұрын белгілі векторлардың арасындағы бұрыштың
.
, 
болып 
нүктесі арқылы өтетін 
арқылы 
нүктесі арқылы өтетін 
деп белгілейік. Онда 
.
векторлары компланарлы болса.
.
.
.