Бесконечные произведения. . Общие сведения def
 Скачать 0.53 Mb.
|
|
РАЗДЕЛ 6. Бесконечные произведения. §. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ Def: Конструкция вида  , где  (или ) называется бесконечным произведением. При этом,  – общий член произведения, а  – частичные произведения.Def: Если  , то бесконечное произведение называется “нулевым бесконечным произведением”.Def: Если  и  и  , то бесконечное произведение называется сходящимся к P.Def: Если  и  то произведение называется расходящимся к нулю. Рассмотрим  и перейдём к пределу при  . Если произведение сходится то: .Получили: необходимое условие сходимости бесконечного произведения: *. Если бесконечное произведение сходится, то его общий член стремится к единице. Примеры: 1.  . Частичные произведения  , однако при этом  не стремится к единице. Не выполнено необходимое условие сходимости бесконечного произведения, хотя  . Этот пример поясняет термин: «произведение расходится к нулю». 2.  . Казалось бы:  , но .Бесконечное произведение расходится, хотя  при  , т.е. стремление к единице общего члена произведения, есть только необходимое, но не достаточное условие сходимости.*. Каждому бесконечному произведению  можно поставить в соответствие последовательность его частичных произведений  и, наоборот:  .Причём последовательность и произведение сходятся или расходятся одновременно (по определению), за исключением произведений расходящихся к нулю. §. Достаточное условие сходимости бесконечного произведения. Если ряды  и  – сходятся, то сходится и бесконечное произведение  .∆ Т.к. сходится то  . Тогда   и, значит,  и сходятся или расходятся одновременно но  сходится   – сходится.Тогда   и - сходится. ▲Замечание: Существуют бесконечные произведения, для которых и – расходятся, но – сходится, т.е. теорема представляет собой только достаточное, но не необходимое условие сходимости. Здесь привести такой пример.§. Связь между рядами и бесконечными произведениями. Записывая очевидное равенство:  , приходим к выводу о том, что  и  сходятся и расходятся одновременно  .Def: Бесконечное произведение называется сходящимся абсолютно или условно, если абсолютно или условно, соответственно, сходится ряд .Примеры: 1. Рассмотрим  . Для его частичных произведений, получим:  =  =  ==  =  . Бесконечное произведение сходится, по определению. 2. Рассмотрим  . Для его частичных произведений, получим: =  =  . Произведение сходится, если  . При этом  .§. Разложение sin xи cos x в бесконечное произведение. Запишем формулу Муавра  и возьмём мнимую часть от правой и левой части равенства: =  = …Отметим что при четных  слагаемые в сумме вещественны и, следовательно, нас не интересуют, а при нечетных слагаемые чисто мнимые и, поэтому, положив  , продолжим выкладку: … =  ==  =  .т.е.  .Разложив  , где  –корни полинома  , и отметив что, если  , то z -корень  , k= 1,2,…,n. Константа  . Учитывая, что  делаем заключение:  .Положим  и тогда, при фиксированном k : Тогда:  =  .Чтобы рассмотреть  вспомним неравенство  .Тогда:  и  .Следовательно:    =  .Таким образом:  (*)Бесконечное произведение  сходится, ибо сходится ряд  . (Здесь  выбрано так, чтобы  ). Поэтому остаточное произведение  должно стремиться к единице при  . Очевидно, мы лишь усилим неравенство (*), если напишем:  .Переходя к пределу при и при фиксированном , получаем:  . И, следовательно,  . Мы приходим к разложению  в бесконечное произведение, впервые полученное Эйлером:  .Учитывая, что  и используя полученное разложение в бесконечное произведение, можем получить разложение  в бесконечное произведение.В самом деле  .Тоже самое разложение можно получить и записав   , а положив в разложении ,  получим формулу Валлиса:  = .§. Формула Стирлинга. Запишем разложения :  и  , а после этого, вычтем из первого разложения второго: .Положим в этой формуле  . Тогда:  и, следовательно:  . И, очевидно,  .Оценка сверху для  дает следующее:  =  == =  =  =  . Из оценок для , получаем:  и, потенцируя: . (*)Теперь рассмотрим последовательность:  .  .учитывая (*), получаем:  .Таким образом:  и  .Последовательность  возрастающая и ограничена сверху . Значит  и   , т.е.   .Для нахождения величины a воспользуемся формулой Валлиса:  . =  =  =  = ….Подставляя вместо  , полученное для него выражение, получаем  . Тогда:  . Это и есть формула Стирлинга.РАЗДЕЛ 7. ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ. §. Гамма – функция Г(z).Def:  .1*. Прежде всего отметим что функция не определена при  . Кроме того, если  то в бесконечном произведении найдется член для которого  обращается в ноль и, следовательно, бесконечное произведение не определено. Для изучения сходимости  рассмотрим сходимость ряда:  . Для него  –  .Из сказанного ясно, что ряд, а вместе с ним и бесконечное произведение, сходятся абсолютно, при  .2*.  . В самом деле: ==  .3*. Формула понижения:  . ==  .Тогда:  . Гамма-функция является, в некотором смысле, расширением понятия факториала на не целые значения аргумента. 4*. Формула дополнения:  . ==  = =  = ….Полагая  , получим и учитывая, что :  получим….=  .Из доказанной формулы дополнения :• при  следует, что:  .• при  получаем, что:   . И, следовательно: ;  .5*. Формула удвоения:  .6*. Формула умножения:  .7*. Формула Лежандра (Эйлеров интеграл II - рода):  .8*. Бета-функция (Эйлеров интеграл I – рода):  .§. СВЯЗЬ МЕЖДУ ЭЙЛЕРОВЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ I-го И II-го РОДА  ==  ==  .Функция В(z,n) – называется Бетта-функцией. §. БеТта – функциЯ В(а,b)  .Изучим свойства введенной функции: а)  . Δ  =  . ▲ б).  . ==  ==  ==  . Отсюда получается доказываемая формула.Итак, имеем: и  .Если b – целое число, то:  = … ==   .Если, при этом, а – также целое, то:  .Эта формула полученная для целочисленных значениях аргументов справедлива и в общем случае:  .в). Еще одно выражение для Бета-функции:  ==  . Т.е.  .Кстати, при b = 1 – a:  .§. ЕЩЕ РАЗ Гамма – функция Г(z).Возвращаемся к Гамма-функции. Нами установлено:  .Последняя выкладка показывает, что функция, введенная в п.7, как эйлеровый интеграл 2-го рода, действительно совпадает с Гамма-функцией, определенной в начале раздела. |