КСЕ. Лаба 5. Бифуркационная динамика систем
 Скачать 78.06 Kb.
|
|
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики» Факультет: Информационной безопасности и компьютерных технологий Кафедра: Безопасных информационных технологий Направление: 10.03.01 «Информационная безопасность» Лабораторная работа № 5 По дисциплине: «Концепции современного естествознания» По теме: «Бифуркационная динамика систем» Выполнил: Студент группы P3250 Плющ Кристина Геннадьевна Преподаватель: к.т.н., доцент каф.ПБКС Комарова И.Э. Санкт-Петербург 2016 Бифуркационная динамика систем Разделы программы: Новые направления науки о самоорганизации. Теоретическая часть. Полученные еще в девятнадцатом веке А.Пуанкаре результаты анализа решений некоторых дифференциальных уравнений (т.н. бифуркация решений), в дальнейшем развитые А.Андроновым в области теории нелинейных колебаний, нашли применение в науке о самоорганизации. Основополагающей работой в этом направлении стала работа А.Тьюринга «О химической основе морфогенеза», в которой было показано, что при определенных условиях взаимодействие химической реакции и чисто физического процесса диффузии приводит к возникновению стационарной пространственной неоднородности концентраций вещества, т.е. структуры. Выводы Тьюринга в дальнейшем были подтверждены в биологических экспериментах. Впоследствии оказалось, что круг явлений, описываемых в рамках подхода Тьюринга, оказался очень широк: кроме биологических процессов сюда вошли некоторые химические, экологические процессы, а также процессы, относящиеся к гидродинамике, физике плазмы и т.д. В настоящее время теория бифуркаций вышла далеко за рамки естествознания и применяется в исторической науке, педагогике, медицине и других областях. Ход работы. Уясните модельную ситуацию, предложенную отечественным исследователем Л.Кадановым. Пусть на изолированном острове летом выводятся насекомые численностью Хi , которые откладывают яйца и умирают. Из яиц на следующий год выводятся новые насекомые численностью Хi +1 . Очевидно, численность потомства Хi +1 должна зависеть от численности родительского поколения Хi и от каких-то дополнительных факторов. Эта зависимость учитывается уравнением: Хi +1 = (N - Хi ), Где > 0 – некоторый параметр (т.е. постоянная в условиях рассмотрения величина), N – максимально возможная численность популяции. Для унификации уравнения численность популяции нормируют по отношению к предельной величине , что математически оформляется делением обеих частей равенства на N2: Хi +1* = * Хi*(1 - Хi*) Где Хi* = Хi/N; Хi +1*= Хi +1/ N *= N (в дальнейшем изложении * будем опускать). Проанализируйте унифицированное уравнение. Оно решается путем подстановки значений Хi (0≤ Хi ≤ 1) с дальнейшим расчетом Хi +1, которое вновь считается исходным Хi и т.д. (рекуррентный расчет). Однако результаты будут существенно зависеть от , называемого также параметром скорости роста.Так, для небольших (0 <<1) выполняется Хi , независимо от начального значения Х0. Убедитесь в этом, задав Х0 и в соответствие с вышеуказанными интервалами. Результаты расчетов отразите в табл. 1., указав сверху нее значение . Таблица 1 =0.4
Анализ табличных результатов показывает, что популяция сокращается. Продолжите анализ унифицированного уравнения, задав большее, а именно (1 <<3). Результаты расчетов отобразите в табл.2, оформив ее по аналогии с табл.1. Таблица 2 λ=2
Как видно, в данном случае популяция не возрастает, а стремится по численности к некоторому предельному значению Х*. Этот предел для каждого может быть рассчитан аналитическим путем решения уравнения: Хi* = Х*(1 – Х*) Уравнение имеет два решения: Х*1= 0 Х*2 = (- 1)/ Первое решение реализуется (т.е. существует устойчиво) при малых (0 <<1), а второе для >1, т.к. условиям задачи по должно быть Хi>0. Для Х*2, очевидно, характерен годичный цикл численности. Задайте еще большее значение (3 <<3,4) и рассчитайте динамику популяции. Результаты расчета отобразите в табл.3, аналогичной по форме табл.1. Таблица 3 λ=3.5
Как можно увидеть в этом случае динамика численности популяции заметно усложняется: возникают два ее предельных (стационарных) значения, причем сама численность колеблется, попеременно приближаясь то к одному, то к другому пределу. В итоге будет наблюдаться ритмичность колебаний численности с периодом 2 года. Таким образом характер решения унифицированного уравнения численности популяции существенно зависит от величины параметра , входящего в уравнение. Для «малых» стационарное значение равно 0, для «средних» - оно ненулевое, для «больших» возникают два стационарных состояния. Последняя ситуация и называется бифуркацией (разветвлением) решения (и, соответственно, динамического поведения системы). В нашем случае она возникает, когда параметр достигает первого критического значения 1=3. Строго говоря, первая точка бифуркации соответствует 0= 1. Однако из двух значений Х* одно (Х*1 = 0) становится неустойчивым и не реализуется. Построить график зависимости стационарных состояний численности от параметра скорости роста Х = f ( ), = (0-3,57). Можно показать, что второе критическое значение 2 = 3.4 соответствует раздвоению каждой из ветвей решения, т. е. стационарных значений становится не два, а четыре. При этом возникает четырехстадийный цикл колебаний численности, т.е. четырехлетняя периодичность. Следующее критическое значение 3 = 3,54 приводит к восьмистадийному циклу, затем появляются 16, 32, 64 и т.д. ветвей.  Соответствующие критические значения очень мало отличаются друг от друга. Наконец, при = 3,57 периодичность изменения численности исчезает (ветви решений сливаются , а период повторения можно условно считать бесконечным). Наступает хаотизация динамики (т. е. динамический или детерминированный хаос). Рассмотренная математическая модель является далеко не единственной, которая приводит к каскаду бифуркаций удвоения периода при изменении некоторого параметра, входящего в уравнение. В самом общем случае такая задача была впервые исследована М.Фейгенбаумом в 1978 г. Разработанную им теорию называют теорией универсальности Фейгенбаума. Полученные в ней закономерности оказались общими для широкого класса гидродинамических, механических, электрических, биологических и других систем. Теория бифуркаций позволяет раскрыть важные закономерности динамического поведения систем различной природы, в том числе – переход от упорядоченного поведения к хаотическому и обратно. Контрольные вопросы: Какие биологические обоснования можно привести для введения величины N в исходное уравнение? Ответ поясните. N-максимальная численность, которой может достичь популяция. Численность популяции на конкретной территории не может увеличиваться бесконечно, так как на всех особей не хватит пропитания. Как только численность популяции начнет приближаться к N, между особями начнется конкуренция за территорию, борьба за выживание. Путем естественного отбора некоторые особи погибнут, и численность популяции уменьшится и будет меньше N. Какова динамика популяции при Х0 = 0 ? при Х0 = N? При X0=0динамика популяции будет нулевой. Такая популяция существовать не будет. При X0 =Nдинамика популяции так же будет нулевой, потому что природные механизмы не дадут популяции превысить численность N. Список литературы Аль-Ани Н.М. Концепции современного естествознания / 2008. 240с. Рубин А.Б. Биофизика. Кн. I. Теорет. биофизика. М./ Высш. шк. 1999. 448 с. Ряшко Л.Б. Модели динамики популяции: от порядка к хаосу/ Л.Б. Ряшко // Соросовский Образовательный Журнал.- 2001.-№11.- С.122-127. Ахромеева Т.С. Парадоксы мира нестационарных структур / Т.С. Ахромеева , С.П. Курдюмов, Г.Г. Малиновский// Компьютеры и нелинейные явления. - М.:Наука, 1988.- С. 44 - 122. Шустер Г. Детерменированный хаос: Введение. - М.: Мир, 1988. – 250с. |