математика. проект. Бутылка Клейна
 Скачать 39 Kb.
|
|
Министерство образования и науки Пермского края Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Пермский профессионально-педагогический колледж» Индивидуальный проект по учебной дисциплине «Математика» Тема: «Бутылка Клейна» Выполнила: Студентка: Вяткина Дарья Андреевна Специальность: «Профессиональное обучение (по отраслям)» Курс 1, группа 020 Форма обучения: очная Руководитель: Карпов Сергей Георгиевич Пермь, 2020 Оглавление Введение 1 Актуализация 2 Гипотеза 2 Объект исследования 2 Предмет исследования 2 Цели и задачи 2 Методы исследования 3 1.Историческая справка 3 Ф. Х. Клейн и его открытие. 3 1.1. Что такое Бутылка Клейна. 3 1.2.История изобретения бутылки Клейна. 3 1.3.Топологичесике свойства бутылки Клейна. 4 Научная деятельность. 5 Бутылка Клейна. 5 2.2 Евклидово пространство 8 Свойства Бутылки Клейна. 9 Сфера применения. 10 Бутылка Клейна в литературе. 10 Бутылка Клейна в искусстве. 11 Бутылка Клейна как начало для новой профессии. 11 Заключение. 12 Используемая литература 13 Введение В прошлом году я выступала с исследовательской работой на тему: «Этот удивительный лист Мёбиуса». Я узнала, что лист Мёбиуса поверхность односторонняя, поэтому должен обладать определёнными свойствами, которые я впоследствии выявила и доказала. Изучая все аспекты данной темы, я узнала, что существует множество односторонних поверхностей, исследовать которые тоже можно. Из всего перечня поверхностей я выбрала так называемую бутылку Клейна, так как она напрямую связана с листом Мёбиуса и, действительно, является загадочной. Я докажу это и познакомлю вас с удивительным чудом современной науки. Актуализация Я считаю, что моя работа актуальна, так как в науке математике есть столько неразгаданных тайн и секретов, которые не включены в программу школьного образования. Но на основе этих секретов создано много полезных вещей и изобретений, поэтому изучение этих секретов просто необходимо. У многих учащихся сейчас недостаточно развито пространственное воображение. Сегодня в математическую жизнь вошла компьютерная геометрия, позволяющая представить сложные математические модели. Бумажное моделирование развивает умственные способности и пространственное воображение, т.к. на пальцах рук находится много нервных окончаний, влияющих на мозговую деятельность. Я выбрала тему бутылка Клейна, потому что считаю, что она имеет наиболее важное научное и практическое значение. Гипотеза Я сочла важным показать, что данная поверхность полна неожиданностей. Я предполагаю, что бутылка Клейна, как топологическая фигура, обладает сходными с листом Мёбиуса свойствами и может быть сконструирована разными способами. Объект исследования Бутылка Клейна как модель односторонней поверхности. Предмет исследования Свойства односторонней поверхности на примере бутылки Клейна. Цели и задачи В соответствии выдвинутой гипотезой определились следующие задачи: 1. изучение литературы; 2. изучение истории изобретения бутылки Клейна; 3. описание бутылки Клейна и процессов её изготовления; 4. показ использования бутылки Клейна на практике; 5. сравнение бутылку Клейна с листом Мёбиуса; Методы исследования 1. Библиографический метод исследования Теоретическая значимость моей работы в том, что в последнее столетие большое влияние на ряд различных областей знаний приобрела новая ветвь геометрии - топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в курсе геометрии. 1.Историческая справка Ф. Х. Клейн и его открытие. 1.1. Что такое Бутылка Клейна. Бутылка Клейна — определенная не ориентируемая поверхность первого рода, т.е. поверхность, у которой нет различия между внутренней и внешней сторонами, и которая, таким образом, в пространстве ограничивает собой нулевой объем. Название, по-видимому, происходит от неправильного перевода немецкого слова Fläche (поверхность), которое в немецком языке близко по написанию к слову Flasche (бутылка). 1.2.История изобретения бутылки Клейна. Феликс Христиан Клейн (1849—1925) — немецкий математик. Всю свою жизнь Клейн старался раскрыть внутренние связи между отдельными ветвями математики, а также между математикой, с одной стороны, и физикой и техникой – с другой. Его работы удивительно многообразны. Это и разрешение уравнений 5-й, 6-й и 7-й степени, и интегрирование дифференциальных уравнений, и исследования абелевых функций, и неевклидова геометрия. Пытаясь доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского, изобрёл открытие поразительной красоты - свою бутылку в 1882 г. Это блестящий и очень наглядный пример односторонней поверхности. В ней со всей полнотой проявился и талант математика, и дар выдающегося преподавателя. 1.3.Топологичесике свойства бутылки Клейна. Топологическим свойством (или топологическим инвариантом) геометрических фигур называется свойство, которым вместе с данной фигурой обладает также любая фигура, в которую она переходит при топологическом преобразовании. К топологическим свойствам бутылки Клейна относятся: 1. Хроматический номер. Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Хроматический номер бутылки Клейна – 6. Конечно же, такое не укладывается в голове. Есть древняя неразрешимая задача. Надо соединить три дома с тремя колодцами, но так, чтобы жители каждого из домов могли ходить по воду в любой колодец и при этом пути их нигде не пересекались. Сделать это не умудрился никто, но лишь сравнительно недавно математики строго доказали, что задача неразрешима. Если склеить эту полоску бумаги так, чтобы совпали одинаковые буквы на ее краях, то проблема водоснабжения решается. А теперь раскрасьте карту путей водовозов — и вот вам шесть цветов, живущих в дружном соседстве. Но, конечно, как и раньше, надо предполагать, что все события происходят не на бутылке, а внутри неё. Иными словами, краски должны проникать сквозь бумагу, как чернила сквозь промокашку. 2. Непрерывность. Если вы сравните схему самолётных маршрутов и географическую карту, то убедитесь, что масштаб Аэрофлотом далеко не выдержан – скажем, Свердловск может оказаться на полпути от Москвы до Владивостока. И всё-таки что-то общее между географической картой есть. Москва действительно связана со Свердловском, а Свердловск – с Владивостоком. И поэтому тополог может, как угодно деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались одна подле другой и дальше. А, значит, с топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. 3. Ориентированность. Конечно, можно было подробно рассказать, что это такое. Но лучше дать определение «от противного»: это то, чего нет у бутылки Клейна! Вообразите, что в ней заключён целый плоский мир, где есть только два измерения, а его обитатели – не симметричные рожицы, не имеющие, как и сама бутылка никакой толщины. Если эти несчастные создания пропутешествуют по всем изгибам бутылки и вернутся в родные пенаты, то в изумлении обнаружат, что превратились в своё собственное зеркальное отображение. Конечно, всё что случится только, если они живут в бутылке, а не на ней. Выводы: Изучив литературу, рассмотрев историю изобретения бутылки Клейна и, проведя сравнительную характеристику, выяснила, что бутылка Клейна является односторонней поверхностью, топологическим объектом и обладает топологическими свойствами. Научная деятельность. Бутылка Клейна. «Что получится, если лист Мебиуса станет трехмерным», будут весьма удивлены, т.к. ответом будет — бутылка. Однако не простая, а «волшебная» бутылка Клейна, автором которой в 1882 году стал немецкий математик Феликс Клейн. Кстати, бытует мнение, что бутылка — на самом деле не «бутылка» (нем. Flasche), а созвучное ей слово «поверхность» (Fläche). В чем особенность бутылки Клейна и отличие ее от обычной бутылки? «Нормальная» бутылка имеет традиционное устройство: две поверхности (внутреннюю и наружную) и край (горлышко). Бутылка Клейна лишена и первого, и второго, и третьего: ее наружная поверхность «незаметно» (непрерывно) превращается во внутреннюю, подобно тому, как одна поверхность листа Мебиуса неожиданно для нас становится другой. Несмотря на то, что трехмерное пространство не допускает существования бутылки Клейна (в этом случае непременно бутылка должна будет пересекаться с собой), всегда есть возможность получить ее в своем воображении. Для этого представим себе трубку, в одном конце которой предусмотрено отверстие. В него, предварительно слегка оттянув и загнув вверх, вставим противоположный край. После этого необходимо склеить концы и любоваться удивительным явлением — бутылкой Клейна, возможной без самопересечения только в четырехмерном пространстве. Писатель-фантаст СтифенБарр, не смирившийся с невозможностью увидеть наяву настоящую бутылку Клейна, придумал «складывать» ее из обычного листа бумаги. Конечно, эта конструкция также не будет являться бутылкой Клейна в полном смысле слова (ну никуда нам не деться из трехмерного пространства!), однако, в отличие от попыток на стекле — некоторые высококлассные стеклодувы создают стеклянные псевдо-бутылки, делая дополнительное отверстие в стенке — бумага скроет обязательное отверстие — место самопересечения бутылки. Для того чтобы получить бумажную бутылку Клейна, сначала следует склеить края листа бумаги, предварительно перегнутого пополам, чтобы получилась трубка. Одну из половинок листа необходимо прорезать перпендикулярно склеенным сторонам таким образом, чтобы расстояние между прорезью и верхним краем трубки соответствовало приблизительно ¼ листа. Затем, согнув «конструкцию» пополам, нужно провести ее нижний край в прорезь, после чего склеить верхнее и нижнее основания. Описание: Чтобы построить модель бутылки Клейна, понадобится бутылка с двумя дополнительными отверстиями: в донышке и в стенке. Горлышко бутылки нужно вытянуть, изогнуть вниз и, продев его через отверстие в стенке, присоединить к отверстию на дне бутылки. Для настоящей бутылки Клейна в четырёхмерном пространстве отверстие в стенке не нужно, но без него нельзя обойтись в трёхмерном евклидовом пространстве. В отличие от обыкновенного стакана, у этого объекта нет «края», где бы поверхность резко заканчивалась. В отличие от воздушного шара, можно пройти путь изнутри наружу, не пересекая поверхность (то есть, на самом деле у этого объекта нет «внутри» и нет «снаружи»). 2.2 Евклидово пространство Евклидово пространство (также эвклидово пространство) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность, равную 3, то есть является трёхмерным. Попасть из одной точки этой поверхности ленты в любую другую можно, не пересекая края. Лента Мебиуса была открыта независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мебиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году. Модель ленты Мебиуса может легко быть сделана: для этого надо взять достаточно вытянутую бумажную полоску и соединить концы полоски, предварительно перевернув один из них. В Евклидовом пространстве существуют два типа полос Мебиуса в зависимости от направления закручивания: правые и левые. В современном понимании, в более общем смысле, может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов: конечномерное вещественное векторное пространство RN введённым на нём положительно определённым скалярным произведением; либо метрическое пространство, соответствующее такому векторному пространству. Некоторые авторы ставят знак равенства между евклидовым и пред гильбертовым пространством. В этой статье за исходное будет взято первое определение. n-мерное евклидово пространство обычно обозначается EN; также часто используется обозначение RN, когда из контекста ясно, что пространство снабжено естественной евклидовой структурой Свойства Бутылки Клейна. Свойство 1. Подобно ленте Мёбиуса, бутылка Клейна является двумерным дифференцируемым не ориентируемым многообразием. В отличие от ленты Мёбиуса, бутылка Клейна является замкнутым многообразием, то есть компактным многообразием без края. Свойство 2. Бутылка Клейна не может быть вложена (только погружена) в трёхмерное евклидово пространство {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}R^3, но вкладывается в R^4{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}RRRRR. Свойство 3. Бутылка Клейна может быть получена склеиванием двух лент Мёбиуса по краю. Однако в обычном трёхмерном евклидовом пространстве {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}R ^ 3 сделать это, не создав самопересечения, невозможно. Свойство 4. Хроматическое число поверхности равно 6. Сфера применения. Бутылка Клейна в литературе. Бутылка Клейна вдохновила многих поэтов и писателей на создание литературных шедевров на основе её свойств. Поскольку бутылку Клейна можно разрезать так, чтобы получились два листа Мебиуса, должна существовать и обратная операция, о которой говорится в следующем шуточном стихотворении неизвестного автора: Великий Феликс, Славный Клейн, Мудрец из Геттингена, Считал, что Мебиуса лист— Дар свыше несравненный. Гуляя как-то раз в саду. Воскликнул Клейн наш пылко: "Задача проста — Возьмем два листа И склеим из них бутылку." Но не один неизвестный автор знаком со свойствами бутылки Клейна. Так в рассказе математика и писателя Мартина Гарднера «Остров пяти красок» в бутылке Клейна исчезает один из героев произведения. А. Дейч написал юмореску «Бутылка Клейна». Ее идея в двух словах: в некоем городе метрополитен развился до такой степени, что топологическая сложность всех ее пересекающихся линий перешла некую допустимую границу — и в результате один за другим целые поезда вдруг исчезали из трехмерного пространства, возвращаясь назад лишь через месяц-другой. Бутылка Клейна в искусстве. Изредка встречается сувенир в виде стеклянной бутылки Клейна. Для изготовления такой бутылки нужен стеклодув высокой квалификации. В сериале Футурама в серии «TheRouteofAllEvil» на полке показано пиво Klein’s, которое разлито в бутылки Клейна. Бутылка Клейна как начало для новой профессии. Если мы пустим муравья ползать по бутылке Клейна и увидим, что, не переползая ни разу через край, путешественник побывает и вовне и внутри своего топологического муравейника. Американские небоскребы породили новую профессию — высотные мойщики стекол. Эти бесстрашные люди очищают грязь только с одной стороны — снаружи, а их менее квалифицированные собратья по цеху — только внутри. Представьте себе ужас «комнатного» мойщика, если, двигаясь вдоль стекла, он вдруг окажется над Нью-Йорком на высоте тридцатого этажа! Хорошо, что человеческие муравейники пока еще не используют фантазию топологов. Бутылка Клейна и изготовление стёкол Как уже было сказано, бутылку Клейна могут изготовить только высококвалифицированные стеклодувы. Но и они не смогут её изготовить в подлинном виде, так как место самопересечения будет запаяно. Но, не смотря на это, они отливают бутылки в качестве сувениров и даже соревнуются, у кого лучше и больше получилась бутылка. Заключение. На основании полученных результатов, сделала следующие выводы: изучив всю литературу, касающуюся данной темы, подтвердила выдвинутую гипотезу путём сравнения двух топологических объектов; определила и проверила удивительные свойства бутылки Клейна. Также сконструировала бутылку Клейна разными способами. В течение исследования узнала о профессиях, в которых применяется бутылка Для учителей у меня есть рекомендации: я советую учителям черчения научиться чертить бутылку Клейна такой, какой она должна быть; учителям технического творчества я рекомендую научиться конструировать бутылку Клейна из металла, дерева и других материалов; а математикам – больше изучать дополнительного материала, касающегося топологических фигур, в частности, бутылки Клейна, чтобы также расширять кругозор учеников, учить их понимать стереометрию. Бутылка Клейна – это одна из односторонних поверхностей, открытых после изобретения листа Мёбиуса. Она приобрела известность за счёт своей необыкновенной формы и поистине неожиданных свойств. Открытие Ф. Х. Клейна дополнило уже развивающуюся ветвь геометрии – топологию, которая появилась после открытия того же самого листа Мёбиуса. Бутылка Клейна – это одна из неразгаданных тайн современной геометрии, нам только предстоит её разгадать и изобрести подлинную бутылку. Кстати, тот, кому это удастся, будет удостоен большой денежной премии. Бутылка Клейна может послужить примером для детей, чтобы они больше погружались в мир неразгаданного и неизвестного. Да, и учителям полезно изучать такие темы. Сама я хочу научиться строить «идеальную» бутылку Клейна и получить за это премию. Но и это не предел для моих исследований! Далее планирую углубиться в изучение опытов с разрезанием бутылки Клейна, потому что они своеобразны и интересны. Используемая литература 1.М.Гарднер «Математические чудеса и тайны» «Наука» 1978 г., стр. 43 - 48. 2.Е.С. Смирнова «Курс наглядной геометрии» 6 класс. «Просвещение» 2002 г. стр. 63 - 67. 3.Современный словарь иностранных слов. «Русский язык» 1993гг, стр. 146, 468: 579, 612, 4. Бутылка Клейна (Википедия) https://ru.wikipedia.org/wiki/Бутылка_Клейна 5. Феликс Клейн (Википедия) https://ru.wikipedia.org/wiki/Клейн,_Феликс |