лекция геометрические тела. Проекционное черчение. Проецирование основных геометрических фигур
 Скачать 1.16 Mb.
|
|
ПРОЕКЦИОННОЕ ЧЕРЧЕНИЕ. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ОСНОВНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР В проекционном черчении изучаются способы изображения на плоскости объемных фигур — геометрических тел. Геометрическим телом называют замкнутую часть пространства, ограниченную поверхностями. Любые предметы можно рассматривать как геометрические тела. Формы предметов разнообразны, но при внимательном анализе можно убедиться в том, что большинство из них образовано сочетанием простейших геометрических тел, таких, как многогранники (призма и пирамида) и тела вращения (прямые круговые цилиндр и конус, шар). Прежде чем приступить к проецированию геометрических тел, необходимо изучить проецирование простейших геометрических фигур, из которых они состоят. К ним относятся точки (вершины многогранников и конусов), линии (ребра и образующие), плоские фигуры (грани и основания). Плоское изображение предмета называют его проекцией, а процесс получения проекций — проецированием. Совокупность правил, с помощью которых строят на плоскости изображения пространственных фигур, называется методом проецирования. Существуют два метода проецирования: центральный и параллельный. Центральное проецирование применяют для построения перспективных изображений. Параллельное проецирование применяется в проекционном черчении. ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ В прямоугольную систему плоскостей проекций поместим параллелепипед и выделим одну из его вершин, обозначив ее буквой А (рис.1,а). Через точку А проведем три проецирующие прямые, перпендикулярные плоскостям проекций Н, V и W. Каждая проецирующая прямая, пересекаясь с плоскостью проекций, определит одну проекцию точки А: горизонтальную — а фронтальную— а' и профильную — а". Точки пересечения линий связи с осями проекций обозначают ах, ay, az. Расположение проекций точки А после совмещения плоскостей проекций показано на рис.1,б. Ось Y и точка ауотмечены два раза, так как они одновременно принадлежат плоскостям проекций Н и W. После совмещения две любые проекции одной и той же точки принадлежат одной линии связи. В пространстве расстояния от точки А до плоскостей Н, V и W измеряются отрезками проецирующих прямых: Аа, Аа' и Аа". На проекциях имеются равные им отрезки линий связи: Аа = а'ах = a"ay; Aa' = aax = a"az; Аа" = aay = a'az. Таким образом, по проекциям точки можно судить о ее расстояниях до плоскостей проекций.  Рис.1 Расстояния от точки А до плоскостей проекций могут быть также выражены через ее координаты: хА, уА, zА. Для этого точку О - точку пересечения осей проекций принимают за начало координат и оси координат совмещают с осями проекций. Тогда плоскости проекций являются одновременно и плоскостями координат. Положение точки или любой геометрической фигуры задано, если имеются две проекции фигуры. Если из двух любых проекций точки А, например, горизонтальной и фронтальной (рис.1,в) построить перпендикуляры к соответствующим плоскостям проекций, то они пересекутся в единственной точке, которая и определит положение заданной точки А. Третья проекция точки (фигуры) в случае необходимости всегда может быть построена по двум заданным. Чаще всего точку (геометрическую фигуру) задают горизонтальной и фронтальной проекциями, а строят профильную. Для построения профильной проекции точки используют один из приемов, приведенных на рис.2.  Рис.2 В частных случаях проецируемая точка может принадлежать плоскости проекций. Тогда одна ее проекция совпадает с самой точкой, а остальные лежат на осях проекций. Например, точка В (рис.3,а)принадлежит плоскости Н и ее горизонтальная проекция b совпадает с самой точкой. Фронтальная проекция b' расположена на оси X, а профильная b" — на оси У. У точки С, принадлежащей плоскости V (рис.3,б), фронтальная проекция с' совпадает с самой точкой, а на осях проекций расположены ее горизонтальная с и профильная с" проекции. Проекции точки D (рис.3,в), заданной на плоскости W строится аналогично.  Рис.3 Построение проекций точки по ее координатам. Пусть точка А задана координатами хА = 30, уА = 20и zА = 45 (координаты точек задают в мм). Сокращенно координаты точки записывают так: А (30; 20; 45). Сначала по координатам строят горизонтальную и фронтальную проекции точки А (рис.4,а).Для этого по оси X откладывают отрезок Оах= хА= 30 и получают точку ах. Через нее проводят прямую, перпендикулярную оси X, и, отложив от точки ахвниз отрезок аах= уА = 20и вверх отрезок a'ах = zА = 45, получают две проекции (а, а ') точки А. Затем строят профильную проекцию точки А. Последовательность построения координат может быть любой, т. е. можно начать с построения координаты уАили zА.  Рис.4 По проекциям точки необходимо уметь мысленно восстанавливать ее положение относительно плоскостей проекций. Точка А удалена от плоскостей проекций, так как ни одна из ее проекций не лежит на оси проекций. Точка А расположена ближе всего к плоскости V, так как ее координата уА, определяющая это расстояние, наименьшая. Над плоскостью Н точка приподнята на 45 мм, а от плоскости W она удалена на 30 мм. Если точка принадлежит плоскости проекций, то одна из ее координат равна 0. Например, точка В (30; 15; 0) имеет координату zB = 0 (рис.4,б). Следовательно, она принадлежит плоскости Н. Для построения проекций точки В по оси X откладывают отрезок Оb ' = хВ = 30 и получают точку b'. Из точки b' проводят прямую, параллельную оси Y, и, отложив на ней отрезок b'b = уВ =15, получают точку b. Затем строят точку b". ПРОЕКЦИИ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ЛИНИИ Положение прямой линии в пространстве определяется положением двух ее точек. Поэтому, чтобы спроецировать прямую линию (рис.5,а), достаточно построить проекции двух любых ее точек (А и В) и соединить прямыми линиями их одноименные проекции (ab и а'b'). Построение третьей проекции прямой линии по двум данным сводится к построению третьей проекции каждой из двух точек, задающих прямую линию (рис.5,б). Прямую линию обычно называют просто прямой, а ее отрезок — отрезком прямой или сокращенно отрезок.  Рис.5 Различные положения отрезка прямой линии. Прямые линии могут занимать относительно плоскостей проекций частное положение (проецирующие прямые, прямые уровня) и общее. ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПРЯМЫЕ ЛИНИИ — прямые, перпендикулярные какой-либо плоскости проекций. Прямая, перпендикулярная плоскости Н, называется горизонтально-проецирующей, перпендикулярная плоскости V - фронтально-проецирующей и перпендикулярная плоскости W - профильно-проецирующей. На рис.6,а изображен цилиндр, образующие которого являются отрезками горизонтально-проецирующих прямых. Проекции одной из них (АВ) показаны на рис.6,б. Образующая АВ проецируется на плоскость Н в виде точки a (b), а на плоскости V и W без искажения в виде отрезков а'b' и а"b", поскольку образующая АВ параллельна этим плоскостям проекций. Горизонтальная проекция точки В взята в скобки, так как при проецировании на плоскость Н она находится подточкой А и невидима. Проекция отрезка фронтально-проецирующей прямой (ребро CD параллелепипеда) показаны на рис.7, а профильно-проецирующей прямой (боковое ребро EF треугольной призмы) — на рис.8.  Рис.6  Рис.7  Рис.8 Приведенные примеры позволяют сделать выводы, что отрезок прямой, перпендикулярной плоскости проекций, проецируется на нее в виде точки, а на две другие — без искажения. ПРЯМЫЕ ЛИНИИ УРОВНЯ - прямые, параллельные одной плоскости проекций и наклоненные к двум другим. Прямая, параллельная плоскости Н, называется горизонтальной прямой. Например, гипотенуза АВ прямоугольного треугольника на рис.9 — отрезок горизонтальной прямой. Все ее точки удалены от плоскости Н на одинаковое расстояние, поэтому ее проекции а'b'||Х и а"b"||Y. На плоскость Н отрезок АВ проецируется без искажения, т.е. |ab| = |AB|, а углы между его горизонтальной проекцией ab и осями Х и Y равны углам между самим отрезком АВ и плоскостями V и W.  Рис.9 Прямая, параллельная плоскости V (рис.10), называется фронтальной прямой. Отрезок фронтальной прямой проецируется без искажения на плоскость V(|a'b'|=|АВ|). Его горизонтальная проекция ab||X, а профильная a"b"||Z. О наклоне фронтального отрезка к плоскостям Н и W судят по углам между его фронтальной проекцией а'b' и соответственно осями X и Z.  Рис.10 Прямая, параллельная плоскости W (рис.11), называется профильной прямой. Все точки профильной прямой удалены на одинаковое расстояние от плоскости W, поэтому ab||Y и a'b'||Z.  Рис.11 Разобранные примеры позволяют сделать вывод, что отрезок прямой уровня и углы наклона его к плоскостям проекций проецируются без искажения на ту плоскость, которой отрезок параллелен. ПРЯМЫЕ ЛИНИИ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ - прямые, не параллельные ни одной из плоскостей проекций. Например, так расположено боковое ребро SA четырехугольной пирамиды на рис.12,а. Проекции отрезка прямой общего положения короче самого отрезка (рис.12,б), так как он наклонен к плоскостям проекций. На проекциях также искажены его углы наклона к плоскостям проекций. Таким образом, по проекциям отрезка прямой общего положения нельзя измерить его длину или определить размер углов наклона его к плоскостям проекций.  Рис.12 Построение проекций отрезка прямой линии по его координатам Пусть отрезок АВ задан координатами его концов: А (60; 15; 40) и В (10; 15; 10). От точки О по оси X откладывают координаты хА= 60 и хВ= 10 и получают точки ахи bх(рис.13). Через эти точки проводят вертикальные линии связи и по ним вниз от точек ахи bхоткладывают координаты уА = уВ = 15, а вверх — координаты zА = 40 и zВ =10. Соединив прямыми одноименные проекции точек А и В, получают горизонтальную ab и фронтальную а'b' проекции отрезка АВ. Профильную проекцию отрезка строят по его горизонтальной и фронтальной проекциям. Определим по проекциям отрезка АВ его положение относительно плоскостей проекций. Для этого рассмотрим взаимное положение проекций отрезка и осей X, Y, Z. О положении отрезка относительно плоскости V судят по его горизонтальной проекции.  Рис.13 У отрезка АВ горизонтальная проекция ab||X. Следовательно, все точки отрезка удалены от плоскости V на одинаковое расстояние (15 мм), т. е. АВ||V. Положение отрезка относительно плоскости Н определяют по его фронтальной проекции а'b', которая в данном случае наклонена к оси X. Следовательно, отрезок АВ наклонен к плоскости Н. Отрезок АВ наклонен также к плоскости W, так как его фронтальная проекция а'b' составляет с осью Z некоторый угол. Таким образом, построенный отрезок АВ параллелен плоскости V и наклонен к плоскостям Н и W, т. е. это отрезок фронтальной прямой. Взаимное положение отрезка прямой и точки Точка принадлежит прямой, если проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой. В этом можно убедиться на следующем примере. Возьмем плоскость Н и три отрезка прямых (рис.14,а): ВС — общего положения, DE — горизонтальный и FK — горизонтально-проецирующий. На каждом отрезке зададим точку А. Построив горизонтальные проекции отрезков и точек А, увидим, что во всех случаях проекция точки А расположена на проекции соответствующего отрезка. Если вместо плоскости Н задать плоскость V или W, то и для них это положение справедливо. Таким образом, по проекциям точки и прямой (отрезка) всегда можно судить об их взаимном положении. Определим взаимное положение отрезка АВ и точек С и D (рис.14,б). Все проекции точки D расположены на одноименных проекциях отрезка АВ, поэтому точка D принадлежит отрезку АВ.  Рис.14 У точки С только фронтальная проекция принадлежит фронтальной проекции отрезка АВ, следовательно, точка С расположена вне отрезка АВ. |