8 кл 3 февраля. Числовые неравенства (продолжение) Пример 2
 Скачать 109.59 Kb.
|
|
Числовые неравенства (продолжение) Пример 2. Пусть а и b — положительные числа. Как известно, число  называется средним арифметическим чисел а и b, число  — средним геометрическим, число  — средним гармоническим. Докажем, что среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое положительных чисел а и b связаны следующим соотношением:  Докажем сначала, что Преобразуем разность левой и правой частей этого неравенства:  При a > 0 и b > 0 рассматриваемая разность неотрицательна и, следовательно, верно неравенство  Рассмотрим теперь разность   При а > 0 и b > 0 составленная разность либо является отрицательным числом, либо равна нулю и, значит, верно неравенство  Итак, мы доказали, что если а > 0 и b > 0, то  Упражнения 724. Сравните числа а и b, если: а) а - b = -0,001; б) а - b = 0; в) а - b = 4,3. 725. Известно, что а < b. Может ли разность а - Ъ выражаться числом 3,72? -5? 0? 726. Даны выражения За (а + 6) и (3а + 6) (а + 4). Сравните их значения при а = -5; 0; 40. Докажите, что при любом а значение первого выражения меньше значения второго. 727. Даны выражения 46(b + 1) и (2b + 7) (2b - 8). Сравните их значения при b = -3; -2; 10. Можно ли утверждать, что при любом значении 6 значение первого выражения больше, чем значение второго? 728. Докажите, что при любом значении переменной верно неравенство:
729. Докажите неравенство:
730. Верно ли при любом х неравенство: а) 4x(x + 0,25) > (x + 3)(x - 3); б) (5x - 1) (5x + 1) < 25x2 + 2; в) (3x + 8)2 > 3x(x + 16); г) (7 + 2x)(7 - 2x) < 49 - x(x + 1)? Числовые неравенства (окончание) 731. Докажите неравенство:
732. (Для работы в парах.) Увеличится или уменьшится дробь  , где а и b — натуральные числа, если к её числителю и знаменателю прибавить по 1?1) Рассмотрите на примерах, как изменяется дробь . (Одному учащемуся рекомендуем взять дроби, у которых числитель меньше знаменателя, а другому — дроби, у которых числитель больше знаменателя.)2) Обсудите друг с другом ваши наблюдения и выскажите гипотезу для каждого случая. 3) Проведите доказательство: один — для случая а < b, а другой — для случая а > b. 4) Проверьте друг у друга правильность рассуждений. 733. Докажите, что при а > 0 верно неравенство  734. Докажите, что сумма любого положительного числа и числа, ему обратного, не меньше чем 2. 735. Докажите неравенство:  736. Используя выделение квадрата двучлена, докажите неравенство: а) а2 - 6а + 14 > 0; б) b2 + 70 > 16b. 737. Выберите из данных неравенств такое, которое не является верным при любом значении а.
738. (Для работы в парах.) Докажите, что если а и b — положительные числа и а2 > b2, то а > b. Пользуясь этим свойством, сравните числа:
1) Проведите доказательство приведённого утверждения. 2) Распределите, кто выполняет задания а) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их. 3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено сравнение выражений. Исправьте ошибки, если они допущены. 739. Докажите, что при а ≥ 0 и b ≥ 0 верно неравенство  740. Что больше: а3 + b3 или аb(а + b), если а и b — неравные положительные числа? 741. К каждому из чисел 0, 1, 2, 3 прибавили одно и то же число k. Сравните произведение крайних членов получившейся последовательности чисел с произведением средних её членов. 742. Одноклассники Коля и Миша вышли одновременно из посёлка на станцию. Коля шёл со скоростью 5 км/ч, а Миша первую половину пути шёл со скоростью, на 0,5 км/ч большей, чем Коля, а вторую половину пути — со скоростью, на 0,5 км/ч меньшей, чем Коля. Кто из них первым пришёл на станцию? Упражнения для повторения 743.Найдите значение дроби  744. Сократите дробь:  745. Решите уравнение:  Ответы 739. Указание. Сравните квадраты левой и правой частей неравенства. 742. Коля. 743.  744.  б) 1.745. а) 1; 5; б) 0,3; 2. |