Лекция 1_РО_24.01.2022г_Геометрия. Фигуры. Аксиомы. Теоремы. Что такое геометрия Геометрия наука о свойствах геометрических фигур Геометрия
 Скачать 451.01 Kb.
|
|
- Что такое геометрия? Геометрия – наука о свойствах геометрических фигур «Геометрия» - (греч.) – «землемерие» - Что такое планиметрия? Планиметрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на плоскости. А а Основные понятия планиметрии: точка прямая - Основные понятия планиметрии? Фигуры, изучаемые в школьном курсе планиметрии представляют собой прямые, отрезки, лучи, окружности, круги, дуги окружностей, многоугольники, полуплоскости, сегменты, секторы. Полуплоскости, сегменты, секторы. Точки и прямые будем обозначать соответственно прописными и строчными буквами латинского алфавита: A, B, C,…a,b,p,l,…(AB),(CD)… Лучи будем обозначать так: [AB),[CD),[MN)… Для обозначения отрезков и их длин будем использовать соответственно следующие обозначения: [AB], [CD], [MN],…a, b, m…, для углов примем обозначения: BAO ,A ,C…, окружности будем обозначать (O, r), (M, AB). Прямую обозначают одной строчной латинской буквой и двумя прописными латинскими буквами:F l A B
• • А В а А • • • В С n ° А В С • С О В 180 ° О А С В Углы.
∟ А В С <АВС=90°
α α<90°
β β > 90°
• О <О=180° Углы.
1 2 Сумма смежных углов равна 180° <1+ <2=180° 1 2 3 4 <1 и <2-вертикальные <3 и <4-вертикальные Вертикальные углы равны. <1 = <2, <3 = <4 Углы.Углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей.1 2 3 4 5 6 7 8 Внутренние односторонние углы: <2 и <6, <3 и <7 . Внутренние накрест лежащие: <2 и <7, <3 и <6 . Соответственные: <4 и <6, <2 и <8, <1 и <7, <3 и <5 . Параллельные прямые.Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.• а b Через точку вне прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной. Признаки параллельности прямых.
или <1= <6,или <4+ <6=180°,то а ׀׀ b1 2 3 4 5 6 7 8 a b c a b ∟ ∟ a b c Перпендикулярные прямыеДве прямые называют перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.∟ а b O • A a┴b Через данную точку можно провести прямую, перпендикулярную данной прямой, и притом только одну. Основные аксиомы планиметрии.А В D С b Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну. Раздел геометрии, в котором рассматриваются задачи на построение фигур и методы решения таких задач, называют конструктивной геометрией. Решение конструктивных задач существенно зависит от тех инструментов, которыми разрешается пользоваться при построении: в курсе геометрии рассматриваются задачи на построение с помощью циркуля и линейки Предполагается, что с помощью линейки можно провести прямую, проходящую через две данные или построенные точки. Никаких других операций выполнить нельзя. С помощью циркуля как инструмента геометрических построений можно описать окружность с центром в данной или построенной точке и радиусом, равным данному отрезку. Свойства этого понятия выражены в аксиомах. Аксиомы конструктивной геометрии разделены на две группы: I. Общие аксиомы. II. Инструментальные (аксиомы циркуля и линейки). Перечислим сначала общие аксиомы, на которые можно опираться при решении любой задачи на построение в любом пространстве (не обязательно евклидовом), пользуясь различными средствами построений. Общие аксиомы будем обозначать АО. Сначала формулируются исходные положения - аксиомы На их основе, путём логических рассуждений доказываются другие утверждения Такой подход к построению геометрии зародился в глубокой древности и был изложен в сочинении «Начала» древнегреческого учёного Евклида 365 – 300 гг. до н.э. Геометрия, изложенная в «Началах», называется евклидовой геометрией Некоторые из аксиом Евклида (часть из них он называл постулатами) и сейчас используются в геометрии Слово «аксиома» происходит от греческого «аксиос», что означает «ценный, достойный». АО1. Каждая из данных фигур F ,1F ,2...,FK построена. АО2. Если построены фигуры F1 и F2, то построена и фигура F = F 1UF2 т.е. фигура, являющаяся их объединением. АО3. Если фигуры F,1F 2построены и их пересечение F =F 1ꞂF 2 не пусто, то фигура F1F 2построена. Вопрос о том, является ли пересечение фигур F1, F2 пустым множеством или нет, решается в каждом случае с помощью соответствующих предложений математики. АО4. Если фигуры F,1F 2построены и их разность F F \1F 2не является пустым множеством, то фигура F1\ F2 построена. АО5. Если фигура F построена, то можно построить точку, принадлежащую этой фигуре. АО6. Если фигура F построена, то можно построить точку, не принадлежащую этой фигуре F. Опр. Теорема называется обратной, в случае когда условие является заключением. Например: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны Пря - мая теорема Обрат- ная теорема Если две прямые параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны Указанная система аксиом даёт возможность выполнять следующие построения (которые мы будем называть простейшими построениями). ПП1. Построить луч [AB), если точки А и В построены. ПП2. Построить отрезок [AB], если точки А и В построены. ПП3. Построить прямую (AB), если точки А и В построены. ПП4. Построить окружность, если построены её центр и отрезок, равный радиусу этой окружности. ПП5. Построить точку пересечения двух построенных непараллельных прямых. ПП6. Построить точки пересечения построенных прямой и окружности, если такие точки существуют. (В частности, отложить отрезок, равный данному.) ПП7. Построить точки пересечения двух построенных окружностей, если такие точки существуют. ПП8. Построить точку, принадлежащую построенной фигуре. ПП9. Построить точку, не принадлежащую построенной фигуре (если эта фигура не совпадает с плоскостью, на которой выполняется построение). Задачу на построение можно сформулировать так: Дано конечное множество основных построенных фигур F ,1F ,2...,Fk и описано свойство, характеризующее искомую не построенную основную фигуру Φ . Требуется, используя простейшие построения 1 – 9, получить конечное множество основных построенных фигур, содержащих фигуру Φ , находящуюся в данном отношении к данным фигурам. Построение искомой фигуры Φ с помощью линейки и циркуля должно быть выполнено через конечное множество построений, каждое из которых является одним из простейших построений 1 – 9. В настоящем разделе мы будем рассматривать задачи на построение евклидовой плоскости. В качестве инструментов построения, как мы уже отмечали в начале, будем использовать линейку и циркуль. Конструктивная задача разрешима, если искомую фигуру можно получить в результате конечного числа таких построений. Учитывая требования практики, в задачах на построение на плоскости фигуру Φ считают построенной, если эта фигура изображена (начерчена). Основные задачи на построение Решить задачу на построение - это значит свести ее к последовательному выполнению конечного множества простейших построений. Однако, на практике расчленение каждой задачи на простейшие построения нецелесообразно. Обычно построение искомой фигуры сводят не к самим простейшим построениям, а к некоторым типичным, часто встречающимся комбинациям простейших построений, которые называются основными построениями. Основные построения ПО1 – ПО13 приводятся в школьных учебниках геометрии, мы включим к основным построениям еще 7 задач на построение, которые часто встречаются при решении конструктивных задач. ПО1. Отложить на данном луче от его начала отрезок, равный данному отрезку. ПО2. Отложить от данного луча в данную полуплоскость угол, равный данному. ПО3.Построить треугольник по трем сторонам. ПО4. Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. ПО5. Построить треугольник по стороне и двум прилежащим углам. ПО6. Построить биссектрису данного неразвернутого угла. ПО7. Построить серединный перпендикуляр данного отрезка. ПО8. Построить середину данного отрезка. ПО9. Построить прямую, проходящую через данную точку и перпендикулярную данной прямой. ПО10. Построить прямую, проходящую через данную точку и параллельную данной прямой. ПО11. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу. ПО12. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и катету. ПО13. Построить касательную к окружности, проходящую через данную точку . ПО14. Построить касательную к окружности, параллельную некоторой прямой. ПО15. Построить общую касательную к двум окружностям. ПО16. Описать около треугольника окружность. ПО17. Вписать в данный треугольник окружность. ПО18. Разделить отрезок на несколько равных отрезков. ПО19. Данный отрезок разделить на части, находящиеся в отношении m:n. ПО20. Построить дугу окружности, из каждой точки которой данный отрезок виден под данным углом. |