Неопределенныйинтеграл. Дана функция f
![]()
|
Неопределенный интеграл. Дифференциальное исчисление решает следующую задачу: дана функция F(x), найти ее производную f(x). F ![]() найти Интегральное исчисление решает обратную задачу: дана функция f(x), найти такую функцию F(x), производная от которой равна f(x). ![]() F ![]() ![]() ![]() дана Определение. Первообразной от функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна f(x). Например, f(x) = 3x2 , тогда F(x) = x3, (x3)′ = 3x2. В качестве первообразной можно взять любую функцию вида x3 + C, т.к. (x3 + C)′ = 3x2. Теорема. Если функция имеет первообразную, то она имеет и бесконечное множество первообразных, причем любые две из них отличаются лишь постоянным слагаемым. Пусть F(x) и Φ(x) – любые две первообразные. Рассмотрим Θ(x) = F(x) – Φ(x). Докажем, что Θ(x) ≡ Const. Найдем Θ′(x) = F′(x) - Φ′(x) ≡ 0. Рассмотрим два значения аргумента a и х (а – фиксированное, х – произвольное). ![]() Определение. Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом. ∫f(x)dx. Если f(x) – первообразная f(x), то ∫f(x) dx = F(x) + C. Свойства неопределенного интеграла. ![]() Таблица основных интегралов. ![]() П ![]() ![]() ![]()
![]() ![]() Основные методы интегрирования. Метод подстановки. Теорема. Если ∫ f(u)du = F(u) + C и u = φ(x) – любая дифференцируемая функция от x, то ![]() Доказательство. (F(φ(x)) + C)′ = F′(φ(x))∙φ′(x) = f(φ(x))∙φ′(x), т.к. F′(x) = f(x). Следствие. Если ∫ f(x)dx = F(x) + C, то ∫ f(kx)dx = 1/k F(kx) + C, ∫ f(kx + b)dx = 1/k F(kx + b) + C. Эта теорема позволяет расширить возможности таблицы основных интегралов. В этой таблице под u можно понимать любую функцию х. П р и м е р ы . ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен. ![]() ![]() Интегрирование по частям. В интегрировании нет теоремы об интеграле произведения. В какой-то степени ее заменяет формула интегрирования по частям. Пусть u и v - дифференцируемые функции х. Тогда d(uv) = du v + u dv или udv = d(uv) – vdu ![]() Формула интегрирования по частям применяется в следующих случаях:
Pm(x) = a0xm + a1xm-1 +….+ am-1 x + am, u = Pm(x), dv= все остальное. П р и м е р ы . ![]() Иногда интегрирование по частям приходится применять несколько раз. ![]() ![]() ![]() ![]() Интегралы от некоторых тригонометрических выражений. ![]() ![]() 3. ![]() ![]() Рациональные дроби. Рациональной дробью называется дробь вида ![]() Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя (m < n). В противном случае дробь называется неправильной. ![]() Неправильная дробь путем деления числителя на знаменатель представляется в виде суммы многочлена и правильной дроби. Эта операция называется выделением целой части. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Простейшие рациональные дроби. ![]() ![]() Некоторые сведения из алгебры. Q(x) = a0 xn + a1xn-1 + ... + an-1 x + an (1)
Н а п р и м е р Q(x) = x3 + 2x2 + 2x. ![]()
Q(x) = a0(x – x1) (x – x2) .... (x – xn) (2)
(x – α - β i) (x – α + β i) = (x – α)2 – β2 i2 = x2 – 2 α x + α2 + β 2 = x2 + px + q, где p = -2 α, q = α2 + β2 – квадратный трехчлен, не разлагающийся на действительные множители.
(x − α − β i)l (x − α + β i)l = ( x2 – px + q)l На основании этого многочлен (1) запишется в виде ![]() (3) – разложение многочлена (1) на простейшие действительные множители, к1 + k2 +… + kr + 2l1 + 2l2 + … + 2ls = n П р и м е р. x5 – 2x3 – 8x = x(x2 + 2) (x2 – 4) = x(x2 +2) (x – 2) (x + 2). Теорема о разложении правильной рациональной дроби на простейшие. ![]() ![]() где Q(x) представляется в виде (3). Данная дробь представляется как сумма простейших следующим образом ![]() Интегрирование рациональных дробей. При интегрировании рациональных дробей следует придерживаться такого порядка.
Q(x) = a0 (x – a) (x - b)…(x – c)k …(x2 + px +q)….(x2 + p1 x +q1 )l….., где x2 + px + q – квадратный трехчлен, не разлагающийся на действительные множители.
![]()
П р и м е р ы . ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5x2 + 9x + 4 ![]() ![]() Интегралы от рациональных функций всегда и при том стандартным образом выражаются через элементарные функции. Метод рационализации – это такой метод, когда с помощью подстановки данный интеграл приводится к интегралу от рациональной функции. Сделаем замену: ax + b = ts, s = OHЗ дробей m/n, p/q, … . Интеграл сводится к интегралу от рациональной функции, т.к. ![]() П р и м е р. ![]()
![]() Если в данный интеграл подставить выражения для sinx, cosx и dx, то получим интеграл от рациональной функции. П р и м е р . ![]() Универсальная тригонометрическая подстановка приводит в ряде случаев к сложным рациональным дробям. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() x П р и м е р. 1 ![]()
Выражение вида xm(a + bxn)p dx, где m, n и p – рациональные числа, называется дифференциальным биномом. Будем рассматривать ![]() Предположим, что m и n – целые числа, если m и n – дробные, то с помощью подстановки x = tα , где α – ОНЗ дробей m и n, интеграл (*) можно привести к такому виду, где m и n – целые. Интеграл (*) приводится к интегралу от рациональной функции в следующих трех случаях:
Чебышев доказал, что дифференциальный бином не интегрируется, если ни одно из чисел ![]() П р и м е р ы . ![]() ![]() Разные задачи. ![]() ![]() Для интегрирования используются следующие формулы тригонометрии: sin αx cos βx = ½(sin(α – β)x + sin(α + β)x) cos αx cos βx = ½(cos(α – β)x + cos(α + β)x) sin αx sin βx = ½(cos(α – β)x - cos(α + β)x) О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные. Теорема существования. Если функция непрерывна, то она имеет первообразную. Однако, не всякая первообразная выражается через элементарные функции. Например, ![]() |