ДЗ2. Дано r 1 30 Ом

• Название: Дано r 1 30 Ом
• Дата: 16.12.2020
• Размер: 148.06 Kb.
• Имя файла: ДЗ2.docx
• Тип: Документы; #161358

РГР 2.

Вариант №76
Дано: R₁=30 Ом;

L₂=0,56Гн;

C₃=57 мкФ;

E_m4=44В;

E_m6=84В;

ψ₄=120⁰;

ψ₆=50⁰;

f=68 Гц.



W
a








C3

i1 R1

n



m L2 i2 i3





e4 e6






b

Рис.1

Предварительные расчёты

Прежде, чем приступать к выполнению поставленных задач, выполним некоторые подготовительные действия:

Вычисление комплексов э.д.с. ветвей

По условию для каждой э.д.с. заданы амплитуда E_m и начальная фаза ψ.

Для каждой э.д.с. вычислим её действующее значение E, действительную ReE и мнимую ImE части и запишем комплексы э.д.с.:

E = ReE + jImE = Ee^jψ ;

E= E_m /√2; ReE = E cos ψ; ImE = E sin ψ ;

Для наших данных получим:











Вычисление полных комплексных сопротивлений ветвей

Полное комплексное сопротивление ветви определяется по формуле:

𝑍 = 𝑅 + 𝑗𝑋 = 𝑅 + (𝑋_L − 𝑋_𝐶)

где R – активное сопротивление ветви;

X = X_L − X_C – реактивное сопротивление;

X_𝐿 = ωL – реактивное индуктивное сопротивление;

X_𝐶 = 1/𝜔𝐶 – реактивное ёмкостное сопротивление;

ω = 2πf – угловая частота.

Подставив числовые значения, получим:





Комплексные сопротивления ветвей







Все сопротивления в Омах.
1. По законам Кирхгофа составим систему уравнений для расчёта токов во всех ветвях, записав её в двух формах:

1. 
   для мгновенных значений (дифференциальная форма):
   

Связь между токами и напряжениями на отдельных элементах для мгновенных значений имеет вид:

для активного сопротивления: u = R ∙ i

для индуктивности: u = L ∙ di/ dt

для ёмкости: u = (1/ C) ∙ ∫ i dt

Отметим для удобства три дополнительные точки: m, n, k ( рис. 1), не являющиеся узлами.

Данная цепь (рис. 1) имеет 3 ветви и 2 узла (a и b). Поэтому необходимо составить систему трёх уравнений с тремя неизвестными. Одно уравнение составим по 1-му закону Кирхгофа, два – по второму:

уравнение для узла a: i₁ + i₂ + i₃ = 0;

уравнение для левого контура abma:



уравнение для правого контура anba:



Таким образом, получаем систему 3 интегро-дифференциальных уравнений с 3 неизвестными токами i₁ , i₂ , i₃ :

i₁ + i₂ + i₃ = 0;

2. 
   для комплексов (символическая форма):
   

Связь между комплексами токов и напряжений на отдельных элементах имеет вид:

для активного сопротивления:

U = R ∙ I

для индуктивности:

U = jωL ∙ I = jx_L∙ I

для ёмкости:

U = (1/ jωC) ∙I = −jx_C∙I;
уравнение для узла a:



уравнение для левого контура amba:


уравнение для правого контура anba:


Получаем систему 3 уравнений с 3 неизвестными токами:






2. Определить комплексы токов в ветвях методом двух узлов

Поскольку данная цепь (рис. 1) имеет 2 узла (a и b), для её расчёта вос- пользуемся методом двух узлов. В общем случае уравнение для комплекса междуузлового напряжения имеет вид:



где в числителе стоит сумма по всем активным ветвям, а в знаменателе – по всем ветвям. Знак «+» в числителе выбирается, если э.д.с. направлена против междуузлового напряжения Uab .

Для рассматриваемой цепи (рис. 1) получим:


Токи в ветвях найдём по закону Ома для активной ветви:






3. Определить показание ваттметра двумя способами:

a) с помощью выражения для комплексов тока и напряжения на ваттметре:

Активная мощность P двухполюсника, характеризуемого комплексом тока I и комплексом напряжения U, определяется выражением:

𝑃 = (𝑈∙𝐼̃) где 𝐼̃ – сопряжённый комплекс тока, 𝑅𝑒𝑍– действительная часть числа 𝑍.

Ваттметр на рис. 1 включён так, что измеряет активную мощность участка (двухполюсника), расположенного справа от ваттметра. Комплекс тока этого двухполюсника I₁ , комплекс напряжения U_ab .

Подставив числовые значения, получим:

𝑃 = )( = -72,8 (Вт)

3. 
   поформуле UIcosφ:
   

Стрелка ваттметра отклоняется на величину, равную UIcosφ, где U - действующее напряжения на обмотке напряжения ваттметра, I – действующее значение тока, втекающего в обмотку тока ваттметра, φ – угол сдвига фаз между током и напряжением.

В рассматриваемом случае (рис. 1) напряжение на обмотке напряжения ваттметра u_ab, ток, втекающий в обмотку тока i₁. Действующие значения:
U_ab = |U_ab| = |-11,61 | = 63,7 (В);

I₁ = |I₁ | = | | = 1,19 (А);

Угол сдвига фаз между током и напряжением φ равен разности начальных фаз напряжения и тока:
φ = ψ_Uab − ψ_I1 = arctg ImU_ab /ReU_ab - arctg Im_I1 Re^I1 = arctg 62,61/-11,61-

− arctg 1.187/0,133 =-79,5⁰-83,6⁰ = -163°

Тогда активная мощность:

P = U_ab ∙ I₁ ∙ cos φ = 63,7∙ 1,19 ∙ cos -163° =-72,5 (Вт)
На векторной диаграмме тока и напряжения ваттметра укажем угол φ=φ_u-φ_i.

На комплексной плоскости построим векторы U_ab и I₁ . Исходя из величин действующих значений U_ab и I₁ , выберем следующие масштабы для векторов напряжения и тока: m_I = 0,2 А/ см ; m_U = 1 В /см

Векторная диаграмма изображена на рис. 2.




U_ab









ψ_Uab

+1

ψ_I1

I₁
Рис. 2.

4. Построим векторную топографическую диаграмму токов и напряжений.

Векторная топографическая диаграмма токов и напряжений – это изображение на комплексной плоскости векторов всех токов и напряжений на всех элементах цепи. Причём векторы напряжений должны быть расположены в том же порядке, что и элементы цепи. Рекомендуется сначала разместить на комплексной плоскости точки, соответствующие комплексным потенциалом всех точек цепи, а потом соединить соседние точки. Тогда каждый отрезок диаграммы будет соответствовать элементу цепи.

Выберем за уровень отсчёта потенциала точку b на рис. 1:

𝜑_𝑏 = 0. Потенциалы остальных точек найдем путём подсчёта изменения потенциала при движении от точки b

φ_a = φ_b + U_ab = U_ab = -11,6+j62,6;

φ_m = φ_b +E₄ =-15,6+j27;

φ_a= -15,6+j27-30( ;



;

I₁∙100

I₃∙100

I₂∙100

φ_b

φ_b

φ_n

φ_a

φ_m

Рис. 3.

5. Запишем выражение для мгновенного значения тока i₁ и по- строить график зависимости i₁(ωt) в интервале от 0 до 2π.
Выражение для мгновенного значения тока имеет вид:

i = I_msin(ωt + ψ_I ) где I_m = √2I – амплитуда тока;



I – действующее значение; I₁ = 1,19; ω = 2πf – угловая частота;

ψ_I – начальная фаза тока;

ψ_I1 = arctg arctg -1.187/0,133 =-83,6⁰=-1,46 (рад).


График этой функции рис.4


Рис.4