езнаючтоэто. Урок Расчет комплексных сопротивлений в электрических цепях переменного тока

• Название: Урок Расчет комплексных сопротивлений в электрических цепях переменного тока
• Анкор: езнаючтоэто
• Дата: 14.11.2021
• Размер: 264.5 Kb.
• Имя файла: 06-8-2009.doc
• Тип: Урок; #271983

Интегрированный урок физика-математика «Расчет комплексных сопротивлений в электрических цепях переменного тока»
М.М. Юмашев, Т.Ю.Смирнова

Лицей № 1, г. Подольск, Московская обл.

Урок «Расчет комплексных сопротивлений в электрических цепях переменного тока» нужно давать после прохождения темы «Закон Ома для электрической цепи переменного тока. Мощность»
Урок «Расчет комплексных сопротивлений в электрических цепях переменного тока»

Задачи урока:
1. Образовательная задача:

— обобщение знаний по теме «Комплексные числа» и применение данных знаний для расчета общего сопротивления цепей, содержащих R, L, C элементы.
2. Воспитательная задача:

— формирование знаний о динамических закономерностях, влиянии условий на характер протекания физических процессов.
3. Развивающая задача:

— развитие мышления, умений выполнять операции анализа, синтеза, классификации, способность наблюдать, делать выводы, выделять существенные признаки объектов.
Оборудование:

ПК, мультимедиа проектор, генератор,цифровые вольтметр и миллиамперметр переменного тока, конденсатор 18.8 мкФ, дроссельная катушка с сердечником, резистор 360 Ом, модуль с клеммами дляподключения источника питания, ключ, раздаточный материал для учащихся.
План урока:
1) организационный момент;

2) постановка целей урока;

3) проверка знаний, необходимых для усвоения нового учебного материала на физической модели и демонстрационном эксперименте;

4) актуализация знаний учащихся по теме «Комплексные числа» - подготовка к усвоению нового учебного материала;

5) усвоение новых знаний;

6) практическое применения знаний по теме в стандартных условиях в ходе решения задачи;

7) самостоятельное применение знаний по теме;

8) подведение итогов урока;

9) постановка домашнего задания.


Ход урока

1. 
   Организационный момент
   

Проверяется подготовленность классного помещения и готовность учащихся к уроку.

2. 
   Постановка целей урока
   

Отмечается, что данный урок является интегрированным уроком физика-математика по теме «Расчет комплексных сопротивлений в электрических цепях переменного тока»

В ходе его будут проверены знания, необходимые для усвоения нового учебного материала на физической модели и демонстрационном эксперименте; обобщены знания учащихся по теме «Комплексные числа», изучена новая физическая величина – комплексное сопротивление; показано практическое применение полученных знаний в ходе решения конкретных задач; выработаны умения самостоятельного применения знаний по теме.
3. Проверка знаний, необходимых для усвоения нового учебного материала на физической модели и демонстрационном эксперименте
1. На физической модели реального колебательного контура с помощью ПК и мультимедиа проектора по программе «Открытая физика» часть 2. Модель. Вынужденные колебания в RLC-контуре.
2. На демонстрационном эксперименте.

Необходимо собратъ цепь, включающую дроссельную катушку, резистор и конденсатор (рис.1). Измерить напряжения, вычислить сумму напряжений на резисторе, дроссельной катушке и конденсаторе и сравнить ее с общим напряжением. Вывод в цепи переменного тока, содержащей индуктивность и емкость, алгебраическая сумма напряжений не совпадает с величиной напряжения, приложенного к этой цепи. Ученики должны объяснить физические причины наблюдаемого явления.


Рис.1

4. Актуализация знаний учащихся
Долгое время комплексные числа не находили физического применения, поэтому их и назвали «мнимыми» числами. Однако сейчас они очень широко применяются в различных областях физики и техники: электротехнике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и др.

Комплексные числа  записываются в виде:  a+ bj. Здесь  a и  b – действительные числа, а  j – мнимая единица, т.e.  j² = –1.Число  a называется абсциссой, a  b – ординатой комплексного числа  a+ bj. Два комплексных числа  a+ bjи  a – bjназываются сопряжёнными комплексными числами.

 

Основные договорённости:

1.  Действительное число  а  может быть также записано в форме комплексного числа:  a+ 0jили  a – 0j. 

2.  Комплексное число 0+ bj  называется чисто мнимым числом.Запись bjозначает то же самое, что и  0+ bj. 

3.  Два комплексных числа  a+ bj и c+ dj считаются равными, если  a= c и b= d. В противном случае комплексные числа не равны.

 

Сложение.  Суммой комплексных чисел  a+ bj  и  c+ djназывается комплексное число

( a+ c ) + ( b+ d )j. Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

 

Вычитание.  Разностью двух комплексных чисел  a+ bj(уменьшаемое) и c+ dj (вычитаемое) называется комплексное число ( a – c ) + ( b – d )j.

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

 

Умножение.  Произведением комплексных чисел  a+ bj  и  c+ djназывается комплексное число:

( ac – bd ) + ( ad + bc )j. Это определение вытекает из двух требований:

 

  1)  числа  a+ bj  и  c+ djдолжны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2. 
   число j  обладает основным свойством:  j² = –1.
   

Произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу.
Деление.Разделить комплексное число  a+ bj(делимое) на другое c+ dj(делитель) - значит найти третье число  e+ f j (частное), которое будучи умноженным на делитель c+ dj,  даёт в результате делимое  a+ bj.

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

Геометрическое представление комплексных чисел. Комплексные числа изображаются точками на координатной плоскости. Выберем для этого прямоугольные (декартовы) координаты с одинаковыми масштабами на обеих осях. Тогда комплексное число a+ bjбудет представлено точкой  Р  с абсциссой а и ординатой b (см. рис.). Эта система координат называется комплексной плоскостью.



Модулем комплексного числа называется длина вектора OP, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости. Модуль комплексного числа  a+ bjобозначается  | a+ bj | или буквой  r  и равен:



 

Сопряжённые комплексные числа имеют одинаковый модуль.                __

Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором OP, изображающим это комплексное число. Отсюда,  tan = b / a .
В геометрическом представлении сумма комплексных чисел соответствует векторной сумме соответствующих векторов. При перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если модуль второго сомножителя равен 1, то умножение на него геометрически означает поворот радиус-вектора первого числа на угол, равный аргументу второго числа. Этот факт объясняет широкое использование комплексного представления в теории колебаний.
Представление комплексных чисел
Существует три формы записи комплексных чисел: алгебраическая, тригонометрическая и показательная.

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа z в виде x + jy, называется алгебраической формой комплексного числа. Эта форма представления комплексного числа удобна при сложении и вычитании комплексных чисел.

Тригонометрическая форма

Если вещественную xи мнимую yчасти комплексного числа выразить через модуль и аргумент ( , ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме .

(U = U cosφ+ j U sinφ). Эта форма представления удобна при переходе от показательной к алгебраической форме.

Показательная форма

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел, тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера

, где - расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

(I = I_me^jφ). Показательная форма удобна при умножении делении, извлечении корня и логарифмировании, дифференцировании и интегри­ровании.


5. Усвоение новых знаний
Комплексный метод

Расчет линейных электрических схем гармонического тока в установившемся режиме аналогичен расчету электрических схем постоянного тока. В обоих случаях составляют систему алгебраических уравнений по методам, основанным на законах Ома и Кирхгофа.

Для схем постоянного тока уравнения составляют по действительным значе­ниям напряжений, токов, сопротивлений и проводимостей. В схемах же гармони­ческого тока для алгебраизации интегрально-дифференциальных уравнений приме­няют комплексные (символические) величины: U, I, Z=R+ jX. При этом все параметры записывают в виде комплексных чисел в алгебраической показательной или тригонометрической форме. При переходе от интегрально-дифференциальных уравнений дифференцирование мгновенного значения заменяют умножением jω на соответствующую комплексную величину, а интегри­рование — делением комплексной величины на jω:


если i = Re I_me^{j(ωt+ φ)}= I_m cos (ωt +φ).

Полученную систему алгебраических уравнений решают относительно неиз­вестного комплексного параметра, например, тока I=I_mе^jφ. При необходимости совершают переход от комплексной величины к ее мгновенному значению.
Алгоритм расчета комплексным методом

1. Мгновенные значения напряжений источников э. д. с, токов источников тока заменяют соответствующими комплексными значениями, например, u=U_mcos (ωt + φ) заменяют U = U_me^jφ, i = I_mcos (ωt + φ) заменяют I = I_me^jφ.

2. Комплексные сопротивления Z = R + jX всех ветвей схемы записывают в зависимости от выбранного метода расчета.

3. Алгебраические уравнения решают относительно искомой комплексной величины, например, тока I = I_me^jφ.

4. При необходимости переходят к мгновенному значению i = I_mcos (ωt + φ).
В любой момент времени сумма мгновенных значений на­пряжений на последовательно включенных элементах цепи равна мгновенному значению приложенного напряжения (Рис. 2):



Рис. 2

u = u_R +u_L +и_с.

Во всех последовательно включенных элементах цепи из­менения силы тока происходят практически одновременно, так как электромагнитные взаимодействия распространяются со ско­ростью света. Поэтому можно считать, что колебания силы тока во всех элементах последовательной цепи происходят по закону:



Колебания напряжения на резисторе совпадают по фазе с ко­лебаниями силы тока

,

а колебания напряжения на катушке опережают по фазе колебания силы тока на /2.

,

где

,
колебания напряжения на конденсаторе отстают по фазе на /2 от колебаний силы тока
,

где

,
Поэтому уравнение (8.1) можно записать так:
,

где U_Rm, U_Cmи U_Lm— амплитуды колебаний напряжения на ре­зисторе, конденсаторе и катушке, а согласно закона Ома:

- комплексное сопротивление.

Таким образом мы видим, что действительное число это активное сопротивление, а мнимое число – реактивное. Общее комплексное сопротивление можно найти сложением комплексных чисел, что значительно проще метода векторных диаграмм особенно для разветвленных цепей. Покажем это на примере задачи № 1.

6. Практическое применения знаний по теме в стандартных условиях в ходе решения задачи


Задача № 1

Получить формулу, описывающую комплексное сопротивление Z двухполюсника с двумя резисторами и двумя конденсаторами.

Решение:

Искомая величина Z является суммой сопротивлений Z₁ и Z₂двух более простых цепей, одна из которых образована последовательным, а другая параллельным включением элементов:



Приводя к общему знаменателя, получаем


Следующую задачу ученики решают самостоятельно.

7. Самостоятельное применение знаний по теме

Задача № 2

Определить комплексное сопротивление двухполюсника (см. рис.), если известны R₁; R₂; L; C.

Дано: R1; R2; L; C	Решение: .
Z - ?

Ответ:
Векторным методом задача решается намного сложнее, что показывает векторная диаграмма, приведенная из [2].


8. Подведение итогов урока
9. Постановка домашнего задания.

Литература

1. 
   Физика: Учебное пособие для 11 классов школ и классов с углубленным изучением физики/ А.Т. Глазунов, О.Ф. Кабардин, А.Н. Малинин и др.; Под редакцией А.А. Пинского. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1995.
   
2. 
   Шебес М.Р./ Задачник по теории линейных электрических цепей: Учебное пособие. 3-е изд., переработанное и дополненное – М.: Высшая школа, 1982.