Уравнение Эйлера. Уравнение Эйлера

Название	Уравнение Эйлера
Дата	12.02.2023
Размер	9.85 Kb.
Формат файла
Имя файла	Уравнение Эйлера.doc
Тип	Реферат #932055

Реферат на тему:

Уравнение Эйлера

План:

1 Классическое уравнение Эйлера
2 Частные случаи
- 2.1 Стационарный одномерный поток
- 2.2 Несжимаемая жидкость
- 2.3 Адиабатическое течение
Литература

Введение

Уравнение Эйлера — одно из основных уравнений гидродинамики идеальной жидкости. Названо в честь Л. Эйлера, получившего это уравнение в 1752 году (опубликовано в 1757 году). По своей сути является уравнением движения жидкости.

1. Классическое уравнение Эйлера

Рассмотрим движение идеальной жидкости. Выделим внутри неё некоторый объём V. Согласно второму закону Ньютона, ускорение центра масс этого объёма пропорционально полной силе, действующей на него. В случае идеальной жидкости эта сила сводится к давлению окружающей объём жидкости и, возможно, воздействию внешних силовых полей. Предположим, что это поле представляет собой силы инерции или гравитации, так что эта сила пропорциональна напряжённости поля и массе элемента объёма. Тогда

$\int\limits_v \frac{d \mathbf{v}}{dt} \,dm = \int\limits_v \mathbf{g} \,dm - \oint\limits_s p \,d\mathbf{s}$ ,

где S — поверхность выделенного объёма, g — напряжённость поля. Переходя, согласно формуле Гаусса — Остроградского, от поверхностного интеграла к объёмному и учитывая, что $dm = \rho \, dv$ , где ρ — плотность жидкости в данной точке, получим:

$\int\limits_v \rho\,\frac{d \mathbf{v}}{dt} \,dv = \int\limits_v \rho\,\mathbf{g} \,dv - \int\limits_v \nabla p \,dv$

В силу произвольности объёма V подынтегральные функции должны быть равны в любой точке:

$\rho \frac{d \mathbf{v}}{dt} = \rho \mathbf{g} - \nabla p$

Выражая полную производную через конвективную производную и частную производную:

$\frac{d \mathbf{v}}{dt} = \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v}$

получаем уравнение Эйлера для движения идеальной жидкости в поле тяжести:

$\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot \nabla)\mathbf{v} = \mathbf{g} - \frac{1}{\rho}\nabla p$

где $\rho\left(x,y,z,t\right)$ — плотность жидкости,
$p\left(x,y,z,t\right)$ — давление в жидкости,
$\mathbf{v}\left(x,y,z,t\right)$ — вектор скорости жидкости,
$\mathbf{g}\left(x,y,z,t\right)$ — вектор напряжённости силового поля,
$\nabla$ — оператор набла для трёхмерного пространства.

2. Частные случаи

2.1. Стационарный одномерный поток

Для случая стационарного, одномерного потока жидкости или газа уравнение Эйлера принимает вид:

$v\frac{dv}{dx}=-\frac {1}{\rho}\cdot \frac {dp}{dx}$

В этой форме уравнение часто используется для решения различных прикладных задач гидродинамики и газодинамики. В частности, интегрированием этого уравнения по x при постоянной плотности жидкости ρ получается известное уравнение Бернулли для несжимаемой жидкости:

$\frac{\rho v^2}{2}+p=const$

2.2. Несжимаемая жидкость

Пусть ρ = const. Используя известную формулу

$\frac{1}{2}\,\operatorname{grad}\,v^2\,=\,[\mathbf{v}\, \operatorname{rot}\,\mathbf{v}]\,+\,\left(\mathbf{v\nabla}\right)\mathbf{v}$ ,

перепишем соотношение в форме

$\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}\,+\frac{1}{2}\,\operatorname{grad}\,v^2\,=\,[\mathbf{v}\, \operatorname{rot}\,\mathbf{v}]\,-\operatorname{grad}\frac{p}{\rho}$

Беря ротор и учитывая, что

$\operatorname{rot}\,\operatorname{grad} \,\phi= 0$ ,

а частные производные коммутируют, получаем что

$\frac{\partial}{\partial t}\,\operatorname{rot}\,\mathbf{v}\,=\,\operatorname{rot}\,[\mathbf{v}\,\operatorname{rot}\,\mathbf{v}]$

2.3. Адиабатическое течение

В случае, если происходит адиабатическое движение жидкости, то уравнение Эйлера можно переписать с использованием тепловой функции $w\,$ следующим образом:

$dw\,=\,v\,dp\,+\,t\,ds\,=\,v\,dp$ в силу того, что при адиабатическом процессе энтропия s постоянна.

Следовательно:

$\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}\,+\,\left(\mathbf{v\nabla}\right)\mathbf{v}\,=\,-\operatorname{grad}\,w$

используя известное соотношение:

$\frac{1}{2}\,\operatorname{grad}\,v^2\,=\,[\mathbf{v}\, \operatorname{rot}\,\mathbf{v}]\,+\,\left(\mathbf{v\nabla}\right)\mathbf{v}$ ,

и применяя операцию ротор к уравнению Эйлера получим искомое представление в виде:

$\frac{\partial}{\partial t}\,\operatorname{rot}\,\mathbf{v}\,=\,\operatorname{rot}\,[\mathbf{v}\,\operatorname{rot}\,\mathbf{v}]$

Литература

Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Гидродинамика. — М.: 1986. — («Теоретическая физика», том VI).