мотау. Дифференциальные уравнения
 Скачать 121.43 Kb.
|
|
Дифференциальные уравнения Математический аппарат, используемый для описания детерминированных физических процессов в окружающем мире. Основные виды дифференциальных уравнений:• обыкновенные дифференциальные уравнения;• дифференциальные уравнения в частных производных;• стохастические дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения также классифицируют на:• однородные и неоднородные;• линейные и нелинейные. Основной задачей при работе с дифференциальными уравнениями является поиск их решения. Обыкновенные ду:  Ду в частных производ:  Стохастические  Дифференциальное уравнение является линейным, если неизвестнаяфункция и её производные входят в уравнение только в первой степени (и не перемножаются друг с другом). В противном случае дифференциальное уравнение - нелинейное. Линейные дифференциальные уравнения могут быть как однородными, так и неоднородными. Однородные дифференциальные уравнения не содержат свободного члена (правые части равны нулю). В противном случае дифференциальное уравнение - неоднородное. Обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид:  и если его можно разрешить относительно старшей производной, то:  Обыкновенное дифференциальное уравнение порядка n можно (методом замены переменных) привести к системе из n дифференциальных уравнений первой степени, т.е.:  решением которой будет n неизвестных функций.В общем случае, если в дифференциальное уравнение входит m неизвестных функций, то получаем систему дифференциальных уравнений:  , где n- вектор порядков производных каждой неизв-ой функции.Каноническая система дифференциальных уравнений - это система, которую можно разрешить относительно старших производных  Если  то система нормальная.Нормальная линейная система дифференциальных уравнений Нормальная линейная система из n дифференциальных уравнений может быть записана в следующем поэлементном виде:  ,где  и  некоторые неправильные функции на интервале (a,b). Эта система может быть записана в матричном виде:  и при u(t)=0 будет однородной системой:  Общее решение однородной нормальной линейной системы дифференциальных уравнений: имеет вид:  и является фундаментальной системой решений.Общее решение неоднородной системы может быть получено как сумма общего решения однородной системы и частного (произвольного) решения ϕ(t) неоднородной системы:  . Частное (произвольное) решение может быть найдено методом вариации произвольных постоянных или с использованием формул Коши. Метод вариации произвольных постоянных Метод определения частного решения неоднородной линейной системы дифференциальных уравнений: в предположении, что  являются некоторыми функциями времени. Частное решение ищется в виде:  Произведя подстановку получим:  Так как  являются решение однородной системы, то  , тогда запишется как  В итоге получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно  , которая имеет ед-ое решение  интегрируя эту систему:  Получвем частное решение:  И общее решение неоднородной системы:  Формула Коши. Случай нестационарности матрицы A Пусть для однородной системы ду фундаментальная система решений  образует матрицу  определитель которой представляет собой определитель Вронского, который отличен от нуля на интервале t ∈ [a,b], следовательно, существует обратная матрица Φ−1 Тогда можно составить матрицу  где Φ(t,t0) - фундаментальная матрица. Фундаментальная матрица удовлетворяет матричному однородному уравнению  Решение неоднородной системы диф уравнений, удовлетворющее нач. условиям x(t0) получится в виде:  Формула Коши. Случай стационарности матрицы A.  , где  , является фунда-ой матрицей решения для системы , а само решение можно записать в виде  Формула коши Формула нахождения решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющего заданным начальным условиям x(t0). Вычисление фундаментальной матрицы решений. Для нормальной линейной однородной (и неоднородной) системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами вычислить фундаментальную матрицу решения можно приведя матрицу A к канонической форме Жордана, т.е. сделав замену  получим систему:  и учитывая свойства матричной экспоненты:  и учитыва свойсвта матричной экспоненты:  получим выражение для фундаментальной матрицы решений:  .Закон радиоактивного распада dN/dt= −λN. Решение имеет вид: N(t) = N0 e^−λt. Осцилятор Ван дер Поля d2x/dt2 −µ(1−x^2) dx/dt+ x = 0 где: x - координата, зависящая от времени; µ - коэффициент, характеризующий нелинейность затухания. В зависимости от значения µ: µ < 0 - не существует, т.к. трение не может быть отрицательным; µ = 0 - гармонический осцилятор; µ > 0 - система имеет предельный цикл. Гармонический осцилятор, с позиции механики, может быть представлен как груз массой m, подвешенный к неподвижному основанию через пружину с жесткостью k, и совершающий колебания, что математически можно записать как: mx’’ = −kx ⇒ x’’ =( −k/m)x⇒x’’ = −ω0 x ⇒ x’’ + ω0 x = 0 Последнее уравнение - уравнение гармонического осцилятора, решение которого записывается следующим образом: x(t) = a sin(ω0t + ϕ). При µ > 0 в системе появляется предельный цикл и начинаются нелинейные колебания. Чем болье значение µ, тем сильнее выражена нелинейность системы. Нелинейные дифференциальные уравнения. В общем случае не имеют разаботанных обобщенных методов решения. Как правило, решения получены для отдельных видов нелинейных дифференциальных уравнений или систем. Методы решения нелинейных дифференциальных уравнений: • метод последовательных приближений; • метод степенных рядов; • метод ломанных Эйлера; (по сути, численный метод) • метод понижения порядка; (лагранжева механика - через первые интегралы) • метод фазовой плоскости; (графический - не интересен) • метод гармонической линеаризации. (рассмотрим позже) Метод последовательных приближений Заключается в формировании итерационного процесса в результате которого получается решение, по сути, наилучшим образом аппроксимирующее истинное решение нелинейного дифференциального уравнения, т.е. ξn(t) → ξ(t) при n→∞ Метод применим во многих случаях, однако имеет ряд недостатков: • на k-ой итерации может не вычисляться интеграл, в результате чего процесс решения останавливается; • в зависимости от характера истинного решения и выбранных начальных условий, метод может иметь большую скорость сходимости; • почти всегда решение получается в виде бесконечного ряда.Метод последовательных приближений. Для дифференциального уравнения первого порядка: x’’ = f(t,x)решение ξ(t), удовлетворяющее начальным условиям x(t0), имеет вид:  Для решения дифференциального уравнения методом последовательных приближений выберем некоторую удобную функцию ξ0(t) и вычислим решение на первой итерации:  и так далее.Метод ломанных Эйлера. По сути, представляет собой простейший численный метод решения дифференциальных уравнений, в основе которых лежит аппроксимация (пусть и нелинейной) функции производной первого порядка на небольшом по времени участке решения [tk,tk+1]. В случае метода Эйлера производная аппроксимируется как: (x−x0) /(t−t0) = f(t0,x0) Метод степенных рядов .В основе метода идея разложения правых частей дифференциальных уравнений в степенной ряд с неопределенными коэффициентами, определение которых и является предметом вычислений.Например, возьмем дифференциальное уравнение: y’’−xy = 0 с начальными условиями y(0) = 1, y’(0) = 0 Решение ищем в виде: y(t) = c0 + c1 x + c2 x^2 Дифференциальные уравнения в частных производных. Дифференциальные уравнения в частных производных бывают линейными и нелинейными, однородными и неоднородными, при этом единственность решения гарантировать нельзя в принципе. Порядок дифференциального уравнения в частных производных определяется максимальной степенью производной по каждой переменной. Размерность дифференциального уравнения в частных производных определяется количеством переменных. Уравнение теплопроводности: ∂ u/ ∂ t=α(∂''u/ ∂t'') Уравнение колебаний струны: (∂^2u/∂t^2)= c2 (∂^2u/∂x^2),где: u(t,x) - перемещение струны; c - скорость распространения волны. Уравнение Навье-Стокса Это дифференциальное уравнение в частных производных, описывающее движение вязкой ньютоновской жидкости, которое активно применяется в задачах гидродинамики и имеет вид: ∂ v/ ∂ t = −(¯ v· )¯ v + ν ∆¯ v− (1/ ρ) p +¯f Уравнение Эйлера-Лагранжа Это дифференциальное уравнение в частных производных используется в задачах оптимизации и лагранжевой механики и является основой вариационного исчисления. Пусть задан функциона  , где F(·) функция Лагранжа (лагранжиан) с непрерывными частными производными. Если J достигает экстремума на некоторой f(·) тогда справедливо уравнение Эйлера-Лагранжа, которое имеет вид Уравнение Пуассона Это дифференциальное уравнение в частных производных используемое в задачах электростатики, гидродинамики и др., и имеет вид: ∆ϕ = f .В Евклидовом пространстве в декартовых координатах:( ∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂ z^2)ϕ(x,y,z) = f(x,y,z) Дифференциальные уравнения в частных производных Методы решения. Аналитические подходы на практике не используются, за очень редким исключением, ввиду сложности решения. Основными численными методами решения дифференциальных уравнений в частных производных можно записать: • метод конечных разностей; (основная идея в замене производной разностной схемой - классический подход методов численного дифференцирования) • метод конечных элементов; (задачи механики сплошной среды с разбиением области решения на подобласти и аппроксимацией решения, как правило полиномиальной функцией) • метод конечных объемов. (задачи термо- и газодинамики) Решетчатая функция Функция, значения которой определены в моменты времени kT. Обратная разность первого порядка: f[k] = f[k]−f[k−1] Прямая разность первого порядка: ∆f[k] = f[k + 1]−f[k] Обратная разность второго порядка: ∇^2f[k] = f[k]− f[k−1] = f[k]−2f[k−1] + f[k−2] Прямая разность второго порядка: ∆^2f[k] = ∆f[k + 1]−∆f[k] = f[k +2]−2f[k + 1] + f[k]. Обратная разность n-го порядка: ∇^n f[k] = ∇^(n−1) f[k]−∇^(n−1) f[k−1]. Прямая разность n-го порядка: ∆^n f[k] = ∆^(n−1) f[k + 1]−∆^(n−1) f[k]. Вычисление обратной разности n-го порядка:  Вычисление прямой разности n-го порядка: Неполная и полная сумма решетчатой функции. Неполная σ0[k] =sum(f[i]) =sum(f[k−v]). Полная сумма: σ[k] = σ0[k] + f[k] =sum(f[k−v] + f[k]) =sum(f[v]) Форма записи разностных уравнений через обратные разности В виде разностной схемы: α0∇^n f[k] + α1∇^(n−1) f[k] + ... + αn f[k] = 0 В каноническом виде: a0 f[k] + a1 f[k−1] + ... + an f[k−n] = 0, где  Вычисляем f[k] по известным f[k−1],f[k−2], ... ,f[k−n]Форма записи разностных уравнений через прямые разности. В виде разностной схемы: αn ∆^n f[k] + α(n−1) ∆^(n−1) f[k] + ... + α0 f[k] = 0. В каноническом виде: an f[k + n] + a(n−1) f[k + n−1] + ... + a0 f[k] = 0, где Вычисляем f[k + n] по известным f[k + n−1],f[k + n−2], ... ,f[k]. Виды разностных уравнений. Однородные: a0 y[k] + a1 y[k−1] + ... + an y[k−n] = 0 an y[k + n] + a(n−1)y[k + n−1] + ... + a0 y[k] = 0 Неоднородные: a0 y[k] + a1 y[k−1] + ... + an y[k−n] = = c0 u[k] + c1 u[k−1] + ... + cm u[k−m] an y[k + n] + an−1 y[k + n−1] + ... + a0 y[k] = = cm u[k + m] + cm−1 u[k + m−1] + ... + c0 u[k] Решение разностных уравнений в общем виде Решение разностного уравнения в общем виде: y[k] = γ1 λ1 + γ2 λ2 + ... + γn λn где λi - корни характеристического уравнения an λn + an−1 λn−1 + ... + a0 = 0 а γ1,γ2, ... ,γn - произвольные постоянные Условие затухающего решения: λi< 1, i = 1,2, ... ,n. Решение можно получить через дискретное преобразование Лапласа (аналогично решению задачи Коши для непрерывного случая). Матрицы. Невырожденная матрица Невырожденная (неособенная, обратимая) матрица - это матрица, для которой существует обратная матрица. Невырожденность обеспечивается следующими условиями: • строки и столбцы матрицы линейно независимы; • ранг матрицы равен ее размерности; • определитель матрицы не равен нулю. Симметричная матрица Квадратная матрица A является симметричной, если: A = A^T Кососимметричная матрица Квадратная матрица A является кососимметричной (при условии, что диагональные элементы равны нулю), если: A = −A^T. Свойства транспонированной матрицы. Операция транспонирования имеет ряд важных свойств: • двойное транспонирование: (A^T)^T = A • транспонирование суммы: (A + B) = A> + B> • транспонирование произведения: (AB)> = B>A> • транспонирование матрицы умноженной на скаляр: (Aλ)> = λA> • транспонирование обратной матрицы: (A^−1)^T= (A^T)−1. Минор Минор M порядка k матрицы A - это определитель квадратной матрицы, составленной из элементов матрицы A с номерами строк и столбцов от 1 до k, например для k = 3. Главный минор Главный минор Mij матрицы A - это минор c i = j. Угловой минор Угловой минор Mij матрицы A порядка k - это минор, состоящий из первых k строк и k столбцов матрицы A. Важным следствием является то, что все строки (столбцы), формирующие этот минор, являются линейно независимыми. Дополнительный минор Дополнительный минор ¯ Mij квадратной матрицы A - это определитель, составленный из элементов матрицы A путем удаления строк и столбцов, например, при удалении второй строки и третьего столбца. Алгебраическое дополнение Алгебраическое дополнение Aij элемента aij матрицы A это скалярное значение, определяемое как: Aij = (−1)^(i+j) ¯ Mij. Теорема Кронекера-Капелли Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В этом случае количество искомых переменных равно порядку матрицы, а решение системы будет единственным. Присоединенная матрица Присоединенная матрица adjC - это квадратная матрица, составленная из алгебраических дополнений матрицы A^T. Присоединенная матрица очень часто используется для вычисления обратной матрицы:  . Эрмитова матрица - это квадратная матрица, состоящая из комплексных чисел, которая равна своей эрмитово-сопряженной (сопряженнотранспонированной матрце) и транспонирование которой равно своей же комплексно-сопряженной матрице, т.е.: A = (¯ A)^T = A^∗.Унитарная матрица - это квадратная матрица, состоящая из комплексных чисел, произведение которой на эрмитово-сопряженную матрицу равно единичной матрице, т.е.: U^∗U = UU^∗ = I. Ортогональная матрица Ортогональная матрица - это унитарная матрица, но только с вещественными числами, для которой справедливо: A^TA = AA^T = I и как следствие: A^T = A^−1. Нормальная матрица Нормальная матрица - это квадратная матрица A с комплексными числами, для которой справедливо следующее соотношение: A^∗A = AA^∗. Матричная экспонента Матричная экспонента (экспоненциальная матрица) e^A - это матричная функция от квадратной матрицы, которая определяется степенным рядом по следующему соотношению: . Матричная экспонента обладает рядом свойств: e0 = I, e^A^T = (e^A)^T e^(YXY^−1) = Ye^X Y^−1, если Y – невырожденная. Собственным вектором x и соответствующим ему собственном значением λ матрицы A называются величины, для которых следующее равенство имеет ненулевое решение: Av = λv . Сигнулярные значения матрицы Сингулярные значения σ матрицы A - это вещественные неотрицательные числа, которые удовлетворяют следующему равенству при векторах v и u единичной длины: Av = σu. Основные виды матричных разложений: • на базе собственных значений и векторов; • спектральное разложение; • разложение в Жорданову нормальную форму; • разложение Шура (с вариациями); • сингулярное разложение. • получаемые специальными алгоритмамиСпектральное разложение матрицы Спектральное разложение матрицы A - это ее представление в виде произведения трех матриц: A = VΛV^−1 ,где: V - матрица с собственными векторами матрицы A; Λ - диагональная матрица с собственными значениями λ(A). Каноническая форма Жордана - это представление квадратной матрицы A в виде: A = CJC−1 , где:C - матрица перехода к новому базису; J - матрица Жордана. Разложение Шура матрицы A - это ее представление в виде произведения трех матриц: A = UTU^∗,где: U - унитарная матрица; U∗ - эрмитово-сопряженная матрица; T - верхняя треугольная матрица с tii = λi(A). Сингулярное разложение Сигнулярное разложение (SVD) матрицы A - это ее представление в виде произведения трех матриц: A = UΣV∗,где: U - унитарная матрица; V - унитарная матрица; Σ - диагональная матрица с сингулярными значениями A. U состоит из левых сингулярных векторов матрицы AA∗ V состоит из правых сингулярных векторов матрицы A∗A. LU-разложение. Числовым рядом S называется следующее выражение:S =sum(zk) где zk = ak + bk - комплексные числа. Числовой ряд S является сходящимся, если существует предел последовательности его частичных сумм, т.е.: lim N→∞ Sn = S. Функциональным ряд Sf=sum(Fk(z)). Степенной ряд Степенной ряд - это ряд вида:S =sum(Ak (z−z0)^k) . Ряд Тейлора Полином Тейлора: sum(f^k(a)/ k!) *(z−a)^k Тригонометрический ряд:  . Ряд Фурье .  Ряд Винера является основной прогнозирующих фильтров Колмогорова-Винера, Габора. Этот же подход использован Ивахненко в методе группового учёта аргументов (МГУА). В отличии от ряда Тейлора, ряд Винера – фильтр с памятью. Ряд Вольтерры и ряд Винера, как правило, используются в качестве аппроксиматора нелинейных функционалов (непрерывных и дискретных, соответственно). В теории идентификации на их базе строятся методы непараметрической идентификации нелинейных систем. Интегральное преобразование – это преобразование функции из одной области применения в другую область применения, интегрированием заданной функции  ;  ; «Математическая» дискретизация сигнала:  .Дискретное преобразование Лапласа:  .  -преобразование – свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временной области, в аналитическую функцию комплексной частоты. ( ). ; . Круг сходимости – область точек комплексной плоскости, для которых преобразование, как степенной ряд, сходится:  Виды преобразования Фурье:непрерывное преобразование Фурье  ; ПФ для дискретного времени  ;дискретное преобразование Фурье  ;быстрое преобразование Фурье (алгоритмы вычисления ДПФ);оконное преобразование Фурье  .Оконная функция – это весовая функция (определённая от  до  ), используемая для управления эффектами, обусловленными наличием боковых лепестков в спектральных оценках. Применение: сведение начальных и конечных участков сигнала к одному уровню, удаление вычислительной ошибки определения спектров.Виды оконных функций: прямоугольная; Ханна; Хамминга; Блэкмана; Кули-Тьюки. Устойчивость – это свойство САР/САУ возвращаться к первоначальному положению после прекращения действия внешнего воздействия на систему. Система устойчива в малом, когда констатируется факт устойчивости, но границы области устойчивости не определены. Система устойчива в большом, если определены границы устойчивости, т.е. определена область отклонений после которых система вернётся в устойчивое положение. Система устойчива в целом, если границы области устойчивости бесконечны, т.е. система вернутся в устойчивое положение из любого отклонения. Устойчивость по второму методу Ляпунова: Если для системы дифференциальных уравнений  существует положительно определённая функция  , производная которой является знакоотрицательной функцией, то решение  является устойчивым.Принцип аргумента Коши: Контур  , охватывающий на  -плоскости некоторое число неаналитических точек, может быть отображён на другую комплексную плоскость (плоскость  ) при помощи функции таким образом, что получившийся контур  будет охватывать центр -плоскости  раз, причём  , где  – число нулей, а  – число полюсов функции .  Линеаризация осуществляется относительно некоторой точки состояния системы. разложением в ряд Тейлора (с отбрасыванием членов выше первого порядка); гармоническая линеаризация (для определения периодических решений; преобразование Фурье;  );линеаризация обратной связью (вектор состояния состоит из измерений; новый вход  ; производные Ли). |